un problema di conversione

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ronfo
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un problema di conversione

Messaggio da ronfo » mer dic 16, 2009 11:07 am

“ Tra il dire e il fare c’è di mezzo il mare”
Mi ricordo che un’insegnante di Matematica mi diceva che è necessario fare molto esercizio per assimilare i concetti , anche se sembrano facili,… perché è un po’ come sciare , a guardare i discesisti sembra la cosa più naturale del mondo ma appena uno calza gli sci non riesce neanche a stare in piedi; e per la matematica è lo stesso: sembra di aver capito tutto di un argomento ma alla prova dei fatti casca l’asino
( in questo caso purtroppo sono io).
Fatta questa doverosa premessa il problema è molto semplice :
la conversione degli angoli in radianti e viceversa … la formuletta è
α₌ (180/π)*ρ
dove "α" sono i gradi e "ρ" sono i radianti
peccato che ci sia il "π" di mezzo perché quando si devono fare le divisioni viene un po’ male ,
in altri termini e molto semplicemente (anche se so già il risultato perché lo trovo sui libri di testo) come faccio a calcolare a quanti gradi , primi, secondi corrisponde 1 radiante ( 57° 17’ 44’’,803) dovendo eseguire una divisione per un numero non intero?
Vi ringrazio anticipatamente.
P.S. Quanto sopra è successo perché volevo spiegare a un ragazzino come si fa la conversione tra gradi e radianti ma al momento di fare i conti questi non tornavano.

mathmum
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Re: un problema di conversione

Messaggio da mathmum » mer dic 16, 2009 12:44 pm

Poichè un radiante è l'angolo che hai in corrispondenza di un arco lungo come il raggio della circonferenza, per forza di cose per calcolare la misura di un radiante devi dividere 360° per 2pi, e quanto più desideri un risultato accurato, tante più cifre decimali di pi dovrai "mettere" nella divisione.
(per me l'importante è che uno studente sappia che un radiante è "un 57 gradi abbondanti"... ma questa è solo la mia opinione...)

Ciao,
S.
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

ronfo
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Re: un problema di conversione

Messaggio da ronfo » mer dic 16, 2009 2:58 pm

Hai ragione.
Ho provato con una calcolatrice scientifica con il valore di "π" preimpostato e adesso i conti tornano.
Grazie e CIAO

infinito
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Re: un problema di conversione

Messaggio da infinito » lun dic 28, 2009 5:38 pm

Colgo l'occasione per:

- Salutare Base Cinque, dove scrivo davvero di rado.

- Fare gli auguri: buonissime feste, che possiate vivere la semplicità la profondità e la novità del Santo Natale e che abbiate un intero buonissimo nuovo anno.

- Fare presente una cosa che credo davvero poco nota (e che in verità non ho mai approfondito per davvero): 180 gradi è diverso da π radianti.


Infatti tutti sappiamo che il radiante è un numero puro, essendo, per definizione, un rapporto fra due lunghezze, mentre un grado è la 360ª parte dell'angolo giro, cioè 1° è un angolo; cioè un radiante è adimensionale, un grado no.


Ora se qualcuno vuole approfondire, credo che questa sia davvero la sede adatta …


… Auguri … anche di risoluzione.
Gaspero

Massimo
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Re: un problema di conversione

Messaggio da Massimo » lun dic 28, 2009 7:10 pm

infinito ha scritto:
- Fare presente una cosa che credo davvero poco nota (e che in verità non ho mai approfondito per davvero): 180 gradi è diverso da π radianti.


Infatti tutti sappiamo che il radiante è un numero puro, essendo, per definizione, un rapporto fra due lunghezze, mentre un grado è la 360ª parte dell'angolo giro, cioè 1° è un angolo; cioè un radiante è adimensionale, un grado no.


