Dimostrare elementarmente che l'espressione:
$sec^6x+cosec^6x+sec^6xcosec^6x$
con $0<x<\pi/2$
ha il minimo assoluto pari ad 80
[sec=secante,cosec=cosecante]
Leandro
Un po' di trigonometria
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Beh, se si trasforma l'equazione in sen e cos si ha:
1/cos^6x + 1/sen^6x + 1/sen^6x*cos^6x
Si vede senza bisogno di calcoli che per ragioni di simmetria tra le funzioni seno e coseno, tale equazione ha un min in corrispondenza del punto in cui la somma di senx e cosx è max e ciò si ha in x=pigreco/4.
Se si calcola il valore dell'eq in tal punto si trova facilmente che
8+8+64 = 80 che è il valore cercato.
1/cos^6x + 1/sen^6x + 1/sen^6x*cos^6x
Si vede senza bisogno di calcoli che per ragioni di simmetria tra le funzioni seno e coseno, tale equazione ha un min in corrispondenza del punto in cui la somma di senx e cosx è max e ciò si ha in x=pigreco/4.
Se si calcola il valore dell'eq in tal punto si trova facilmente che
8+8+64 = 80 che è il valore cercato.
Posso sbagliare ma non credo che la solo simmetria della funzione
rispetto alla retta $x=\frac{\pi}{4}$ giustifichi l'esistenza
di un solo minimo.Infatti a priori potrebbero esserci altri minimi pure
essi simmetrici rispetto alla medesima retta e di valore minore.
Secondo me ,quindi,per giustificare in pieno il tuo risultato
occorre qualche calcolo in piu' della sola simmetria
e da questi risulta che il valore minimo si raggiunge quando
e' massimo $\sin^2x\cos^2x$ ( a somma costante !)
e quindi effettivamente per $x=\frac{\pi}{4}$ .
Ciao.
Leandro
rispetto alla retta $x=\frac{\pi}{4}$ giustifichi l'esistenza
di un solo minimo.Infatti a priori potrebbero esserci altri minimi pure
essi simmetrici rispetto alla medesima retta e di valore minore.
Secondo me ,quindi,per giustificare in pieno il tuo risultato
occorre qualche calcolo in piu' della sola simmetria
e da questi risulta che il valore minimo si raggiunge quando
e' massimo $\sin^2x\cos^2x$ ( a somma costante !)
e quindi effettivamente per $x=\frac{\pi}{4}$ .
Ciao.
Leandro
...
Quando ho letto il quesito di Leandro ho buttato giù due calcoli, evitando
poi di seguire le discussioni successive.
Posto, quindi, ciò che ho combinato.
Innanzitutto, ho trasformato l'espressione in seni e coseni, utilizzando
anche questo risultato semplice:
$(sen^2x+cos^2x)^3 =1 \to sen^6x+cos^6+1=2-3\cdot sen^2x\cdot cos^2x$.
Infatti, poiché:
$sec^6x+cosec^6x+sec^6x\cdot cosec^6x = \frac{sen^6x+cos^6x+1}{sen^6x\cdot cos^6x}$
ricavo facilmente:
$\frac{sen^6x+cos^6x+1}{sen^6x\cdot cos^6x} = \frac{2-3\cdot sen^2x\cdot cos^2x}{sen^6x\cdot cos^6x} = \(\frac{1}{sen^2x\cdot cos^2x}\)^2\cdot\(\frac{2}{sen^2x\cdot cos^2x}-3\).$
Dalla semplicissima identità:
$(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2 = 4\cdot a^2b^2$
prendendo $\, a = sen x \,$ e $\, b = cos x \,$, ottengo subito:
$1-(sen^2x-cos^2x)^2 = 4\cdot sen^2x\cdot cos^2x$
ossia:
$\frac{1}{sen^2x\cdot cos^2x} = \frac{4}{1-\(sen^2x-cos^2x\)^2}$
per cui:
$\(\frac{1}{sen^2x\cdot cos^2x}\)^2\cdot\(\frac{2}{sen^2x\cdot cos^2x}-3\) = \[\frac{4}{1-\(sen^2x-cos^2x\)^2}\]^2\cdot \[\frac{8}{1-\(sen^2x-cos^2x\)^2}-3\].$
Per rispondere al quesito di Leandro, il secondo membro è minimo
quando massimo è $\small \, 1-\(sen^2x-cos^2x\)^2 \,$ e cioè quando $\small \, \(sen^2x-cos^2x\)^2 =0 \,$.
Rispetto alla variabile indicata, ciò si verifica per x = 45°, a cui corrisponde
il valore 16·5 = 80.
> Se&o
Pensavi anche tu a qualcosa del genere, Leandro?
Ciao!
Quando ho letto il quesito di Leandro ho buttato giù due calcoli, evitando
poi di seguire le discussioni successive.
Posto, quindi, ciò che ho combinato.
Innanzitutto, ho trasformato l'espressione in seni e coseni, utilizzando
anche questo risultato semplice:
$(sen^2x+cos^2x)^3 =1 \to sen^6x+cos^6+1=2-3\cdot sen^2x\cdot cos^2x$.
Infatti, poiché:
$sec^6x+cosec^6x+sec^6x\cdot cosec^6x = \frac{sen^6x+cos^6x+1}{sen^6x\cdot cos^6x}$
ricavo facilmente:
$\frac{sen^6x+cos^6x+1}{sen^6x\cdot cos^6x} = \frac{2-3\cdot sen^2x\cdot cos^2x}{sen^6x\cdot cos^6x} = \(\frac{1}{sen^2x\cdot cos^2x}\)^2\cdot\(\frac{2}{sen^2x\cdot cos^2x}-3\).$
Dalla semplicissima identità:
$(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2 = 4\cdot a^2b^2$
prendendo $\, a = sen x \,$ e $\, b = cos x \,$, ottengo subito:
$1-(sen^2x-cos^2x)^2 = 4\cdot sen^2x\cdot cos^2x$
ossia:
$\frac{1}{sen^2x\cdot cos^2x} = \frac{4}{1-\(sen^2x-cos^2x\)^2}$
per cui:
$\(\frac{1}{sen^2x\cdot cos^2x}\)^2\cdot\(\frac{2}{sen^2x\cdot cos^2x}-3\) = \[\frac{4}{1-\(sen^2x-cos^2x\)^2}\]^2\cdot \[\frac{8}{1-\(sen^2x-cos^2x\)^2}-3\].$
Per rispondere al quesito di Leandro, il secondo membro è minimo
quando massimo è $\small \, 1-\(sen^2x-cos^2x\)^2 \,$ e cioè quando $\small \, \(sen^2x-cos^2x\)^2 =0 \,$.
Rispetto alla variabile indicata, ciò si verifica per x = 45°, a cui corrisponde
il valore 16·5 = 80.
> Se&o
Pensavi anche tu a qualcosa del genere, Leandro?
Ciao!
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Grazie a Bruno per la sua dettagliata e precisa risposta :la mia e'
piu' o meno simile ( con qualche variante basata sul fatto che
il prodotto di due variabili positive con somma costante e' massimo
quando esse sono uguali ciascuna alla meta' della loro somma).
A risentirci al prossimo quesito.
Leandro
piu' o meno simile ( con qualche variante basata sul fatto che
il prodotto di due variabili positive con somma costante e' massimo
quando esse sono uguali ciascuna alla meta' della loro somma).
A risentirci al prossimo quesito.
Leandro