Un po' di trigonometria

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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leandro
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Un po' di trigonometria

Messaggio da leandro »

Dimostrare elementarmente che l'espressione:
$sec^6x+cosec^6x+sec^6xcosec^6x$
con $0<x<\pi/2$
ha il minimo assoluto pari ad 80
[sec=secante,cosec=cosecante]
Leandro

jepa
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Messaggio da jepa »

Beh prima di mettersi a ragionare appare evidente che data la simmetria della funzione, se ha un minimo in 80 ne avrà di sicuro uno pure in 10.

jepa
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Messaggio da jepa »

ah ma intendi dire che 80 è il valore del min assoluto scusami

jepa
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Messaggio da jepa »

Beh, se si trasforma l'equazione in sen e cos si ha:
1/cos^6x + 1/sen^6x + 1/sen^6x*cos^6x
Si vede senza bisogno di calcoli che per ragioni di simmetria tra le funzioni seno e coseno, tale equazione ha un min in corrispondenza del punto in cui la somma di senx e cosx è max e ciò si ha in x=pigreco/4.
Se si calcola il valore dell'eq in tal punto si trova facilmente che
8+8+64 = 80 che è il valore cercato.

leandro
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Messaggio da leandro »

Posso sbagliare ma non credo che la solo simmetria della funzione
rispetto alla retta $x=\frac{\pi}{4}$ giustifichi l'esistenza
di un solo minimo.Infatti a priori potrebbero esserci altri minimi pure
essi simmetrici rispetto alla medesima retta e di valore minore.
Secondo me ,quindi,per giustificare in pieno il tuo risultato
occorre qualche calcolo in piu' della sola simmetria
e da questi risulta che il valore minimo si raggiunge quando
e' massimo $\sin^2x\cos^2x$ ( a somma costante !)
e quindi effettivamente per $x=\frac{\pi}{4}$ .
Ciao.
Leandro

jepa
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Messaggio da jepa »

Hai perfettamente ragione, in effetti però io ho risposto al fatto che si chiedeva di verificare che la funzione avesse il minimo assoluto in 80 e non sono andato alla ricerca di altri minimi relativi.

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Quando ho letto il quesito di Leandro ho buttato giù due calcoli, evitando
poi di seguire le discussioni successive.
Posto, quindi, ciò che ho combinato.
Innanzitutto, ho trasformato l'espressione in seni e coseni, utilizzando
anche questo risultato semplice:

$(sen^2x+cos^2x)^3 =1 \to sen^6x+cos^6+1=2-3\cdot sen^2x\cdot cos^2x$.

Infatti, poiché:

$sec^6x+cosec^6x+sec^6x\cdot cosec^6x = \frac{sen^6x+cos^6x+1}{sen^6x\cdot cos^6x}$

ricavo facilmente:

$\frac{sen^6x+cos^6x+1}{sen^6x\cdot cos^6x} = \frac{2-3\cdot sen^2x\cdot cos^2x}{sen^6x\cdot cos^6x} = \(\frac{1}{sen^2x\cdot cos^2x}\)^2\cdot\(\frac{2}{sen^2x\cdot cos^2x}-3\).$

Dalla semplicissima identità:

$(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2 = 4\cdot a^2b^2$

prendendo $\, a = sen x \,$ e $\, b = cos x \,$, ottengo subito:

$1-(sen^2x-cos^2x)^2 = 4\cdot sen^2x\cdot cos^2x$

ossia:

$\frac{1}{sen^2x\cdot cos^2x} = \frac{4}{1-\(sen^2x-cos^2x\)^2}$

per cui:

$\(\frac{1}{sen^2x\cdot cos^2x}\)^2\cdot\(\frac{2}{sen^2x\cdot cos^2x}-3\) = \[\frac{4}{1-\(sen^2x-cos^2x\)^2}\]^2\cdot \[\frac{8}{1-\(sen^2x-cos^2x\)^2}-3\].$

Per rispondere al quesito di Leandro, il secondo membro è minimo
quando massimo è $\small \, 1-\(sen^2x-cos^2x\)^2 \,$ e cioè quando $\small \, \(sen^2x-cos^2x\)^2 =0 \,$.
Rispetto alla variabile indicata, ciò si verifica per x = 45°, a cui corrisponde
il valore 16·5 = 80.

> Se&o

Pensavi anche tu a qualcosa del genere, Leandro?

Ciao!
(Bruno)

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leandro
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Messaggio da leandro »

Grazie a Bruno per la sua dettagliata e precisa risposta :la mia e'
piu' o meno simile ( con qualche variante basata sul fatto che
il prodotto di due variabili positive con somma costante e' massimo
quando esse sono uguali ciascuna alla meta' della loro somma).
A risentirci al prossimo quesito.
Leandro

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