Un quesito banale.

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peppe
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Un quesito banale.

Messaggio da peppe » sab ott 22, 2016 8:59 pm

Premessa. Sono consapevole del fatto che il quesito che mi accingo a proporvi è
di una banalità offensiva per gli smaliziati e preparati frequentatori di questo
pregevole forum.
Tuttavia, considerata la fonte, (che mi riservo di rendere nota), dalla quale l'ho tratto,
alla fine mi sono deciso a farlo, dopo aver superato le numerose e giudiziose resistenze, di
quel poco di buon senso che mi è ancora rimasto.
Ecco allora che, approfittando spudoratamente del vantaggio anagrafico che mi ritrovo, sia pure
con timore e rossore, e sicuro della benevolenza (leggasi compatimento) degli amici di vecchia data,
che ritengo superfluo elencare, ecco, dicevo, che oso proporvi quanto segue:

Data l'equazione parametrica di secondo grado :

$x^2+2(k+3)x+7−2k=0$

dire per quali valori di k le soluzioni sono una l'inversa dell'altra?


La procedura standard prevede di trovare le due soluzioni e poi imporre che la prima sia l'inversa
dell'altra. Verrà fuori una equazione in k la cui risoluzione risolve il quesito.

Però, trattandosi di una equazione parametrica di secondo grado, la soluzione, benché semplice, diventa un po'
lunga e noiosa.
E' possile evitare la noia di trovare le soluzioni?

Come premesso il quesito è semplice ma lo è ancora di più la spiegazione
che mi ha stupito e indotto a fare questa riflessione:

le cose apparentemente complicate a volte hanno soluzioni di una semplicità disarmante!


Con amicizia. peppe
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

vittorio
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Re: Un quesito banale.

Messaggio da vittorio » dom ott 23, 2016 10:07 am

Data la generica equazione di secondo grado ax^2+bx+c=0, con a\neq 0, sappiamo che la somma delle radici x1 e x2 è data da -b/a mentre il loro prodotto è dato da c/a.
Nel caso presente essendo a=1 e le radici una l'inversa dell'altra, dovrà anche essere 7-2k=1 da cui k=3.
L'equazione diventa x^2+12x+1=0 che ammette le soluzioni -\sqrt{35k}-6 e \sqrt{35}-6 il cui prodotto è 1 e sono quindi una l'inversa dell'altra.
Vittorio
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peppe
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Re: Un quesito banale.

Messaggio da peppe » dom ott 23, 2016 3:10 pm

O.K.Grazie Vittorio.
Non lo so, probabilmente a causa delle mie poche conoscenze matemetiche,il
mio entusiasmo di fronte alla risoluzioni di alcuni quesiti risulta sproporzionato.
Sicuramente per te, docente pensionato (così leggo nel tuo profilo) la soluzione
del quesito è una cosa scontata.

Però consentimi una piccola riflessione. Quando negli anni '60 frequentavo le
scuole superiori di 2° grado, indirizzo tecnico, Chimica Industriale, precisamente, un po' di
matematica ce la facevano studiare.
L'argomento equazioni, anche se appartiene a un lontano ricordo non mi è nuovo, anche
perché la matematica mi piaceva e ne subivo il fascino.
La soluzione "veloce" del quesito proposto dovrebbe quindi, in teoria, far parte del mio ex "bagaglio matematico", e
tuttavia, lo stupore che provo dimostra che la ignoravo. E non si tratta solo di una semplice dimenticanza!

Però, a ben pensarci, se il Prof. Alfio Ragusa già segnalato
ritiene utile e opportuno rinfrescare la memoria dei suoi studenti, trattando l'argomento in una video-lezione del precorso universitario di Matematica, che
potete seguire (minuto 20.48 della barra di scorrimento del tempo) a questo indirizzo:

https://www.youtube.com/watch?v=Es2XaLZ ... rAkGys0ery

un qualche motivo ci sarà. E secondo me il motivo sta nel fatto che alcune "scorciatoie" o non vengono poste in
evidenza dagli insegnati di matematica (come nel mio caso), oppure vengono col tempo dimenticate perché
trascurate o date per scontate, quando "scontate" non lo sono affatto!

Saluti da peppe. :wink:
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Re: Un quesito banale.

Messaggio da peppe » sab ott 29, 2016 7:28 am

In questo thread :
http://www.matematicamente.it/forum/vie ... 1&t=111122
mi ha incuriosito la risposta di Pianoth - 06/02/2013, 19:11 :

" Ti starai chiedendo: da dove ho preso quel$\frac{7}{9}$?
In generale, se hai un'equazione di n-esimo grado generica:

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0 = 0$

puoi eliminare il termine $n-1$ -esimo sostituendo
$y = x+\frac{a_{n-1}}{na_n}$

Nel nostro caso abbiamo un'equazione di terzo grado del tipo

$ax ^3 +bx ^2 +cx+d = 0$,

quindi dovremo sostituire $y = x+\frac{b}{3a}$ "


Ho provato a cercare una dimostrazione ma inutilmente.
Siccome non tutto ciò che si trova scritto sul web è
oro colato, desidererei sapere se quanto asserito da Pianoth
è vero e come lo si dimostra.

Insomma una dimostrazione come questa:

http://www.slideshare.net/santicaltabia ... -interi-sc

Grazie. peppe
bye-bye :wink:
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