Un oblò a losanghe

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Un oblò a losanghe

Messaggio da Bruno »

...

Ho trovato questo problema.

Una circonferenza è stata divisa in dodici parti uguali.
Unendo i punti di divisione sono comparsi cinque rombi.

Eccone l'immagine:

Immagine


Chi vuole cimentarsi nel calcolo dell'area della figura
ombreggiata in funzione del raggio?

Avanti dunque! :D


(Bruno)



Poscritto - Poiché propongo il quesito, scelgo di non
riportare la mia soluzione se non dopo quelle degli altri
partecipanti (che devono pur avere il tempo di
elaborarle).

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

prima bisogna dimostrare che sono rombi....
e già lì sono in panne !
Enrico

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1521
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo »

delfo52 ha scritto:prima bisogna dimostrare che sono rombi....
e già lì sono in panne !
In realtà è abbastanza facile dimostrare che sono rombi per via della simmetria elevata (gli angoli sono uguali, quindi i rombi sono simili).

A me viene $A = 6 \left (2 - \sqrt 3 \right) r^2 = 1,607 \ldots r^2$
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

Le "evidenti ragioni di simmetria" valgono certamente per il rombone grande, che gode di due assi di simmetria ortogonali.
Per gli altri, c'è solo la simmetria rispetto al diametro verticale, che ci fa sapere che gli angoli acuti laterali sono uguali; anche se a occhio giurerei sulla rombitudine, non mi sembra dimostrato completamente . Ammetto di non essermi impegnato molto...
Enrico

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1521
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo »

Spero sia sufficiente...

Immagine

:D
Ultima modifica di panurgo il mer nov 15, 2006 1:34 pm, modificato 1 volta in totale.
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Non so dove ho sbagliato, ma mi viene $7r^2(2-sqrt{3})$.
Comunque la dimostrazione è insita nel disegno di Pan e resta solo da fare la somma delle aree.
Ultima modifica di Pasquale il gio feb 09, 2006 12:36 am, modificato 1 volta in totale.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

con una piccola approssimazione, siamo dunque a dover scegliere, come coefficiente del raggio al quadrato, tra la misura del miglio terrestre e quella del miglio marino (espressa in chilometri).
Mi piacerebbe vedere il grafico del valore espresso per il numero dei rombi (partendo dal quadrato inscritto, per finire alla circonferenza divisa da infiniti punti...
Anzi, a proposito di questa ultima figura (virtuale), vi pongo questo problemino (ne discutevo proprio l'altra notte in sogno col caro vecchio Cantor): se la circonferenza viene costellata da infiniti punti, avremo una infinità di rombi, tanto *beep* da coprire tutto il cerchio, dicevo io; e Cantor ribatteva: al contrario! se sono tanto *beep*, i rombi sono tanto sottili da lasciare fuori la totalità del cerchio !
Poi mi sono svegliato e non so come stanno davvero le cose...
Enrico

Daniela
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 456
Iscritto il: lun nov 21, 2005 9:40 am

Messaggio da Daniela »

Se fosse un limite finito? :)
Daniela
"L'essenza della libertà è la matematica"

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

è proprio per vedere "dove va a parare" che ho lanciato l'idea di costruire un grafico....
Comunque se deve essere un limite finito, accetto solo 1/2 o la sezione aurea (che come il prezzemolo, o come la cravatta bordò, stanno bene con tutto)
Enrico

Daniela
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 456
Iscritto il: lun nov 21, 2005 9:40 am

Messaggio da Daniela »

RAZZISTA!!!!!
stai attento a come parli, perche' tutti quei numeri irrazionali.... non algebrici... senza uno sviluppo in frazione continua che e' gradito al tuo limitatissimo senso estetico.... e non computabili con una procedura ricorsiva numerabile.... potrebbero arrabbiarsi moltissimo e attaccarsi a te come degli orribili pidocchi e causarti atroci sofferenze.... si intende che con queste premesse, capace che ovunque gratti e' un punto di coordinate razionali e di quei parassiti non ne stacchi neanche uno!!!!!! :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted:
Daniela
"L'essenza della libertà è la matematica"

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1521
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo »

