Un nuovo biliardo triangolare

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Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da franco » sab nov 17, 2018 9:30 am

Sia dato un biliardo a forma di triangolo equilatero con lato L=1 m come quello raffigurato sotto.
Posizioniamo la biglia nel punto D sul lato BC a 10 cm di distanza dal vertice B e la colpiamo imprimendogli una direzione con angolo (quello indicato in figura) minore di 90°.
i165.jpg
i165.jpg (4.08 KiB) Visto 1183 volte
Consideriamo le sole traiettorie che rimbalzando sulle sponde con la classica legge della riflessione prefetta, tornano al punto di partenza.
Determinare quali traiettorie hanno una lunghezza pari esattamente a 21 m indicando per ognuna di esse l'angolo e il numero di sponde colpite (compresa quella d'arrivo ma esclusa quella di partenza).

www.diophante.fr I165
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da Pasquale » mar mar 05, 2019 7:31 pm

Mi sembra abbastanza complicato.
Mi pare di capire che i 21 metri richiesti debbano risultare dalla somma di un certo numero di ipotenuse, che teoricamente potrebbero essere infinite. Tuttavia, siccome le riflessioni devono terminare nel punto di partenza, o è così perché lo richiede il problema, oppure perché quella riflessione termina su una traiettoria perpendicolare alla sponda in tale punto.
Le varie ipotenuse di cui sopra, poste in fila, potrebbero forse costituire a livello di studio del problema l'ipotenusa di misura 21 di un unico triangolo rettangolo, ma non ho fatto a tempo a verificare se l'angolo di partenza, relativamente alla perpendicolare ai vari lati di battuta resta sempre lo stesso.
Ho dato uno sguardo al quiz, avendo notato interventi zero e praticamente ancora a zero siamo.
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da franco » ven mar 08, 2019 10:22 am

Mah ...
Dopo aver tentato senza grande successo una soluzione "di forza" mi è venuta in mente quest'altra.
Secondo me è congrua con il terso originale in francese del problema.

Une table de billard a la forme d'un triangle équilatéral ABC d'un mètre de côté.
On place une boule (assimilée à un point) en un point D du côté BC à 10 cm de B.
La frappe de la boule se fait selon un angle inférieur à 90° mesuré dans le sens anti-horaire par rapport à la droite BC.
On s'intéresse aux seules trajectoires de la boule qui rebondit sur les côtés du triangle selon la loi classique de la réflexion avant de revenir pour la première fois à son point de départ D.
Déterminer les trajectoires distinctes qui ont exactement 21 mètres de longueur. Pour chacune d'elles, donner l'angle de frappe et le nombre de rebonds* de la boule.
*Nota: tout rebond correspond au changement de direction de la boule en un point intermédiaire de sa trajectoire L'arrivée en D compte pour un rebond mais pas le départ de D.


Se imprimo alla biglia una direzione di 60°, essa torna al punto di partenza correndo per 3 metri e rimbalzando su 6 sponde (compresa quella d'arrivo e esclusa quella di partenza):
BT1.png
BT1.png (13.71 KiB) Visto 506 volte
.

Se però la colpisco con forza sufficiente (e/o se l'attrito nel biliardo è bassissimo) la biglia può continuare a correre e ripetere lo stesso percorso anche 7 volte prima di adagiarsi sul punto di partenza.

Avrà quindi percorso esattamente 21 metri rimbalzando 42 volte :)

Prima di andare a sbirciare le soluzioni sul sito francese lascio ancora aperto il problema.

ciao
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da franco » ven mar 08, 2019 1:22 pm

franco ha scritto:
ven mar 08, 2019 10:22 am
Mah ...
... Secondo me è congrua con il terso originale in francese del problema...
E invece proprio non è congrua per niente :(
Proprio vero che bisogna leggere tante volte prima di iniziare a scrivere ...

