un problema di definizione

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ronfo
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un problema di definizione

Messaggio da ronfo » dom set 25, 2016 7:31 pm

Ciao a tutti
ho da poco terminato un bel libro di matematica (numeri incredibili di Ian Stewart)
e mi sono reso conto di quanto sia grande la mia ignoranza in materia;
da un lato perché il mio curriculum scolastico è terminato relativamente presto
e dall'altro perché la materia è vasta almeno quanto il nostro universo e i percorsi che si possono intraprendere sono veramente infiniti.
Fatta questa doverosa osservazione mi sono dedicato a più abbordabili letture,
se non che mi è capitato di incontrare un intoppo in una definizione che di per se pare evidentissima.
In breve ho sempre considerato ovvio che una coppia ordinata fosse semplicemente (a,b) con
a primo elemento , b secondo ( punto e basta ... nient'altro da capire)
ma ho trovato su un libricino (Analisi zero di Giuseppe De Marco)le seguenti righe che riporto fedelmente:
" ...Volendo , si può definire coppia ordinata (x,y) ricorrendo alla teoria degli insiemi, nel modo seguente:
(x,y) = {{x},{x,y}}
si vede infatti subito che se x' ,y' sono due altri oggetti ,si ha
{{x},{x,y}} = {{x'},{x',y'}} se e solo se è x=x' ed y=y'.
ma non è affatto conveniente, è anzi un inutile sforzo mentale, pensare in questi termini ad una copia ordinata.
Questa desfinizione è talvolta data solo in quanto riconduce un nuovo concetto (coppia ordinata) a concetti
già noti(nsiemi)"
Che sia del tutto evidente a me non risulta infatti:dato che in un insieme non importa l'ordine degli elementi
che lo compongono sarà {{x},{x,y}} = {{x,y},{x}} ( o anche {{y,x},{x}})
quindi perché quanto sopra rappresenti (x,y) e non (y,x) non mi è chiaro
mi direte che (y,x) ={{y},{y,x}} per essere coerente con quanto detto in precedenza ?!
Sarà che forse la definizione è troppo evidente ma non riesco a capirla
c'è qualche buona anima che ha una spiegazione più convincente ?
Buon proseguimento a tutti

Gianfranco
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Re: un problema di definizione

Messaggio da Gianfranco » dom set 25, 2016 8:34 pm

Ciao Ronfo, in pratica ti sei già dato la risposta da solo.
Infatti hai scritto:
In breve ho sempre considerato ovvio che una coppia ordinata fosse semplicemente (a,b) con
a primo elemento ...
Tu usi i concetti di "primo elemento" e "secondo elemento" che riguardano l'ordinamento delle cose.
Ma immagina non avere ancora definito i numeri ordinali. La definizione dei numeri ordinali come insiemi è piuttosto complessa e viene DOPO la definizione di coppia ordinata.

Non puoi quindi usare né le parole, né i concetti "primo", "secondo", etc.

Puoi solo usare il concetto di insieme, per il quale {a,b}={b,a}.
Vuoi però aggiungere qualcosa che ti permetta di distinguere {a,b} da {b,a}.

Allora, per spiegare cosa è una coppia ordinata devi dare due informazioni, sotto forma di insiemi.

Le due informazioni sono per l'appunto:
-la coppia non ordinata, scritta come insieme di due elementi {a,b}
-un elemento della coppia, scritto come insieme singleton {a}, che ti permetta di distinguere {a,b} da {b,a} (a è l'elemento che A POSTERIORI possiamo chiamare il PRIMO elemento della coppia)

E siccome sei nella teoria degli insiemi devi dirlo con un insieme che è {{a},{a,b}}

Nella teoria degli insiemi SI USA scrivere la coppia ordinata (a,b) così {{a},{a,b}} ma questa scrittura è equivalente alle seguenti:
{{a},{a,b}} = {{a},{b,a}} = {{b,a},{a}} = {{a,b},{a}}
Tutte queste scritture insiemistiche permettono di individuare univocamente qual è la coppia e qual è il suo "primo" elemento, cioè (a,b).