Ora se qualcuno vuole approfondire, credo che questa sia davvero la sede adatta …


cia infinito, auguri anche a te e a tutti gli utenti del forum (anche se in ritardo..)


i simboli °;g (o gon);rad distinguono l'angolo a seconda. Rispettivamente l'angolo giro è 360,400,2pigreco.

i primi si distinguono poi in sessagesimali e sessadecimali. Espressi in °;';" i primi e in °,parte decimale i secondi.

i primi sono quelli più comuni, i secondi sono i più impiegati laddove la precisione conta di più (ambito topografico) e i terzi sono impiegati in ambito scientifico.
-------
lasciamo un attimo da parte la velocità angolare e altre formule simili o ad essa ricollegata.
non conosco altre formule in cui compaia il simbolo dell'udm degli angoli se non per formule che danno come risultato appunto angoli.

se devo quindi dire che un angolo è di 2, devo in ogni modo specificarne l'udm sia esso un angolo misurato in sessagesimali, in centesimali o in radianti.

prendiamo ora in considerazione la velocità angolare ed altre formule simili. In esse compare un angolo a numeratore.
uso comune (e normativamente la più corretta) è impiegare in tale caso l'udm del SI che è appunto il radiante e comunque occorre specificarlo a scanso d'equivoci.
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infinito
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Re: un problema di conversione

Messaggio da infinito » mar dic 29, 2009 1:57 am

Ciao Massimo, so che un angolo giro è π radianti e 360 gradi, ma quello che intendo è che le due unità di misura (radiante e grado) non sono solo “diverse”, sono di natura intrinsecamente diversa, come dire: “incommensurabili”.

Ripeto il concetto: la misura in radianti è il rapporto fra la lunghezza dell'arco (…) e il raggio (…), cioè è un numero puro, a cui si può aggiungere, ma solo per chiarezza, il simbolo “r” nel posto dell'esponente (come si fa per il grado), ma resta semplicemente un numero; invece per il grado è indispensabile aggiungere il simbolo “°”, ed è effettivamente qualcosa di intrinsecamente diverso da un numero: è una parte di angolo (la 360ª parte dell'angolo giro).



Per quanto riguarda la velocità angolare è la stessa cosa: la velocità angolare media in un intervallo di tempo delta-t è il rapporto fra l'angolo precorso (o, nel caso vettoriale, fra la “variazione di angolo”) e delta-t. Se l'angolo si misura in gradi e il tempo in secondi, allora la velocità angolare si misura in gradi al secondo, se invece l'angolo si misura in radianti la velocità angolare si misura in radianti al secondo (o anche secondi alla meno uno, visto che un radiante è uguale al numero 1).

Semplicità di formule, di calcoli e di unità di misura fanno sì che nel SI gli angoli si misurino in radianti e gli angoli solidi in steradianti.
Gaspero

Pasquale
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Re: un problema di conversione

Messaggio da Pasquale » mar dic 29, 2009 2:09 am

oh yes: :P AUGURI A TUTTI !!!!!!!!!!!!! :P
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Massimo
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Re: un problema di conversione

Messaggio da Massimo » mar dic 29, 2009 9:15 am

infinito ha scritto:Ciao Massimo, so che un angolo giro è π radianti e 360 gradi,
2pigreco
infinito ha scritto: ma quello che intendo è che le due unità di misura (radiante e grado) non sono solo “diverse”, sono di natura intrinsecamente diversa, come dire: “incommensurabili”.

Ripeto il concetto: la misura in radianti è il rapporto fra la lunghezza dell'arco (…) e il raggio (…), cioè è un numero puro, a cui si può aggiungere, ma solo per chiarezza, il simbolo “r” nel posto dell'esponente (come si fa per il grado), ma resta semplicemente un numero; invece per il grado è indispensabile aggiungere il simbolo “°”, ed è effettivamente qualcosa di intrinsecamente diverso da un numero: è una parte di angolo (la 360ª parte dell'angolo giro).



Per quanto riguarda la velocità angolare è la stessa cosa: la velocità angolare media in un intervallo di tempo delta-t è il rapporto fra l'angolo precorso (o, nel caso vettoriale, fra la “variazione di angolo”) e delta-t. Se l'angolo si misura in gradi e il tempo in secondi, allora la velocità angolare si misura in gradi al secondo, se invece l'angolo si misura in radianti la velocità angolare si misura in radianti al secondo (o anche secondi alla meno uno, visto che un radiante è uguale al numero 1).

Semplicità di formule, di calcoli e di unità di misura fanno sì che nel SI gli angoli si misurino in radianti e gli angoli solidi in steradianti.
Parto dal fondo,

steradianti: che non ho mai avuto l'onore di sapere cosa sono.. :cry:

dici bene, ma così detto s'evidenzia un fatto.
prendi due insiemi, uno formato da elementi dotati tutti di una stessa lunghezza e l'altro di un'altra lunghezza. Prendi due elementi e fanne il rapporto. E' un angolo espresso in radianti?!? No eppure nel primo gruppo abbiamo magari arco avente un raggio pari ad R e nel secondo un raggio R....

