...

Ho trovato l'idea di questo piccolo problema in un altro forum e mi è sembrata
così simpatica che desidero proporvela.
Si tratta di dimostrare che l'espressione:

$\frac{48+2,27^{\small 2}+1,19^{\small 3}}{1,73}$

corrisponde a un numero decimale non periodico (dopo la virgola, cioè, abbiamo
solo una sequenza limitata di cifre).
Non si chiede di determinarne l'effettivo valore e la calcolatrice deve restare
spenta.
In realtà, con pochi passaggi algebrici e calcoli che potrebbero essere fatti a
mente da chiunque, si può dire in modo semplice e con sicurezza a quale tipo
di numero decimale corrisponde questa frazione.


(Bruno)

senza calcolatrice arrivo a dire che
la sesta cifra decimale del numeratore è un "9"
che la parte intera del numeratore è maggiore, o uguale a 54
(2,27 ^2 è più di 5 ; 1,19^3 è maggiore di 2 )
che la parte intera del numeratore è minore o uguale a 55
(2,27^2 è meno di 6; 1,19^3 è meno di 2)

passo

Bruno, ci sto provando.
Tu parli di "passaggi algebrici" e quindi la mia idea sarebbe quella di trasformare la frazione in una frazione di polinomi e usare la divisione di polinomi, o ruffini se il denominatore fosse di primo grado.
Però non posso usare la calcolatrice.... mmmh ho provato a fare un po' di conti a mano (uff, ma che fatica!), ponendo 1,73=1+.73=1+t, allora 1.19=3t+1 ma 2.27 mi viene un improponibile 99t-70 e il numeratore non è "ruffinabile".
Mi sa che sto sbagliando qualcosa, o meglio, sto sbagliando la sostituzione iniziale nella speranza di ottenere un denominatore di primo grado....
... proverò ancora, tempo permettendo...
Tu hai fatto così?
Secondo me il denominatore dovrebbe essere un polinomio di primo grado, se no diventa un cas***bip!

ciao!

...

Ciao Mathmum
Non vorrei limitarti con i miei suggerimenti, anche perché sono sempre
molto interessato alle idee altrui, così come nascono.
Però posso dirti che è utile osservare i numeri scritti ed eventualmente
ricorrere all'algebra (poca) che si studia all'inizio della scuola superiore.
Non è detto comunque che non ci siano altre vie, che potrebbero anche
essere meno "svelte" ma non per questo meno interessanti.
La tua idea mi sembra buona, purché però non ti faccia diventare matta...
e i calcoli veri e propri dovrebbero essere semplici semplici, tanto da poterli
fare anche a mente

(Bruno)

no. allora non ci sono.
almeno nel mio caso (patologico) i conti non sono fattibili "a mente", per cui devo ricorrere alla carta, penna e calamaro (come diceva un mio prof del liceo).
rivoglio la calcolatrice!!!!!!
ciao

...

...Mathmum, forse ho un po' esagerato
La calcolatrice non serve, ma usa pure calamaro e annessi, setelasentiancora...
Poca aritmetica, poca algebra

$2,27^2$ ha 4 cifre decimali e $1,19^3$ ne ha 6, per cui il nostro numeratore, fatte le somme, ha 6 cifre decimali con la parte intera di 2 cifre ed intorno a 55 (facile da calcolare a mente, considerando gli arrotondamenti 2,3 e 1,2.
Siccome mi piace ragionare con i numeri interi, se moltiplico numeratore e denominatore per 100, avrò un numeratore con 4 cifre decimali ed il denominatore con l'intero primo 173.
Se moltiplico il numeratore ulteriormente per 10.000, avrò un numero intero di 8 cifre, che se divisibile per 173, determinerebbe un quoziente con 6 cifre, da dividere però per 10.000, cosicché in definitiva il quoziente avrebbe la parte intera di 2 cifre e la parte decimale di 4 cifre.
Tanto premesso, resta da vedere se è intero il rapporto fra numeratore e denominatore, considerati senza virgole: effettuo quindi il rapporto in modulo 9 ed ottengo 3, il che vuol dire che non esiste periodo.

$\text \frac{48 (mod 9) + 227^2 (mod 9) + 119^3 (mod 9)}{173 (mod 9)} = \frac{3 + 4 + 8}{2} = \frac {6}{2} = 3$

Adesso possiamo prendere anche la calcolatrice per verificare che:

$\text \frac {54.838.059}{173} = 316.983$, ove:

54.838.059 (Mod 9) = 6
173 (Mod 9) = 2
316.983 (Mod 9) = 3

In sostanza il nostro quoziente, come da tipologia preannunciata, è 31,6983

Pasquale ha scritto:effettuo quindi il rapporto in modulo 9 ed ottengo 3, il che vuol dire che non esiste periodo.

$\text \frac{48 (mod 9) + 227^2 (mod 9) + 119^3 (mod 9)}{173 (mod 9)} = \frac{3 + 4 + 8}{2} = \frac {6}{2} = 3$

non essendo pratico dell'aritmetica modulare, mi spieghi meglio la tua affermazione?
perchè se "effettuo il rapporto in modulo 9 ed ottengo 3, vuol dire che non esiste periodo"?

