Dimostrare che il triangolo ABC è isoscele.

(più breve di così....)

intanto vediamo quello che sapiamo:
i tre angoli in P misurano 129-105-126
indi i due pezzi di angolo mancanti al vertice superiore e a quello di destra, hanno somma 56
se divido questi 56 in 15 (in basso) e 39 (in alto), il triangolo darà soddisfazione a mathmum...
però manca qualcosa

In un sistema di assi cartesiani, il segmento AB rappresenta la base del nostro presunto triangolo isoscele, ove le coordinate degli estremi sono A(-1,0) e B(1,0).
Ho attribuito delle misure, per semplificare i calcoli del procedimento, anche perché una misura generica non cambia i termini del problema, in quanto, ferme restando le angolazioni indicate nel testo, al variare di AB otteniamo triangoli simili e quindi la natura del triangolo resta la stessa.
Traccio per A le rette che formano con AB angoli di 42° e 24° e traccio per B la retta che forma con AB un angolo di 27°: ne determino le equazioni e poi metto in sistema le due rette con angoli 24° e 27°, per trovare le coordinate del punto P di intersezione.

Traccio per P la retta che forma con AB un angolo di 81°, ne determino l'equazione e la metto in sistema con quella della retta passante per A che forma con AB l'angolo di 42°, in modo da individuare l'ascissa del punto di intersezione C(x,y), che rappresenta il terzo vertice del nostro triangolo.
Se x=0, allora il punto C appartiene all'asse del segmento AB e dunque il triangolo è isoscele.
Non ancora ho fatto i calcoli....intanto a voi la palla.




http://www.base5images.altervista.org/_ ... scele2.JPG

Si, l'ascissa del punto C (vedi sopra) é:

(tg81°tg27°-tg81°tg24°+2tg27°tg24°-tg42°tg27°-tg42°tg24°)/[(tg27°+tg24°)(tg81°+tg42°)], in cui il numeratore ha valore nullo e pertanto il triangolo è isoscele.

...

Che elegante approccio, Pasquale
Grande!

Ho provato anch'io a cercare qualcosa, ma per il momento
non ho trovato niente di meglio di ciò che segue.
Il procedimento che riporto mi è giusto servito per rendermi
conto, sia pure in soldoni, che il triangolo di Mathmum è
effettivamente isoscele.
Di certo, comunque, ho dedicato molto più tempo a scrivere
questo messaggio (per renderlo appena un po' decente)
che a scarabocchiare i miei calcoli...

Per prima cosa, osservo che esistono questi rapporti, e mi
permetto di richiamare la bella immagine di Mathmum:




AP : PB = sen 27° : sen 24°
PB : CP = sen PCB : sen PBC
CP : AP = sen 18° : sen 57°

derivanti dal teorema dei seni.
Ma questo significa, moltiplicando membro a membro la
prima e l'ultima uguaglianza, che:

CP:PB = sen 18° · sen 27° : (sen 24° · sen 57°) .

Rispetto alla seconda uguaglianza, inoltre, posso pure scrivere:

1) sen PCB : sen PBC = sen 24° · sen 57° : (sen 18° · sen 27°).

D'altra parte, però, so anche che gli angoli PCB e PBC sono
legati da questa relazione:

PCB + PBC = 54°

dal momento che l'angolo ABP = 180°-(24°+27°) = 129° e,
per il legame esistente fra gli angoli interni e quelli esterni
di un triangolo:

129° = (18°+57°)+(PCB+PBC).

Posso riscrivere così, allora, il primo rapporto della (1):

sen PCB : sen PBC = sen(54°-PBC) : sen PBC = (sen 54°·cos PBC - cos 54°·sen PBC) : sen PBC

cioè:

sen PCB : sen PBC = (sen 54° : tg PBC) - cos 54°

e quindi, sostituendo nella (1) e isolando la tangente,
ottengo:

tg PBC = sen 18°·sen 27°·sen 54° : (sen 24°·sen 57° + sen 18°·sen 27°·cos 54°).

Guardando sen 18°, sen 24° etc, potrei anche esprimerli
per mezzo di radicali e poi modificare qualche prodotto e,
con un pochino di pazienza, troverei $\, tg \,{\small PBC = 2-\sqr{3}}$,
ma sorvolo speditamente... Comunque, da ciò ricavo un
angolo PBC = 15°.

Poiché l'angolo CAB = 18°+24° = 42° = 15°+27° = ABC,
il triangolo è isoscele.

Tutto qui, una mera "botta di conti"


(Bruno)

Mettere insieme tutte quelle relazioni, non mi sembra una semplice botta di conti: e vai Bruno, ché sei potente!
Comunque, questi quizzzzzzzzz sono utili, perché servono anche ad andarsi a riguardare certe cose (il teorema dei seni, ad esempio non lo ricordavo per niente): quindi ringraziamo anche Mathmamy.

Bravi!!! e devo concordare che la soluzione "analitica" è molto elegante. Anche io, dopo avere tentato una soluzione geometrica elementare, e dopo avere buttato non so quanti fogli e foglietti dove ho tracciato tutte le parallele possibili e immaginabili, sono passata alla forza bruta del teorema dei seni applicato a APC, CPB e APB, utilizzando solo le relazioni tra i lati CP, AP e PB che uguagliate tra loro mi hanno portato alla vostra conclusione.
Ho comunque conservato uno dei fogliettini con le malefiche parallele, quello che mi sembra il più promettente, e chissà mai che ne venga fuori qualcosa...
ciao!

Pasquale ha scritto:Mettere insieme tutte quelle relazioni, non mi sembra una semplice botta di conti: e vai Bruno, ché sei potente! (...)

...in realtà, Pasquale, ciò che ho fatto è sostanzialmente routine e "forza
bruta", come giustamente dice Mathmum, e ho postato il mio procedimento
solo perché ho provato a pensare anch'io al problema e mi sarebbe dispiaciuto...
centrare il tutto nel cestino!
Non sono riuscito a trovare qualcosa di più interessante e penso invece che
tu sia andato molto più in là di me!