Occorre quindi contestualizzare la cosa.
Il rapporto tra 4m e 5m è un angolo di 0,8rad se e solo se 4m è la lunghezza dell'arco e 5m è quella del raggio.
Sennò è una pendenza, un rapporto di scala..., un generico confronto. In tutti i casi la simbologia è differente e non si specifica solo se è univoca.

===

Gradi sessagesimali.

Ridefinisco tutto: 1 è la 360esima parte dell'angolo giro posto convenzionalmente pari a 360.
Nulla è cambiato tranne che non ho messo l'udm. Eppure è tutto chiaro
360/360=1
così come
360°/360=1°
ho semplicemente aggiunto una specificazione che distingue il denominatore.

5° è quel che è perchè sappiamo che sono 5 volte la trecentosessantesima parte dell'angolo giro. ce lo dice il simbolo.
uno più uno non fa sempre due

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Re: un problema di conversione

Messaggio da panurgo » mar dic 29, 2009 12:12 pm

Questa discussione ha già avuto luogo su questo forum (non ho il tempo di trovare i riferimenti).

Le unità di misura sono esemplari di una grandezza che vengono utilizzati per misurare altre grandezze omogenee quindi, se un angolo può essere espresso sia in gradi sia in radianti, evidentemente gradi e radianti devono avere la stessa dimesionalità (o adimensionalità che sia): se qualcuno pensa che ciò non sia vero perché il grado è la 360esima parte di un giro mi dica qual è la dimensionalità del "giro" :roll:

baci
il panurgo

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Re: un problema di conversione

Messaggio da infinito » mer dic 30, 2009 1:52 pm

infinito ha scritto:...
- Fare presente una cosa che credo davvero poco nota (e che in verità non ho mai approfondito per davvero): 180 gradi è diverso da π radianti.
...
Ecco: questa cosa non l'ho «mai approfondito per davvero», e non scrivo quasi mai soprattutto per questioni di tempo, per cui se voi ne discutete mi fa piacere leggere le risposte, ma preferirei non addentrarmici ora ...
... tuttavia qualcosa "devo" rispondere.



- «2π invece di π»: certo, ho fatto uno dei miei comunissimi errori.



- "Steradiante": era solo più di un esempio, sicuramente meno noto del radiante. Per chiarire meglio cito da Wikipedia (alla definizione di steradiante): «Lo steradiante ... è l'unità di misura del Sistema internazionale per l'angolo solido, il corrispondente tridimensionale del radiante.»
Ma qui non ci interessa più di tanto.


Massimo ha scritto:dici bene, ma così detto s'evidenzia un fatto.
prendi due insiemi, uno formato da elementi dotati tutti di una stessa lunghezza e l'altro di un'altra lunghezza. Prendi due elementi e fanne il rapporto. E' un angolo espresso in radianti?!? No eppure nel primo gruppo abbiamo magari arco avente un raggio pari ad R e nel secondo un raggio R....
Non stai dimostrando nulla: ogni numero può essere la misura in radianti, ma non è detto che non si arrivi ad un numero per un'altra strada.
Per esempio posso affermare che la misura delle altezze delle persone si può avere in centimetri, e questo nonostante si possa avere in centimetri anche la misura del diametro dell'orbita terrestre (3,0·10^13 cm), che non è assolutamente l'altezza di nessuna persona.



Massimo ha scritto:Gradi sessagesimali.
Ridefinisco tutto: 1 è la 360esima parte dell'angolo giro posto convenzionalmente pari a 360.
Nulla è cambiato tranne che non ho messo l'udm. Eppure è tutto chiaro
360/360=1
così come
360°/360=1°
ho semplicemente aggiunto una specificazione che distingue il denominatore.
Assolutamente no; direi che stai parlando “da matematico”, senza alcuna esperienza “seria” da fisico.
Se sottintendi l'unità di misura puoi anche non scriverla, ma se vuoi scrivere una misura dimensionale, o la riporti comprensiva della sua unità di misura, oppure non la stai riportando.
Il resto sono solo “giochetti”.


panurgo ha scritto:Questa discussione ha già avuto luogo su questo forum (non ho il tempo di trovare i riferimenti).
Può essere, la differenza “profonda” fra gradi e radianti non è una mia idea originale, ma io la lessi per la prima volta sul libro di testo del Tipler – Edizioni Zanichelli, e, seppur senza particolari argomentazioni (oltre a quelle che ho riportato sopra) mi convinse.


