Un "periodico" particolare...

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peppe
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Un "periodico" particolare...

Messaggio da peppe » sab mar 12, 2016 12:37 am

In generale , l'estrazione di radice di un numero non è un'operazione interna all'insieme dei numeri razionali.

E allora come si spiega il fatto che se si sostituisce il valore n = 30 nella funzione

$f(n) = \displaystyle\frac{\sqrt{\frac{9}{121}*10^n+\frac{(121-44)+n}{121}}}{10^{n-1}}$

Si ottiene $\displaystyle0,27272727...$ = $\displaystyle0,(\overline{27})$ = $\displaystyle\frac{27}{99}$

ossia un numero periodico e quindi razionale? :roll: :roll:

Notte.peppe
Ultima modifica di peppe il sab mar 12, 2016 2:48 pm, modificato 1 volta in totale.
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Gianfranco
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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da Gianfranco » sab mar 12, 2016 2:48 pm

Peppe, a me viene così:
0.000000000000002727272727272727272727272727288939393939393939393939393939345753367003...
E' un irrazionale ingannevolmente periodico.

Per ottenere il tuo risultato, il denominatore dovrebbe essere 10^(n/2)
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da peppe » sab mar 12, 2016 3:02 pm

I calcoli con sufficiente precisione dovrebbero dare questo risultato:
0, 27272 72727 27272 72727 27272 72727 27272 72727 27272 72727 27272 72728 75757
57575 75757 57575 75757 57575 75757 57575 75757 57575 75757 57571 71548


dal quale si vede benissimo che non è periodico.
Il fatto che le cifre 27 si ripetono per ben 30 volte (se ho contato bene), induce a
pensare che il numero sia periodico.

"Fidarsi e bene ma non fidarsi è meglio" per i matematici diventa:
"NON fidarsi è meglio!" senza se e senza ma.
Non penso che hai usato la calcolatrice di Windows per ottenere il tuo risultato...
Probabilmente la differenza dipende dallo strumento usato.

Ma quel che conta è la "filosofia" del paradosso: non saltare facilmente a conclusioni sballate!

Ciao.peppe
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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da peppe » sab mar 12, 2016 3:34 pm

Mi sono ricordato di un esempio che il Prof. Giulio Cesare Barozzi, di Uninettuno, fa in un
suo libro, circa la periodicità di alcune frazioni.
[...]
Dopo tutto, esistono frazioni, come \frac{1}{113}, che hanno una
rappresentazione decimale periodica con periodo costituito da 112 cifre
.
[...]

Ho fatto il calcolo utilizzando WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4
Ecco ilrisultato:
1/113 =
0.0088495575221238938053097345132743362831858407079646017699115044247787610619469026548672566371681415929203539823...(period 112)
:roll: :roll:
Ciao.
---
P.S.
Da molto tempo non usavo LaTex (ora anche math), e confesso che ho dovuto
sudare un bel po'.

A proposito delle parentesi graffe { }
con la mia tastiera devo digitare:
alt gr + shift + [ per avere {
e
alt gr + shift + ] per avere }
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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da Gianfranco » sab mar 12, 2016 3:57 pm

A proposito delle parentesi graffe { }
con la mia tastiera devo digitare:
alt gr + shift + [ per avere {
e
alt gr + shift + ] per avere }
OK, giusto così (in Windows).

Domanda:
La formula che hai proposto è esattamente questa?
Perché mettere (121-44) tra parentesi?

\Large f(n) = \displaystyle\frac{\sqrt{\frac{9}{121} \cdot 10^n+\frac{(121-44)+n}{121}}}{10^{n-1}}

Con MathJax c'è quel +n che rimane fuori dalla radice quadrata, per lo meno nel mio computer.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da peppe » sab mar 12, 2016 4:20 pm

Accidenti! :oops:
"n" è DENTRO la parentesi : (121-44+n).

Ora la riscrivo :

$f(n) = \displaystyle\frac{\sqrt{\frac{9}{121}*10^n+\frac{(121-44+n)}{121}}}{10^{n-1}}$

Scusa Gianfranco. :oops: :oops:
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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da peppe » sab mar 12, 2016 4:36 pm

E allora, riepilogando:
Ho digitato su WolframAlpha:

{sqrt {((9)/(121))*10^30+(((121-44+30))/(121))}}/{10^(30-1)}

e ho ottenuto il numero: Decimal approximation:

2.7272727272727272727272727272889393939393939393939393939393457533670033670033670033670036534425271230826786... × 10^-15
che è lo stesso trovato da te.

