Un salto laterale, un salto in avanti.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Bruno » lun gen 29, 2018 8:54 am

Pasquale, i numeri tabellati a sinistra sono potenze di $\;2\;$ contenenti (nella nostra base usuale) lo zero, il sei, l'otto e il nove - cioè le cifre con le "palline", come dice Massimo.
A destra sono stati incolonnati i corrispondenti numeri delle palline.
Il fatto che gli esponenti siano consecutivi è una semplice curiosità, "citata" dall'autore per forviare.

Il quesito mi ha suggerito questa domanda: dopo $\;2^{108}$, qual è la prima potenza di $\;2\;$ in cui non siano presenti contemporaneamente le cifre $\; 0, 6, 8, 9$ ?
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Pasquale
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Pasquale » lun gen 29, 2018 11:02 pm

Scusa Bruno, fammi capire: la prima potenza di 2 senza palline e maggiore di 2^108 ha un ruolo nel quesito iniziale? Non bisogna cercare la prima potenza di 2 dopo 2^66 che contenga 9 palline, così come i numeri che precedono il 2^66, i quali contengono le palline indicate a lato?
Se così non fosse, cioè se non ci interessa il 9 finale, allora avrei individuato un altro criterio per sostituire il punto interrogativo con altra potenza del 2.
Ad ogni modo, considerato che il Decimal Basic da me utilizzato elabora fino a 2^3348, posso affermare che 2^n, per 108<n<3349, contiene sempre le 4 cifre con le palline.
Comunque, poiché 2^3348 consta di 1008 cifre, penso che procedendo oltre il 3348, con l'aumentare delle cifre, probabilmente 2^n conterrà sempre le 4 cifre in questione, se non tutte le cifre dallo 0 al 9.
.
.
.
Tanto premesso, non potendo dimostrare quanto sopra asserito, mi si è accesa successivamente la :idea: ; per cui ho trovato il modo di far lavorare Decimal Basic, per questo caso, oltre il 2^3348, ovvero fino a 2^1000000, anche se avrei potuto continuare oltre tale limite :D . Ebbene, fra 2^109 e 2^1000000 0,6,8 e 9 sono risultati sempre presenti, tutti contemporaneamente. Cresce dunque intuitivamente la probabilità che questa situazione perduri all'infinito. Forse qualcuno sarà in grado anche di dimostrare questo "fenomeno".
Sta di fatto che partendo da 2^0 e moltiplicando successivamente sempre per 2 i vari risultati, improvvisamente appaiono dal nulla altre cifre, che nei primi passi scompaiono, riappaiono, poi si raddoppiano e quindi s'arriva al punto di non ritorno, a partire dal quale tutte le cifre aumenteranno soltanto. :shock:
Ultima modifica di Pasquale il mar gen 30, 2018 7:56 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Bruno » mar gen 30, 2018 8:41 am

Pasquale, al quesito iniziale abbiamo già risposto.

Ma tu hai centrato perfettamente il nocciolo della mia successiva domanda :D

Leggendo le tue osservazioni, quasi riascolto le mie considerazioni di ieri quando ho intravisto quel fenomeno :wink:
Pasquale ha scritto:con l'aumentare delle cifre, probabilmente 2^n conterrà sempre le 4 cifre in questione, se non tutte le dallo 0 al 9.
Così pare anche a me. Dopo $\;2^{168}$, a cui manca il $\;2$, sembrano essere presenti tutte le dieci cifre.
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Massimo » mar gen 30, 2018 12:24 pm

un attimo,
2^67 = 147573952589676412928
così come
2^68 = 295147905179352825856
contengono entrambi 9 e 9 palline rispettivamente: ******9***896*6***9*8 e *9****90***9***8**8*6, non vedo perchè passare quindi al 2^68 quando già 2^67 rispetta la sequenza.
se poi la relazione è che oltre alla questione delle palline è necessario si rispetti anche il fatto che tutte le cifre nel lato sx devono contenere lo 0, allora è un aspetto ulteriore.
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Bruno » mar gen 30, 2018 3:43 pm