Questo non è l'unico modo in cui si può definire la coppia ordinata in teoria degli insiemi. Ce ne sono altri, ma questo forse è quello più "semplice".
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: un problema di definizione

Messaggio da ronfo » lun set 26, 2016 8:22 am

Grazie Gianfranco
mi hai chiarito le idee !!!
buona giornata

Gianfranco
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Re: un problema di definizione

Messaggio da Gianfranco » mer set 28, 2016 11:44 am

OK Ronfo, per verificare se hai le idee chiare, prova a definire la terna ordinata usando solo il concetto di insieme ed eventualmnte quello di coppia ordinata :wink: .
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

ronfo
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Re: un problema di definizione

Messaggio da ronfo » gio set 29, 2016 12:04 pm

Ciao Gianfranco
mi scuso se rispondo solo ora ma se c'è una cosa che mi difetta è proprio il tempo ; non ne ho mai abbastanza
per tutte le grane e granette quotidiane ... ma tirem innanz.
Confesso che mi fa un certo effetto a sessantanni rispondere alle domande come se fossi sui banchi di scuola
ma visto la tua cortesia a spiegarmi le cose ... vediamo se ho capito
Una terna è un insieme di tre elementi {a,b,c} ( l'insieme lo posso scrivere nell'ordine che voglio {a,c,b} {b,a,c} {b,c,a} ecc.)
in cui dovrò stabilire un certo ordine (a,b,c) con a primo elemento , b il secondo , c il terzo.
Da quanto detto nella tua risposta dovrò indicare il primo elemento con {a}
per indicare che b è il secondo elemento come per la coppia ordinata utilizzerò l'insieme {a,b}
non mi resta che indicare il terzo elemento {a,b,c}.
fino a qui tutto ok
Ora viene il bello sono indeciso tra {{a},{a,b},{a,b,c}} che mi sembra la più naturale
e {{a},{{a},{a,b}}, {{a},{a,b},{a,b,c}}} che da delle informazioni in più ma mi sembra artificiosamente complicata.
Dico bene ?
Grazie e buona giornata

Gianfranco
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Re: un problema di definizione

Messaggio da Gianfranco » gio set 29, 2016 5:30 pm

Ciao Ronfo,
non era mia intenzione assegnare un compitino, né impegnare inutilmente del tempo (che giustamente è prezioso).
Volevo solo proporre un piccolo esercizio mentale, quasi un gioco.
Purtroppo, siccome faccio il prof., il mio linguaggio a volte risente di una deformazione professionale, soprattutto quando formulo esercizi e problemi...

In ogni modo, TI RINGRAZIO :D per la risposta perché mi ha fatto accorgere che l'argomento che hai proposto non è poi così semplice come potrebbe sembrare a prima vista.
----
Chiunque sia arrivato fin qui non è tenuto a proseguire.
Anche perché cos'è una terna ordinata l'abbiamo capito benissimo!
----

1) La definizione {{a},{a,b},{a,b,c}} è davvero tentatrice ma credo che non si possa accettare.
Infatti, se la applichiamo alle due terne distinte (a,a,b) e (a,b,b), risulta che:

(a,a,b)={{a},{a,a},{a,a,b}}={{a},{a,b}}=(a,b)
(a,b,b)={{a},{a,b},{a,b,b}}={{a},{a,b}}=(a,b)

In pratica la definizione non permette di distinguerle.

2) Mi sembra che anche la definizione {{a},{{a},{a,b}},{{a},{a,b},{a,b,c}}} abbia qualche problema.

(a,b,b)={{a},{{a},{a,b}},{{a},{a,b},{a,b,b}}}={{a},{{a},{a,b}}}
(a,b,a)={{a},{{a},{a,b}},{{a},{a,b},{a,b,a}}}={{a},{{a},{a,b}}}

Mah, forse è meglio non approfondire...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

ronfo
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Re: un problema di definizione