Il testo dice
On s'intéresse aux seules trajectoires de la boule qui rebondit sur les côtés du triangle selon la loi classique de la réflexion avant de revenir pour la première fois à son point de départ D.
Ci si interessa alle sole traiettorie della biglia che rimbalza sui lati del triangolo secondo la classica legge della riflessione prima di ritornare per la prima volta al suo punto di partenza D.

Io ci arrivavo alla settima volta :wink:

ciao
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da Pasquale » sab mar 09, 2019 12:48 am

Ciao Franco. Facendo riferimento al tuo ultimo disegno, per quanto mi riguarda, la difficoltà incontrata deriva dalle seguenti considerazioni:

1) Tracciata la sola parallela al lato di sinistra per il punto di partenza, otteniamo un triangolo equilatero di lato 90 cm.
2) Dal vertice di tale triangolo (punto di partenza) traccio l'altezza, che è anche bisettrice.
3) E' evidente che l'angolo di partenza è escluso che sia di 30° e posso quindi decidere che sia minore o maggiore, per vedere cosa accade.
4) Devo però individuare la misura di tale angolo e decido che il riferimento sia l'altezza, così che la prima traiettoria sia l'ipotenusa di un trianfolo rettangolo, il che potrebbe far comodo.
5) Qui già casca il primo asino, perché occorre lavorare con misure approssimate, considerato il radicale 3 insito nell'altezza.
6) Inizio ad immaginare la prima riflessione e poi le altre e medito sul fatto che ogni volta posso fare riferimento per le misurazioni ad una nuova perpendicolare e misure che in proiezione immagino sempre più approssimate.
7) Mi chiedo se potrà mai esistere una combinazione di angoli tali che dopo un x di riflessioni faccia terminare la palla precisamente nel punto di partenza e con un totale di percorso lungo precisamente 21 metri.
8 ) Mi dico che se il quesito è stato posto con quel dato, evidentemente la strada per arrivarci deve esserci: che faccio? Scelgo un angolo noto meglio trattabile trigonometricamente?
Però pure questi sono pieni di radicali (gli unici angoli che producono risultati razionali sono quelli di 30° e 60°, che nel caso specifico sono esclusi. E allora? Boh! Elucubrazioni....
9) Mi dico che bisogna fare in modo da eliminare gli irrazionali. Come? Questa eventuale possibilità dovrebbe conseguire alla scelta di uno specifico angolo di partenza che riporterebbe la palla al punto di partenza dopo 21 metri precisi..... possibile?
10) Sono giuste e/o produttive queste elucubrazioni? A cosa possono condurre? Mi sembra pochino, ma può essere un inizio?
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da panurgo » lun mar 11, 2019 11:25 pm

Io ho trovato questo
NBT.08.15.9.0.1.480x440.png
NBT.08.15.9.0.1.480x440.png (50.18 KiB) Visto 454 volte
e questo
NBT.08.9.15.0.1.480x440.png
NBT.08.9.15.0.1.480x440.png (45.89 KiB) Visto 454 volte
entrambi con $48$ rimbalzi...

:wink:
il panurgo

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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da Pasquale » mar mar 12, 2019 1:28 am

:shock: Discende da un algoritmo di calcolo? Il risultato è preciso o molto approssimato?
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da panurgo » mar mar 12, 2019 5:59 am

Non ho certo trovato quegli angoli per tentativi ed errori: ci ho messo così tanto a fare le figure che non ho avuto tempo per postare la spiegazione... :roll:

Rimedierò.
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da delfo52 » mar mar 12, 2019 5:20 pm

http://www.toxel.com/tech/2019/03/08/banana-pool-table/

non c'entra con il biliardo triangolare, ma spero vi piaccia
Enrico

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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da Pasquale » mar mar 12, 2019 6:51 pm