Admin

Diciamo che se a è multiplo di b, allora a/b = c intero.
Se a/b=c, allora bc=a ed in aritmetica modulare se bc=a, allora bc(mod k) = a(mod k), oppure b(mod k)*c(mod k)=a(mod k).
L'aritmetica modulare è un argomento un po' duro da digerire, ma su questo abbiamo avuto un topic di recente, nel quale altri meglio di me hanno illustrato le sue peculiarità.
Io ho scelto il modulo 9, perché è la cifra più alta e facilita il calcolo mentale del modulo, in quanto è sufficiente fare la somma delle singole cifre del numero di cui si vuole calcolare il modulo 9, sottraendo il 9 ogni volta che viene superato: non è altro che l'applicazione della cosiddetta "regola del fuori 9", che ai miei tempi veniva insegnata alle elementari per controllare l'esattezza di una moltiplicazione, ma la stessa regola è applicabile anche alle divisioni, addizioni e sottrazioni.
E' evidente che se l'eguaglianza non si verifica, nel caso del rapporto significa che esiste un resto.
In effetti, ho creduto di aver applicato tali principi, non tanto per controllare la corrispondenza fra i risultati, considerato che il terzo dato, il quoziente, non mi era noto, ma per verificare una divisibilità fra numeratore e denominatore, o meglio fra i loro moduli, ragionando forse anche a livello un po' intuitivo.
Faccio qualche esempio semplificato:

111/3 = 37 (rappresenta il mio a/b=c)

111(mod 9)/3(mod 9) = 3/3 = 1, dove 1 deve essere il risultato di c (mod 9) ed in effetti 37(mod 9)=1

Se avessimo avuto 112/3 = 37,3333... sarebbe stato 112(mod 9)/3(mod 9) = 4/3 periodico ed in effetti non possiamo effettuare il modulo 9 di 37,33333....

Se avessimo avuto 113/3 = 37,666.... sarebbe stato 113(mod 9)/3(mod 9) = 5/3

Con 114/3 = 38, avremmo avuto 6/3=2 intero ed in effetti 38(mod 9)=2

Comunque, adesso che hai espresso le tue perplessità, qualcosa non mi convince del tutto ed in fatti se opero in modulo 8:

da 111/3 = 37 ottengo 7/3, che non è un intero, mentre da 37 ottengo 5, cioè dovrebbe essere 7/3=5, che apparentemente è errato, ma se è vero che 7/3=5, deve essere 5*3=7, il che è vero in modulo 8, in quanto 5*3=15 e 15(mod =7

Mi sa che la mia deduzione sia stata azzardata e fortunata, perché se effettuiamo un'ultima prova in modulo 9:

da 112/7 = 16, otteniamo 4/7 e cosa deduciamo? Che avremmo potuto scrivere 4/(-2) = -2 = 7, ottenendo egualmente un intero.

Sono possibili queste trasformazioni con altri casi che sappiamo periodici?

da 113/7, otteniamo (sempre in modulo 9) 5/7 = 5/(-2) = (-4)/(-2) = 2

.....e allora? Boh! Mi sa che Pietro ha trovato il baco nel ragionamento, dimostrando di sapere molto dell'aritmetica modulare, contrariamente a quanto affermato.
Tutto da rifare.....a voi la palla.

In effetti avevo ipotizzato che il tuo ragionamento fosse stato:

"se il rapporto non da quoziente intero allora non si può fare il modulo 9 del quozionte"

allora ho pensato che questa verifica si poteva fare con qualsiasi modulo n;
però facendo delle prove con moduli differenti la cosa non andava;
da qui il dubbio.

L'aritmetica modulare mi piace, è molto potente;
solo che ho problemi nell'applicarla (ad es. nel riconoscimento di problemi a cui può applicata; dove l'uso di un teorema può essere vantaggioso e dove no, etc.)
Ci vorrebbero degli esercizi... (ed il tempo per farli!)

spesso nella risoluzione di un problema dove può essere utilizzata l'aritmetica modulare, mi incammino in ragionamenti contorti e complicati, giungendo anche alla soluzione, che però poteva essere dedotta applicando in modo opportuno l'aritmetica modulare e le sue proprietà;
è un pò come calcolare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo senza utilizzare Pitagora.

Ma perchè non si studia alla superiori?

Ciao
Admin

...

Trovo che le tue considerazioni, Pasquale, al di là di eventuali errori
(di cui son più esperto...), siano sempre molto stimolanti e profonde.
L'unica cosa che mi lascia perplesso è... l'orario dei tuoi post
Ma stai scrivendo veramente dal cuore della notte?
Ti leggo sempre con piacere.

Attendo (volonterosi) sviluppi

A presto!

L'aritmetica modulare andrebbe studiata alle elementari... da ignorante che avrebbe tanta voglia di impararla (perche' non facciamo un gruppo di studio?) aggiungo solo che 8 e 9 non sono numeri primi e quindi le aritmetiche modulo 8 e modulo 9 hanno divisori dello zero.

...

A me capitò di "ragionare" così.
Poiché veniva chiesto di non usare la calcolatrice e di fare calcoli che
potessero essere svolti ragionevolmente a mente (sic!), ho guardato
più volte quei numerini alla ricerca di qualche semplificazione o
adattamento, con l'intento di eliminare 173 dal denominatore (è un
numero primo e non può rimanere lì, dal momento che la frazione
corrisponde a un numero decimale non periodico).

Riscrivo la frazione:

$\frac{48+2,27^{\small 2}+1,19^{\small 3}}{1,73}$.

Osservo che 0,27+0,73=1, cioè: 2,27+1,73=4, di conseguenza:
2,27²=16-8·1,73+1,73².
Poi vedo che 48+16=64=4³ e so che 4³+1,19³ è divisibile per 5,19.

A questo punto... ho sperato che ciò potesse bastare e infatti
ho scoperto che 5,19 è divisibile esattamente per 1,73.
Si vede subito che il multiplo di 1,73 più plausibile è 1,73·3, che
dà proprio 5,19.

Semplificato 1,73, rimane un'espressione formata da prodotti, somme
e differenze di numeri decimali non periodici, per cui il risultato deve
avere la stessa forma.


Bruno