panurgo ha scritto:Le unità di misura sono esemplari di una grandezza che vengono utilizzati per misurare altre grandezze omogenee quindi, se un angolo può essere espresso sia in gradi sia in radianti, evidentemente gradi e radianti devono avere la stessa dimesionalità (o adimensionalità che sia): se qualcuno pensa che ciò non sia vero perché il grado è la 360esima parte di un giro mi dica qual è la dimensionalità del "giro" :roll:
Ho già detto sopra che non ho mai approfondito seriamente la questione, ed evidentemente non solo per la mancanza di tempo, ma perché mi sembra che la cosa non sia così semplice (cioè, ammesso che riesca a interpretare bene tutte le questioni, sicuramente il tempo che mi ci vorrebbe non sarebbe poco).



Però è evidente che “devo” rispondere qualcosa, e faccio però presente alcune osservazioni che “affrontano” la tua obiezione:


- Non mi sembra banale definire che cosa è un angolo, nemmeno in matematica (dove le unità di misura sono spesso un “optional” (basta pensare alla geometria analitica, dove si misurano lunghezze, aree, ecc, senza alcuna unità di misura, e nelle equazioni, dove si sommano tranquillamente numeri, differenze di ascisse, loro quadrati e differenze di ordinate, come, per esempio, in alcune equazioni di parabole).
Infatti un angolo convesso si può definire come «l'intersezione di due semipiani non paralleli», e vi si riconoscono i lati (l'intersezione del bordo dell'uno con l'altro) e il vertice (l'intersezione delle chiusure dei suoi lati).
Un angolo concavo si può definire come «l'unione di due semipiani non paralleli» (oppure come il complementare di uno convesso, ma fecendo attenzione che se vogliamo quello aperto la si fa dell'angolo convesso chiuso, e viceversa). E anche qui abbiamo lati e vertice.
Per gli angoli piatti e quelli giro (oltre che per l'angolo nullo “aperto”), però, ho difficoltà a determinare i loro vertici, nel senso che se li definisco “ad hoc” allora li ho, ma se considero che un angolo sia semplicemente “una figura” (cioè un insieme di punti), allora penso che non esista “il” vertice dell'angolo piatto e dell'angolo giro, e neppure i loro lati.

- C'è poi un'altra problematica: noi si parla generalmente di «angoli» senza specificare altro, ma intendendo oggetti decisamente diversi, basta pensare che nelle definizioni che ho date sopra si hanno necessariamente angoli che sono compresi fra un angolo nullo e un angolo giro (e per le loro misure, con un po' di fantasia fra la misura di un angolo giro e il suo opposto), ma a volte si parla di angoli ben maggiori, addirittura le funzioni goniometriche sono definite su tutto l'insieme di numeri reali.
Certo, qui si parla di “archi, invece che di angoli, e potremmo sgattaiolare dal problema dicendo semplicemente che il grado si usa per gli angoli (insiemi di punti) e il radiante per gli archi, dando ragione a quello che io dicevo sopra; ma non mi sembra così semplice: 720° è la misura di due angoli giro, che sono diversi da un angolo giro (se quest'ultimo fosse un insieme di punti sarebbe tutto il piano, e quindi non si capisce che cosa possa essere “due angoli giro”), inoltre anche in trigonometria si usano i radianti, e lì si credo che si parli proprio di “angoli”.
Forse l'idea non è così sbagliata, e semplicemente la confusione arriva quando si vogliono considerare “uguali” angoli ed archi, perché per gli archi ottenuti intersecando una circonferenza con un angolo non giro si ha che le due misure sono direttamente proporzionali.





Sì, la cosa mi pare che potrebbe avere un senso, ma non mi sento abbastanza sicuro per poter fare un'affermazione così forte (come in vece mi sento riguardo l'ormai famoso “problema” di «zero elevato alla zero»).
Probabilmente ci penserò su e, nel tempo, mediterò questo problema.

Chiedo a tutti quelli che leggono questo post di esprimere la loro idea in proposito.


