Un quadrangolo speciale

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karl
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Un quadrangolo speciale

Messaggio da karl » mar nov 29, 2011 8:42 pm

Sia ABCD un qualunque quadrangolo.Se costruiscano esternamente ad esso i triangoli rettangoli isosceli aventi per ipotenusa ciascun lato di ABCD.I punti esterni M,N,P,Q formano un altro quadrangolo.Dimostrare che le diagonali di quest'ultimo sono congruenti e perpendicolari tra loro.
La cosa si vede bene con GeoGebra : muovere il vertice A .
Questa è un'Applet Java creata con GeoGebra da www.geogebra.org - Java non risulta installato sul computer in uso - fare riferimento a www.java.com

fabtor
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Re: Un quadrangolo speciale

Messaggio da fabtor » ven dic 16, 2011 4:48 pm

Questo si che è interessante, e con le vacanze mi riprometto di pensarci sopra, tuttavia ad occhio direi che il campo d'indagine vada ristretto ai soli quadrangoli convessi per come è stato posto il problema.

Infatti, se prendiamo quelli concavi esistono dei casi in cui la figura esterna non è più un quadrilatero ed altri casi in cui non sono più le diagonali ad essere perpendicolari ma solo le rette su cui queste giacciono.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: |e^{-i\pi}|...

Pongo y = x^{2} quindi y=\frac {x^{2}}{pongo}
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

fabtor
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Re: Un quadrangolo speciale

Messaggio da fabtor » dom gen 29, 2012 11:51 am

Allora ci ho messo un po' più di tempo del previsto in quanto ho dovuto scrostare un po' di ruggine dagli ingranaggi cerebrali, ma forse ora dovremmo esserci.

Sfruttando teorema degli angoli opposti ad un vertice il problema si riduce al dimostrare che i due angoli adiacenti al vertice siano congruenti, infatti essendo questi supplementari se sono congruenti sono entrambi retti.

Se prendiamo un quadrilatero generico come quello con cui si è fatta la costruzione per l'ipotetico quadrilatero a diagonali perpendicolari e ci limitiamo a considerare un solo triangolo rettangolo isoscele costruito sul lato di questo ed il punto medio dell'ipotenusa (per semplicità facciamo la costruzione dalla parte dove l'intersezione delle due diagonali forma un angolo acuto)osserviamo che la riflessione del vertice d'intersezione dei 2 cateti rispetto al punto medio cade in un punto diverso dal punto di intersezione delle 2 diagonali.

Quindi costruendo il triangolo riflesso a quello precedentemente costruito, esso sarà sicuramente congruente ad esso e formerà un angolo alfa diverso da zero con la diagonale che per il teorema dell'angolo esterno dei triangoli se sarà sommato all'angolo acuto dell'intersezione delle diagonali farà proprio 90° cioè l'angolo retto del "triangolo riflesso".

Di conseguenza l'angolo all'intersezione sarà 90°- alfa e quello a lui adiacente sarà per supplementarità 90 +alfa.

Se rieseguiamo la stessa costruzione invece su un quadrilatero con le diagonali ortogonali si osserva che la riflessione del punto d'intersezione dei cateti è coincidente con quella delle due diagonali a meno di una rotazione di raggio pari all'altezza sull'ipotenusa del triangolo riflesso con centro al punto medio dell'ipotenusa e poichè la rotazione non varia l'ampiezza degli angoli la si può applicare andando a formare un angolo alfa nullo.

Quindi, eseguendo la costruzione sul quadrilatero ottenuto (e ruotandolo opportunamente) si osserva proprio la coincidenza tra le due intersezioni e quindi abbiamo proprio un angolo alfa nullo e quindi i due angoli adiacenti all'intersezione delle diagonali divengono rispettivamente

90°-0° e 90°+ 0° cioè entrambi retti, e conseguentemente rimane dimostrato che le due diagonali sono perpendicolari.

P.S. Avrei voluto postarvi il disegno che ho fatto con geogebra per rendere la spiegazione più chiara e meno descrittiva, ma è proprio più forte di me: anche stavolta non ci sono riuscito :(.

P.S.S. Spero di essere stato comunque sufficientemente chiaro e di non aver preso una cantonata.
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Re: Un quadrangolo speciale

Messaggio da karl » sab feb 04, 2012 10:59 am

Vedo che la tua risposta al quesito è di natura costruttiva.E' un peccato che non si possa vederla in pratica con un disegno.Magari ci rifletto un po' sopra...

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