Pardon Panurgo. Era il tipo di quesito e la curiosità che mi ha indotto a fare quella richiesta, i numeri in gioco, la loro tipologia ed i calcoli correlati che pensavo per loro natura precisi con molta difficoltà. Naturalmente mi inchino alla antica sperimentata sapienza ed agli insegnamenti che ne derivano ormai da anni. Per quanto concerne il disegno, ci credo....è stato difficile seguirne il tracciato, figuriamoci la realizzazione (per quanto mi riguarda, mi sono fremato al 3° rimbalzo, rinunciando all'ardua e titanica impresa e soltanto intuendo che il numero di rimbalzi dovesse essere un multiplo di 6 o almeno di 3). Per "molto approssimato", detto proprio male, volevo intendere molto vicino al risultato richiesto.
Comunque, grazie per tutto.
Ultima modifica di Pasquale il sab mar 16, 2019 1:07 am, modificato 1 volta in totale.
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da panurgo » mar mar 12, 2019 7:11 pm

Non mi sono mica offeso: ho inteso "molto approssimato" come "molto ben approssimato" (non mi sarei offeso in alcun caso...).

Posto la mia soluzione

Nuovo Biliardo Triangolare

“—...E se non stai buono, — aggiunse, — ti faccio andare nello specchio. Ti piacerebbe di
andare nello specchio? Ora, se stai attento, Frufrù, e non parli tanto, ti dirò tutta la mia idea intorno
alla Casa dello Specchio. Prima di tutto, v'è la stanza che si vede attraverso lo Specchio: è precisa
come il salotto dove stiamo; però tutte le cose son messe alla rovescia. Salendo su una sedia la
veggo tutta... tutta tranne la parte dietro il caminetto. Quanto mi piacerebbe veder quella parte! Chi
sa se nell'inverno c'è il fuoco: se il nostro focolare non fa fumo, non s'indovina mai; ma se c'è fumo
di qua, c'è fumo anche di là. Ma chi sa, può essere una finzione, per dare a credere che ci sia il
fuoco anche di là. I libri, poi, somigliano ai nostri libri; ma le parole sono stampate a rovescio.
Questo lo so; perchè ho tenuto un libro contro lo specchio, e nell'altra stanza ne hanno pigliato un
altro.”

Attraverso lo specchio, Lewis Carrol




Consideriamo il primo rimbalzo
NBT.10.1_425x275.png
NBT.10.1_425x275.png (5.55 KiB) Visto 435 volte
se la sponda dove avviene fosse uno specchio, vedremmo il riflesso della traiettoria, ovvero
NBT.10.2_425x275.png
NBT.10.2_425x275.png (6.99 KiB) Visto 435 volte
cosa che vale anche per i successivi rimbalzi
NBT.10.3_425x275.png
NBT.10.3_425x275.png (9 KiB) Visto 435 volte
Se adesso lo specchio fosse uno “specchio di Alice” la traiettoria preseguirebbe oltre lo specchio stesso in questo modo
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NBT.10.4_425x275.png (6.99 KiB) Visto 435 volte
Se sostituiamo via via le sponde con “specchi di Alice” otteniamo una cosa di questo tipo
NBT.11_700x286.png
NBT.11_700x286.png (16.59 KiB) Visto 435 volte
Ogni attraversamento di uno “specchio” corrisponde ad un rimbalzo nel Nuovo Biliardo Triangolare e la traiettoria è chiusa se la retta passa per un punto corrispondente per simmetria con il punto di partenza: nel nostro caso, a $10 \text{ cm}$ da $\text{B}$. La distanza tra i due punti deve essere di $21 \text{ m}$

Se per passare da un punto all’altro ci muoviamo parallelamente ai lati dei triangoli dovremo fare $n$ passi in orizzontale e $k$ passi in diagonale: la proiezione orizzontale del passo diagonale è pari a $1/2$ mentre la proiezione verticale è pari a $\sqrt{3}/2$ del passo diagonale stesso.

Deve quindi essere

$\displaystyle \left(n + \frac{k}2\right)^2+\frac{3k^2}4=n^2+nk+k^2=21^2$

Evidentemente, una soluzione banale è $n=21,\;k=0$ e, naturalmente, anche $n=0,\;k=21$ dato che l’equazione è simmetrica rispetto allo scambio tra $n$ e $k$: una rapida ricerca con un programmino (o anche un foglio elettronico) ci fa trovare le uniche altre due soluzioni, $n=15,\;k=9$ e $n=9,\;k=15$.