Massimo ha scritto: se poi la relazione è che oltre alla questione delle palline è necessario si rispetti anche il fatto che tutte le cifre nel lato sx devono contenere lo 0, allora è un aspetto ulteriore.
Lo zero, il sei, l'otto e il nove, infatti, caratterizzano tutte le potenze di $\;2\;$ date, e sono le cifre su cui viene effettuato il conteggio.
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Massimo » mar gen 30, 2018 6:41 pm

ma senza lo 0, che è invece presente nel 2^68, 2^67 raggiunge comunque le 9 palline grazie ai suoi 6, 8 e 9
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Pasquale » mar gen 30, 2018 9:29 pm

Va bene, era una questione di interpretazione: poteva essere sufficiente la progressione delle potenze, ma il numero di palline costituiva una condizione, alla quale si è aggiunta anche la condizione della presenza di tutte le cifre generatrici di palline, non dichiarata, a meno che non si voglia fare riferimento al salto in avanti citato nel titolo del quesito, ove ancora non mi è chiaro il "salto laterale", salvo che non voglia significare che il numeretto a destra si riferisce al numero a lato.
Adesso vorrei far notare che, escludendo il numeretto a destra (che comunque c'era), cercando un indizio nel "salto laterale", avevo notato che le prime cifre di ogni riga erano le seguenti:

1
2
4

9
18
36

73
?

che mi avevano portato a pensare che al 73 dovesse seguire il 146 in quanto doppio del 73.
Infatti, partendo dall'inizio abbiamo 2 raddoppi e poi un raddoppio +1; quindi ancora 2 raddoppi ed un raddoppio +1, al quale avrebbe dovuto seguire un altro raddoppio (146):
ebbene, la prima potenza del 2 con iniziale 146 era risultata 2^160, che però non aveva alcun collegamento con l'indizio del 9.
In definitiva si potrebbe affermare che Bruno abbia voluto propinarci un "indovinello matematico", in accordo con lo spirito di Base5, consentendoci il giusto divertimento: dunque grazie.
Aggiungo per Bruno che ho controllato fino a 2^1000000 ed in effetti a partire dall'esponente 169 tutte le 10 cifre sono sempre presenti.
Se interessa, posso inviare la routine con cui ho effettuato tale accertamento con lo stesso Decimal Basic, che oltre le 1008 cifre finisce in overflow.
Ultima modifica di Pasquale il gio feb 01, 2018 12:41 am, modificato 1 volta in totale.
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Bruno » mer gen 31, 2018 8:44 am

Massimo ha scritto:ma senza lo 0, che è invece presente nel 2^68, 2^67 raggiunge comunque le 9 palline grazie ai suoi 6, 8 e 9
Verissimo, Massimo, sono d'accordo. Tuttavia, la presenza dello zero (assieme alle altre cifre coinvolte nel conteggio) salta all'occhio, addirittura più della natura di quei numeri.
Penso che l'autore dell'indovinello volesse richiamare l'attenzione su questo aspetto, rispetto all'approccio laterale...
Pasquale ha scritto:ove ancora non mi è chiaro il "salto laterale"
Il titolo è mio :D
Trovarmi di fronte a dei numeri e mettermi a contare le palline delle cifre, mi ricordava il cosiddetto pensiero laterale.
Pasquale ha scritto: Aggiungo per Bruno che ho controllato fino a 2^1000000 ed in effetti a partire dall'esponente 169 tutte le 10 cifre sono sempre presenti.
Se interessa, posso inviare la routine con cui ho effettuato tale accertamento con lo stesso Decimal Basic, che oltre le 1008 cifre finisce in overflow.
Grazie mille, Pasquale, lo immaginavo.
La questione dovrebbe essere chiarita analiticamente, ma al momento non ho idee.
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Pasquale » gio feb 01, 2018 4:11 am

.......analiticamente.....non facile.