Messaggio da ronfo » sab ott 01, 2016 4:17 pm

Ciao Gianfanco
grazie per la tua cortese risposta.
in merito al discorso del "compitino" nessun problema , la mia voleva essere solo una spiritosaggine con cui cerco di condire i miei post.
Molto positivo invece il discorso della "deformazione professionale" segno che svolgi diligentemente il tuo lavoro!
Riguardo invece al problema di definizione mi hai messo un'altra pulce nell'orecchio .
Recepita la disertazione sulla terna (!?) perché allora lo stesso problema non sorge per la coppia (a,a) =per def {{a}.{a,a}}={{a},{a}}={{a}}
Comunque se queste dovessero essere "inutili elucubrazioni mentali" non disturbarti a spiegarmelo.
Grazie ancora e buona domenica
Ronfo

infinito
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Re: un problema di definizione

Messaggio da infinito » gio ott 06, 2016 5:10 am

Scusate, non ho capito se il “compitino” o “piccolo esercizio mentale” è terminato, oppure se si stava dando al lettore il tempo di finire.
Comunque do la mia risposta.

Concordo che le cose non sono così intuitive, e che “non viene spontaneo” considerare il caso in cui alcune “coordinate” di una n-pla di elementi possano essere uguali.
Inoltre, in assenza di dimostrazioni specifiche, non si hanno garanzie (per me) sufficienti a garantire che non ci siano errori nelle nostre definizioni.

Volendo definire il concetto di n-pla generalizzando quello di coppia, mi sembra che venga spontaneo definire la n-pla come un insieme di n elementi che sono insiemi con un numero crescente di elementi, cioè, per esempio:
(a,b,c,d,e,f)={a,{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d},{a,b,c,d,e},{a,b,c,d,e,f}} ,
ma questa idea “funziona” solo se non ci sono elementi uguali, e qualora ci fossero, incorreremmo in quello che ci ha fatto vedere Gianfranco.



… Sarà l’ora, ma non mi riesce fare in modo soddisfacente il discorso sui concetti di “semplice” e di “complesso”, che ho in mente;
così vado a concludere.

Il modo più facile per definire una terna (cioè per avere l’ordine) mi pare quello che segue applicando il concetto di coppia, che è “complesso”, e non solo quello semplice di insieme:
def1: (a,b,c) =((a,b),c)

se riporto la definizione con il concetto semplice di insieme, sapendo che (a,b) = {a,{a,b}}, ottengo:
def1: (a,b,c) = {{a,{a,b}},{{a,{a,b}},c}}
o, in alternativa (“migliore”):
(a,b,c) = (a,(b,c)) = {a,{a,{b,{b,c}}}}

Qui si intuisce che per generalizzare il concetto di coppia a quello di n-pla senza incorrere in errori, non conviene aumentare il numero di elementi, ma la nidificazione di insieme.

Cioè potrei anche dare una definizione diversa (più facile):
def2: (a,b,c) = {a,{a,b},{{a,b,c}}} ,
ma non mi pare naturale essere sicuri di non incorrere in errori dovuti, per esempio all’avere elementi del tipo: a={d} e b=d (spero di essere stato sufficientemente chiaro).


Invece mi parrebbe tutto convincente se potessi avere degli elementi che non appartengono all’universo degli elementi che voglio avere nelle n-ple.
Cioè, per esempio, per definire una n-pla di elementi di A, insieme a cui non appartengono numeri, posso definire:
def3: (a,b,c,d,e,f)={{a,1},{b,2},{c,3},{d,4},{e,5},{f,6}};
oppure se A è un inseme di numeri, posso usare delle lettere ordinate,
per esempio (3,7,5,-1,2) = {{3,a},{7,b},{5,c},{-1,d},{2,e}}


Infine un’osservazione che forse andava fatta all’inizio: la definizione di (a,b) = {a,{a,b}} funziona anche nel caso in cui a=b, perché (a,b) diventa {a}, ed è ovvio che che sia il primo che il secondo elemento (o “entrambe le coordinate”) sono a.
Però si perde un’informazione, ed è quella che {a} è una coppia.
Cioè se sto parlando di n-ple varie, che possono essere 1-ple, coppie, terne, o altro, la definizione data non va bene, perché, per esempio, {a} non permette di distinguere se è una 1-pla, una coppia, o altro.

In conclusione, con buona pace degli algebristi, fatevi una adeguata scorta di “segnaposto” e utilizzate la def3, che ha tutte le virtù: si vede che n-pla è, è chiarissima (anche per persone “normali”) e si scrive in modo abbastanza sintetico.
Gaspero

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