(P.S.: non ho riletto ... spero in bene e chiedo scusa per eventuali errori.)
Gaspero

Massimo
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Re: un problema di conversione

Messaggio da Massimo » mer dic 30, 2009 2:32 pm

infinito ha scritto:
- "Steradiante": era solo più di un esempio, sicuramente meno noto del radiante. Per chiarire meglio cito da Wikipedia (alla definizione di steradiante): «Lo steradiante ... è l'unità di misura del Sistema internazionale per l'angolo solido, il corrispondente tridimensionale del radiante.»
Ma qui non ci interessa più di tanto.


buono a sapersi, anzi buono spunto per andarseli a cercare :D

infinito ha scritto:
Massimo ha scritto:dici bene, ma così detto s'evidenzia un fatto.
prendi due insiemi, uno formato da elementi dotati tutti di una stessa lunghezza e l'altro di un'altra lunghezza. Prendi due elementi e fanne il rapporto. E' un angolo espresso in radianti?!? No eppure nel primo gruppo abbiamo magari arco avente un raggio pari ad R e nel secondo un raggio R....
Non stai dimostrando nulla: ogni numero può essere la misura in radianti, ma non è detto che non si arrivi ad un numero per un'altra strada.
Per esempio posso affermare che la misura delle altezze delle persone si può avere in centimetri, e questo nonostante si possa avere in centimetri anche la misura del diametro dell'orbita terrestre (3,0·10^13 cm), che non è assolutamente l'altezza di nessuna persona.


mantenendo tutta la scomodità che 3exp13cm ha potrai pur sempre paragonare tale quantità con altre lunghezze.
non ricadrai quindi nel dubbio "pesa più un kilo di mele o è più lungo il diametro dell'orbita terrestre?" perchè sono grandezze con una ben precisa udm.
volendo pertanto adimensionalizzare gli angoli vuol dire che puoi paragonare un numero adimensionale con un angolo... Per me non esiste proprio questo fatto!

infinito ha scritto:
Massimo ha scritto:Gradi sessagesimali.
Ridefinisco tutto: 1 è la 360esima parte dell'angolo giro posto convenzionalmente pari a 360.
Nulla è cambiato tranne che non ho messo l'udm. Eppure è tutto chiaro
360/360=1
così come
360°/360=1°
ho semplicemente aggiunto una specificazione che distingue il denominatore.
Assolutamente no; direi che stai parlando “da matematico”, senza alcuna esperienza “seria” da fisico.
Se sottintendi l'unità di misura puoi anche non scriverla, ma se vuoi scrivere una misura dimensionale, o la riporti comprensiva della sua unità di misura, oppure non la stai riportando.
Il resto sono solo “giochetti”.


non mi interessa essere un fisico serio e nè parlare da matematico. mi basta non lasciar passare per giochetti un dato di fatto e per dato di fatto dei giochetti :wink:



infinito ha scritto:
Però è evidente che “devo” rispondere qualcosa, e faccio però presente alcune osservazioni che “affrontano” la tua obiezione:


- Non mi sembra banale definire che cosa è un angolo, nemmeno in matematica (dove le unità di misura sono spesso un “optional” (basta pensare alla geometria analitica, dove si misurano lunghezze, aree, ecc, senza alcuna unità di misura, e nelle equazioni, dove si sommano tranquillamente numeri, differenze di ascisse, loro quadrati e differenze di ordinate, come, per esempio, in alcune equazioni di parabole).
Infatti un angolo convesso si può definire come «l'intersezione di due semipiani non paralleli», e vi si riconoscono i lati (l'intersezione del bordo dell'uno con l'altro) e il vertice (l'intersezione delle chiusure dei suoi lati).
Un angolo concavo si può definire come «l'unione di due semipiani non paralleli» (oppure come il complementare di uno convesso, ma fecendo attenzione che se vogliamo quello aperto la si fa dell'angolo convesso chiuso, e viceversa). E anche qui abbiamo lati e vertice.
Per gli angoli piatti e quelli giro (oltre che per l'angolo nullo “aperto”), però, ho difficoltà a determinare i loro vertici, nel senso che se li definisco “ad hoc” allora li ho, ma se considero che un angolo sia semplicemente “una figura” (cioè un insieme di punti), allora penso che non esista “il” vertice dell'angolo piatto e dell'angolo giro, e neppure i loro lati.