Comunque occorrono dei dati di partenza su cui ragionare, per cui ne riporto alcuni di seguito, che non so quanto potranno essere utili:

ogni volta che si raddoppia, in linea di massima uno zero resta zero, il che non è cosa buona, ma per fortuna può essere modificato in base al valore della cifra alla sua destra che può generare un riporto;

lo zero viene generato solo dal raddoppio dello zero stesso e del 5, ma in questo caso una cifra a destra può evitare tale risultato;

per fortuna la sequenza di potenze del 2 non parte dallo zero (2^0=1), altrimenti la sequenza stessa non esisterebbe;

partendo quindi da 1 ed esaminando la sequenza dei raddoppi, si trova che in 15 raddoppi vengono generate tutte le cifre, che compaiono e spariscono in vario modo, ma comunque la lunghezza dei numeri tende ad aumentare e non a diminuire: l'ultima cifra generata al 15° raddoppio è il 7; questo significa che tutte le cifre, anche se in momenti diversi, hanno modo di essere raddoppiate o di sorbirsi un riporto dalla destra. In particolare, ogni cifra con i vari raddoppi successivi è in grado di generare tutte le cifre nelle sequenze successive ed in particolare:

dal 2 derivano tutte le cifre e per ultima il 7 in 14 raddoppi
dal 3 per ultimo lo zero in 10 raddoppi
dal 4 il 7 in 13
dal 5 il 7 in 16
dal 6 lo zero in 9
dal 7 lo zero in 17
dall' 8 il 7 in 12
dal 9 lo 0 in 8

Come si può notare,tutte le cifre generano per ultimo o il 7 o lo zero, quando hanno avuto cioè il tempo di generare tutte le altre cifre, che nei vari raddoppi ripeteranno tale andamento.

Dunque lo zero, generato spesso in ritardo rispetto ad altre cifre, può essere anche vanificato da un riporto, mentre nessun riporto può generare lo zero in un raddoppio; questo fa pensare che più si procede nei raddoppi, tanto più lo zero (che genera solo zero) verrà a trovarsi in minoranza rispetto alle altre cifre che generano tutte le cifre, compreso lo zero (tramite il 5), che resta minoritario rispetto a tutte le altre cifre. Teoricamente lo zero dovrebbe tendere a scomparire se non fosse per il 5 che peraltro può generare o meno lo zero secondo il valore della cifra alla sua destra. Anche il 7 potrebbe risultare minoritario, ma ci sono cifre alla sua destra che possono generarlo, mentre abbiamo visto che non esiste una cifra alla destra dello zero che possa generarlo (l'unico, se esistesse, sarebbe un 9 e mezzo + un riporto).

In definitiva, con il crescere del numero, poiché tutte le cifre generano tutte le altre, fra cui il 5 che ogni tanto genera lo zero, la tendenza vede lo stabilizzarsi della presenza di tutte le cifre in misura diversa a fasi alterne, come in un'oscillazione.
In fondo la tendenza del fenomeno appare sin dai primi raddoppi:

1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024

Appare evidente come lo zero sia in minoranza sin dai primi passi e d'altra parte se così non fosse, se fosse lo zero a crescere rispetto alle altre cifre, dovremmo credere in un annullamento all'infinito della potenza del 2, ma se così non è........

Termino qui le mie ripetute elucubrazioni ed altro non saprei aggiungere.
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Massimo » gio feb 01, 2018 8:52 am

Bruno ha scritto:
Massimo ha scritto:ma senza lo 0, che è invece presente nel 2^68, 2^67 raggiunge comunque le 9 palline grazie ai suoi 6, 8 e 9
Verissimo, Massimo, sono d'accordo. Tuttavia, la presenza dello zero (assieme alle altre cifre coinvolte nel conteggio) salta all'occhio, addirittura più della natura di quei numeri.
Penso che l'autore dell'indovinello volesse richiamare l'attenzione su questo aspetto, rispetto all'approccio laterale...
Non saprei dirti riguardo le intenzioni dell'autore, tuttavia, a soli fini statistici, a me non era saltato all'occhio.
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Re: Un salto laterale, un salto in avanti.

Messaggio da Bruno » gio feb 01, 2018 11:22 am

Infatti non è evidente, Massimo, finché non si scopre che bisogna contare le "palline" :D
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