Immagine

Con riferimento alla figura abbiamo

$\left \{b_x = r \\ b_y = r\cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}b_x \\ b_z = r\cos 60^\circ = \frac{1}{2}b_x \right.$

ma, dato che i rombi sono simili, è

$\left \{ h_y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}h_x \\ h_z = \frac{1}{2}h_x \\ h_x + 2h_y + 2h_z = r \\ \right.$

da cui con facile algebra si ricava

$h_x = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)r$

L'area delle losanghe vale

$A_x = 2\,b_x \times h_x = 2\,r \times \left( {2 - \sqrt 3 } \right)r = 2 \left( 2 - \sqrt 3 \right)r^2 \\ A_y = 2\,b_y \times h_y = 2\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}b_x \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}h_x = \frac{3}{4}A_x \\ A_z = 2\,b_z \times h_z = 2\,\frac{1}{2}b_x \times \frac{1}{2}h_x = \frac{1}{4}A_x$

e l'area totale vale

$A = A_x + 2A_y + 2A_z = 3A_x = 6\left( {2 - \sqrt 3 } \right)r^2$
Ultima modifica di panurgo il mer nov 15, 2006 1:35 pm, modificato 1 volta in totale.
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

...

Grande Panurgo!

Gradevolissimi e interessanti gli interventi di Enrico.

Molto simpatico anche quello di Daniela, che mi ha subito condotto verso questo
articolo, appena segnalatomi dalla newsletter di Ulisse...


(Bruno)

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ »

Per Delphus:escluso fermamente che con infiniti punti si copra tutto il cerchio(altro colpo di becchisia?),sto cercando di capire se infiniti punti portano ad azzerare l'area o ad un limite finito.Cabri mi darà il destro per fiutare la soluzione(o mi farà pistolare con rette e punti per mezz'ora senza capire una beata mazza,non si sa mai come va a finire).Escluderei risultati finali carini ed aggraziati per un problema così complesso.
Sto pensando anche al problema di base,mi chiedo se esista una soluzione più semplice.
Alé popolo!
Mottolino
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

quando ho scritto le mie considerazioni semi-oniriche, l'ho fatto senza approfondire più di tanto l'argomento. Mi accorgo però che la questione non è affatto elementare...
Se Mottolino si sbilancia ed eslude la soluzione "copertura totale", credo di poter bilanciare la situazione, proponendo la squalifica della soluzione a "copertura zero".
Ma non abbiamo fatto molta strada.
Un altro approccio "preventivo", vale a dire senza por mente ai calcoli, potrebbe essere quello di considerare i vari segmenti "*beep* *beep*" come paralleli, col risulatto di suddividere il cerchio in infinite fettine, alternativamente piene e vuote; si arriverebbe così alla soluzione "fifty-fifty", che ho scoperto non essere di gradimento di Daniela.
Come ne usciamo?
Fossi capace, agirei così:
con un programma di disegno geometrico (certamente ne sapete tutti moooooolto più di me) produrrei alcuni esempi e ne calcolerei in modo "bruto" l'area.
Poi mettendo in fila i risultati andrei a vedere se la sequenza mi dice qualcosa.
Se mi dice qualcosa, andrei a vedere verso dove mi sembra procedere. Battezzato un risultato, cercherei di scoprire come arrivarci in modo "corretto e pulito".

Non dite che è un procedimento scorretto e antiscientifico... in realtà forse è un procedimento molto più simile al normale procedere della conoscenza umana, di quanto non lo sia l'immagine dello scienziato chiuso nella sua torre d'avorio, a contatto con le pure idee e le intuizioni geniali
Enrico

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ »

Scusassero lorsignori per l'ora tarda ma non ho potuto resistere:dopo 13 tentativi con divisioni del cerchio da sei fino a trenta parti,ho scoperto che DELFO C'HA PRESO!Ovvero che l'area totale dei rombi tende esattamente alla metà dell'area del cerchio circoscritto.
Questo ovviamente ammesso e non concesso che il limite sia "simpatico" come direbbe la mia prof di matematica:ossia il limite deve essere senza "salti" bruschi(Natura non facit saltus,ma in matematica succede,specialmente coi limiti trigonometrici),non tendere nascostamente a zero(ad esempio la serie armonica tende a infinito,ma guardando le somme dei primi termini non é facile accorgersene) e non tendere a risultati trabocchetto(per esempio a 0,500015534 o porcherie simili).Ma sarei portato ad escluderlo.
A questo punto direi di prendere per buono il ragionamento di Delfo e di andare immediatamente a letto(ma ammé che'mme frega?Io domani non ho scuola,ha!)
Salute e Qaalude,
Vanni Motti
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Rispondi