- C'è poi un'altra problematica: noi si parla generalmente di «angoli» senza specificare altro, ma intendendo oggetti decisamente diversi, basta pensare che nelle definizioni che ho date sopra si hanno necessariamente angoli che sono compresi fra un angolo nullo e un angolo giro (e per le loro misure, con un po' di fantasia fra la misura di un angolo giro e il suo opposto), ma a volte si parla di angoli ben maggiori, addirittura le funzioni goniometriche sono definite su tutto l'insieme di numeri reali.
Certo, qui si parla di “archi, invece che di angoli, e potremmo sgattaiolare dal problema dicendo semplicemente che il grado si usa per gli angoli (insiemi di punti) e il radiante per gli archi, dando ragione a quello che io dicevo sopra; ma non mi sembra così semplice: 720° è la misura di due angoli giro, che sono diversi da un angolo giro (se quest'ultimo fosse un insieme di punti sarebbe tutto il piano, e quindi non si capisce che cosa possa essere “due angoli giro”), inoltre anche in trigonometria si usano i radianti, e lì si credo che si parli proprio di “angoli”.
Forse l'idea non è così sbagliata, e semplicemente la confusione arriva quando si vogliono considerare “uguali” angoli ed archi, perché per gli archi ottenuti intersecando una circonferenza con un angolo non giro si ha che le due misure sono direttamente proporzionali.





Sì, la cosa mi pare che potrebbe avere un senso, ma non mi sento abbastanza sicuro per poter fare un'affermazione così forte (come in vece mi sento riguardo l'ormai famoso “problema” di «zero elevato alla zero»).
Probabilmente ci penserò su e, nel tempo, mediterò questo problema.

Chiedo a tutti quelli che leggono questo post di esprimere la loro idea in proposito.


(P.S.: non ho riletto ... spero in bene e chiedo scusa per eventuali errori.)
L'hai detto. in matematica spesso e volentieri non serve specificare l'udm.
serve viavia sempre più quanto più l'astrattismo matematico lascia spazio ad aspetti fisici.
Non foss'altro che per sapere che il dato angolo sia espresso in radianti, gradi sessagesimali o gradi centesimali è d'obbligo specificarlo.

ps: Se poi vuoi tornare a dibattere sullo 0^0: quando vuoi :mrgreen:
uno più uno non fa sempre due

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Re: un problema di conversione

Messaggio da infinito » mer dic 30, 2009 8:35 pm

Massimo, volevo non dedicare troppo tempo a questa discussione ... (sono estremamente lento nel postare ...).

Colgo comunque l'occasione per rispondere alla tua ultima "sfida":
ps: Se poi vuoi tornare a dibattere sullo 0^0: quando vuoi :mrgreen:
solo che, memore delle esperienze passate a proposito di questo argomento, non vorrei continuare a fare come quello della storiella:
«Tizio si presenta con un piede scalzo, una scarpa all'altro piede e una in mano, e dice: "Non trovo l'altra scarpa". A chi gli dice "L'hai al piede" gli risponde: Sì, ma l'altra?" E a chi gli dice "L'hai in mano" gli risponde: Sì, ma l'altra?"».
Secondo me generalmente mi avete risposto sempre a piccole parti, senza essere globalmente coerenti.

Ti chiedo quindi di commentare il lavoro in cui presento il concetto "completo", e con molti commenti sia alla "idea", sia alla critica.

Lo trovi nei link che ho già postato su questo forum al messaggio Prodotto di n fattori, con n naturale. Cito qui la parte con i link:
Come ipotizzato in alcuni post sopra Ivana ha fatto pubblicare i due documenti in questione, cioè quello sulla definizione di “prodotto di n fattori, con n naturale” (Proposta di una feconda definizione di prodotto) e quello su “0°=1” ( 0° = 1 , inequivocabilmente).

E richiedo anche a chi non si è mai espresso in prososito di farmi sapere che cosa ne pensano (sia del "mio" lavoro, sia di 0°).





Per il resto mi pare che serva rispondere solo a
dici bene, ma così detto s'evidenzia un fatto.
prendi due insiemi, uno formato da elementi dotati tutti di una stessa lunghezza e l'altro di un'altra lunghezza. Prendi due elementi e fanne il rapporto. E' un angolo espresso in radianti?!? No eppure nel primo gruppo abbiamo magari arco avente un raggio pari ad R e nel secondo un raggio R....
Alla domanda «E' un angolo espresso in radianti?!?» ti rispondo che può esserlo, anche se mi sembra che non abbia a che vedere con il tuo calcolo.
Come se tu misurassi la somma degli alesaggi dei motori delle auto in un parcheggio e poi mi chiedessi se è l'altezza di una persona (visto che si possono misurare entrambi in metri). Tale somma può dare un risultato che è uguale ad una altezza, «anche se mi sembra che non abbia a che vedere con il tuo calcolo»
Gaspero

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