0.000000000000002727272727272727272727272727288939393939393939393939393939345753367003...

Quindi il risultato che aveva trovato l'autore del quesito è sbagliato!
Ma ripeto, più che il risultato, ha voluto mettere in risalto l'inganno che cela.
Scusami.
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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da peppe » sab mar 12, 2016 11:48 pm

In matematica può essere fin troppo facile saltare a conclusioni sbagliate.
Ecco un esempio.
Prendete un cerchio, segnate due punti sulla circonferenza e uniteli con un segmento.
Fig.1.jpg
Fig.1
Fig.1.jpg (127.35 KiB) Visto 2868 volte
Fig.2.jpg
Fig.2.jpg (182.3 KiB) Visto 2868 volte
Saluti.peppe
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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da peppe » dom mar 13, 2016 12:22 am

...E non è ancora finita!
Un altro buono esempio di conclusione sballata è
Il problema di Malfatti

Dato un triangolo, come bisogna disporre al suo interno tre cerchi
che non si sovrappongono, se si vuole che la loro area sia la maggiore possibile?


Si tratta di un problema di imballaggio formulato per la prima volta nel 1803.
Malfatti credeva di avere trovato la soluzione ottimale, ma ...
https://it.wikipedia.org/wiki/Cerchi_di_Malfatti
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Malfatti
http://alpha.science.unitn.it/~andreatt ... nfcopy.pdf

Anche i grandi hanno preso qualche granchio...
Fig.3.jpg
Fig.3.jpg (83.63 KiB) Visto 2865 volte
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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da vittorio » dom mar 13, 2016 11:10 am

Ho dato in pasto a Derive la funzione f(n) ottenendo
\frac{\sqrt{9*10^n+n+77}}{11*10^{n-1}}
Ponendo n=30 si ottiene
\frac{\sqrt{9*10^{30}+107}}{11*10^29}
cioè
\frac{ \sqrt{9000000000000000000000000000107}}{1100000000000000000000000000000}

Il radicando di \sqrt{9*10^{30}+107} termina con la cifra 7 e quindi non può essere un quadrato perfetto in quanto i quadrati perfetti possono terminare solo con le cifre 0 o 1 o 4 o 5 o 6 o 9. Il radicale non può dunque essere un numero razionale e quindi la rappresentazione decimale di f(30) non può essere periodica.
Ciao
Vittorio
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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da peppe » dom mar 13, 2016 6:39 pm

Digitando la formula scritta in modo sintetico come da te suggerito:
sqrt(9*10^30+107)/11*10^29
WolframAlpha restituisce lo stesso risultato di Derive:

$\displaystyle\frac{\sqrt{9000000000000000000000000000077}}{1100000000000000000000000000000}$

approssimazione decimale:

$\displaystyle2,727272727272727272727272727284393939393939393939393 ... × 10^{-15}$

Scrivi:
"Il radicando termina con la cifra 7 e quindi non può essere un quadrato perfetto
in quanto i quadrati perfetti possono terminare solo con le cifre 0 o 1 o 4 o 5 o 6 o 9
"
Giusta osservazione.

Infatti, è su questo principio che si basa il calcolo mentale della radice quadrata di un quadrato perfetto, come
si può leggere (con l'aiuto della traduzione maccheronica di Google) qui:

https://liberius1776.wordpress.com/2008 ... t-squares/
Oppure vedere in questi filmati:

https://www.youtube.com/watch?v=RB72oh7Gn4w

https://www.youtube.com/watch?v=6BTr-ZI2a4w

(Non capisco una sola parola di quello che dicono, ma riesco a seguirli per intuizione)
Ciao.peppe
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Pasquale
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Re: Un "periodico" particolare...

Messaggio da Pasquale » gio apr 07, 2016 7:46 pm

Circa la somma di potenze citata da Peppe, potrebbe risultare interessante la ricerca di equivalenze approssimate: l'equivalenza più approssimata vincerà il 1° premio.
Ad esempio, con un approssimazione di circa 15*10^{-9}, possiamo scrivere che: 39^4+202^4+251^4 \simeq 274^4, cioè: 5636405858 \simeq 5636405776
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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