La "brillante" risoluzione del quesito posto da Bruno mi ha fatto gonfiare a tal punto che, da brava ranocchia, non ho visto la [ben più] bella domanda di delfo52.
E tuttavia, la risposta è contenuta (in nuce) nella mia soluzione...
Prima lasciamoci guidare dall'intuito:
Da questa figura risulta evidente che l'area dei rombi è circa metà di quella del cerchio; aumentando $n$, l'altezza della figura diventa infinitesima rispetto alla base, il raggio di curvatura diventa infinito e l'area diventa la metà esatta.
Ora, un po' di matematica!
Per avere dei rombi è necessario che $n$ sia pari: con questa condizione i rombi sono rombi e sono simili tra loro (un angolo è opposto al vertice e l'altro è $\frac {2 \pi} n$)
Si considerano due casi a seconda che $n = 4 p$ o $n = 4 p + 2$
Caso 1: $n = 4 p$
Vi sono $2 p - 1$ rombi, di diagonale maggiore $a_{\script i} = 2r\cos {\theta_{\script i}}$ con $\theta_{\script i} = \frac{2i} {n}\pi$ e $1 - p \leq i \leq p - 1$.
Poichè i rombi sono simili, la diagonale minore vale $b_{\script i} = \frac{b_{\script 0}} {a_{\script 0}} a_{\script i}$. Ma, d'altra parte,
$\displaystyle \sum \limits_{\script {i = 1 - p}}^{\script {p - 1}} {b_{\script i} } = 2r$
e quindi
$\displaystyle \frac {b_{\script 0}} {a_{\script 0}} \sum \limits_{\script {i = 1 - p}}^{\script {p - 1}} {a_{\script i}} = 2r$
A questo punto, con un pizzico di vanità, faccio notare che $a_{\script p} = 2 r \cos {\theta_{\script p}} = 0$ e che, di conseguenza, $b_{\script p} = 0$. Quindi posso estendere la sommatoria e considerare che vi siano $2 p + 1$ rombi (gli ultimi due hanno area pari a zero e l'area totale non cambia):
$\displaystyle \frac {b_{\script 0}} {a_{\script 0}} \sum \limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {a_{\script i}} = 2r \quad \Leftrightarrow \quad \frac {b_{\script 0}} {a_{\script 0}} = \frac {2r} {\sum \limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {a_{\script i}}} \quad \Leftrightarrow \quad b_{\script i} = 2 \frac {a_{\script i}} {\sum \limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {a_{\script i}}} r$
L'area del rombo $i$-esimo vale
$\displaystyle A_{\script i} = \frac {a_{\script i} \times b_{\script i}} {2} = \frac {a_{\script i}^{\script 2}} {\sum \limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {a_{\script i}}}r = \frac {4r^{\script 2} \cos ^{\script 2} \theta _{\script i}} {2r \sum \limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {\cos \theta _{\script i}}} r = 2 \frac {\cos ^{\script 2} \theta _{\script i}} {\sum\limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {\cos \theta _{\script i}}} r^{\script 2}$
L'area totale vale
$\displaystyle A_{\script p} = \sum \limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {A_{\script i}} = 2 \frac {\sum \limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {\cos ^{\script 2} \theta _{\script i}}} {\sum\limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {\cos \theta _{\script i}}} r^{\script 2}$
Passando al limite per $p \to \infty$
$\displaystyle \lim \limits_{\script {p \to \infty}} A_{\script p} = 2 \frac {{\lim \limits_{\script {p \to \infty }} \sum \limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {\cos ^{\script 2} \theta _{\script i} } }} {{\lim \limits_{\script {p \to \infty }} \sum \limits_{\script {i = - p}}^{\script p} {\cos \theta _{\script i}}}} r^{\script 2} = 2 \frac {{\int \limits_{\script { - \frac{\pi } {2}}}^{\script {\frac {\pi } {2}}} {d\theta \cos ^{\script 2} \theta } }} {{\int \limits_{\script { - \frac{\pi } {2}}}^{\script {\frac {\pi } {2}}} {d\theta \cos \theta } }} r^{\script 2} = 2 \frac{{\left[ {\frac{1} {2}\sin \theta \cos \theta + \frac{1} {2}\theta } \right]_ {\script { - \frac{\pi } {2}}}^{\script {\frac{\pi } {2}}} }} {{\left[ {\sin \theta } \right]_ {\script { - \frac{\pi } {2}}}^{\script {\frac{\pi } {2}}}}} r^{\script 2} = 2 \frac {{\frac{1} {2} \frac{\pi } {2} + \frac{1} {2} \frac{\pi } {2}}} {{1 + 1}} r^{\script 2} = \frac{{\pi r^{\script 2} }} {2}$
l'area totale è pari a metà di quella del cerchio (dovrebbe essere chiaro che ho voluto considerare $-p \leq i \leq p$ per poter avere i limiti di integrazione $- \frac {\pi} 2$ e $\frac {\pi} 2$).
Caso 2: $n = 4 p + 2$
Qui è possibile sfruttare la maggiore simmetria (vi sono $2 p$ rombi). La diagonale maggiore dei rombi vale $a_{\script i} = 2r \cos \theta _{\script i}$ con $\theta _{\script i} = \frac{2i + 1} n \pi$ e $0 \leq i \leq p - 1$, o meglio $0 \leq i \leq p$ (l'ultima è di lunghezza $0$).
Abbiamo ancora $b_{\script i} = \frac {b_{\script 0} } {a_{\script 0}} a_{\script i}$ (rombi simili) ma adesso $\sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {b_{\script i} } = r$, perché stiamo considerando solo il semicerchio superiore.
E'
$\displaystyle b_{\script i} = \frac {a_{\script i}} {\sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {a_{\script i}}} r$
e
$\displaystyle A_{\script i} = \frac{{a_{\script i} \times b_{\script i} }} {2} = \frac{{a_{\script i}^{\script 2} }} {{2 \sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {a_{\script i}}}} r = \frac {{4r^{\script 2} \cos ^{\script 2} \theta _{\script i}}} {{4r \sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {\cos \theta _{\script i}}}} r = \frac {{\cos ^{\script 2} \theta _{\script i}}} {{\sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {\cos \theta _{\script i}}}} r^{\script 2}$
e l'area totale vale
$\displaystyle A_{\script p} = 2 \sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {A_{\script i}} = 2 \frac {{\sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {\cos ^{\script 2} \theta _{\script i}}}} {{\sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {\cos \theta _{\script i}}}} r^{\script 2}$
Passando al limite
$\displaystyle \lim \limits_{\script {p \to \infty }} A_{\script p} = 2 \frac{{\lim \limits_{\script {p \to \infty }} \sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {\cos ^{\script 2} \theta _{\script i}}}} {{\lim \limits_{\script {p \to \infty }} \sum \limits_{\script {i = 0}}^{\script p} {\cos \theta _{\script i}}}} r^{\script 2} = 2 \frac{{\int \limits_{\script 0}^{\script {\frac{\pi } {2}}} {d\theta \cos ^{\script 2} \theta }}} {{\int \limits_{\script 0}^{\script {\frac{\pi } {2}}} {d\theta \cos \theta } }} r^{\script 2} = 2 \frac{{\left[ {\frac{1} {2}\sin \theta \cos \theta + \frac{1} {2}\theta } \right]_ {\script 0}^{\script {\frac{\pi } {2}}}}} {{\left[ {\sin \theta } \right]_ {\script 0}^{\script {\frac{\pi } {2}}}}} r^{\script 2} = 2 \frac{{\frac{1} {2}\frac{\pi } {2}}} {1} r^{\script 2} = \frac{{\pi r^{\script 2} }} {2}$
ed il limite è uguale a quello precedente (manco mal!)
Ad altri l'avventura di trovare il limite per $n = 4p + 1$ e $n = 4p + 3$...