Le pendenze corrispondenti, tangenti degli angoli corrsispondenti sono rispettivamente $\frac{3\sqrt{3}}{13}$ e $\frac{5\sqrt{3}}{11}$ ovvero, sempre rispettivamente $21,79°$ e $38,21°$ (vi stupite se vi dico che la somma dei due è $60°$?)
il panurgo

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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da franco » mer mar 13, 2019 12:32 pm

Eccellente direi.
Avevo provato un approccio simile "specchiando" il biliardo e andando a vedere dove intercettava la circonferenza con raggio 21:
BT2.png
BT2.png (153.88 KiB) Visto 410 volte
Purtroppo però devo aver fatto qualche errore col CAD, fatto sta che non avevo trovato alcuna coincidenza col punto d'arrivo cercato ...

Sono appena andato a controllare se la tua soluzione coincide con quella trovata dagli abilissimi solutori Francesi e, ohibò, pare che loro abbiano trovato anche una terza via!

ciao
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da franco » mer mar 13, 2019 1:33 pm

Nel frattempo sono andato a rivedere il mio disegno per capire com'è che a fare 15 passi in un verso e 9 nell'altro non raggiungevo i 21 metri precisi e ho scoperto che avevo disegnato i triangoli con lato 11 dm :( :( :(
BT3.png
BT3.png (12.23 KiB) Visto 407 volte
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da franco » mer mar 13, 2019 1:46 pm

franco ha scritto:
mer mar 13, 2019 12:32 pm
Sono appena andato a controllare se la tua soluzione coincide con quella trovata dagli abilissimi solutori Francesi e, ohibò, pare che loro abbiano trovato anche una terza via!
Forse ho capito ...
Se colpiamo la biglia con un angolo maggiore di 60° la riflessione deve essere effettuata sull'altro lato obilquo.
In tal caso l'equazione risolutiva diventa:
n^2-nk+k^2=21^2
che accetta come soluzione n=15 e k=-9 (negativo perchè sono i passi obliqui nell'altra direzione) corrispondente a un angolo di 81,79°.

Le altre soluzioni (ad esempio n=9 e k=-15) corrispondono ad angoli maggiori di 90°.

N.B. Il fatto di aver visto la soluzione evidentemente mi ha molto aiutato :twisted: :twisted: :twisted:
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Re: Un nuovo biliardo triangolare

Messaggio da Pasquale » sab mar 16, 2019 1:38 am

Che la somma dei due angoli siano 60° non stupisce. Facendo riferimento al triangolo di lato 90 cm, interno a quello da 1 m, costruito tramite la parallela ad un lato passante per il punto di partenza, e tracciandone l'altezza-bisettrice da quel punto-vertice, è evidente che l'angolo di tiro deve essere minore o maggiore di 30°. Dai calcoli che sono stati effettuati, le due direttrici di tiro, ipotenuse di due triangoli rettangoli, sono simmetriche rispetto alla citata altezza, per cui l'angolo minore è 30 - 8,21 e l'altro 30 + 8,21, la cui somma è naturalmente 60. D'altra parte, la soluzione di un'equazione di 2° grado comporta una somma ed una sottrazione di uno stesso radicale. Questo sarebbe accaduto con qualsiasi angolo di partenza (l'altro simmetrico), a patto che fossero stati rispettati i due dati del quesito (21 totali, con la palla ritornata al punto di partenza). Puà darsi pure che sia possibile tornare al punto di partenza con qualsiasi angolo e con l'altro simmetrico, ma con un numero totale di metri diverso da 21.
In origine ero partito con l'idea di riportare tutto il problema alla somma di una serie di triangolini rettangoli, tali che la somma dei cateti e delle ipotenuse potesse essere riportata ad un unico triangolo rettangolo con i catteti x ed y e l'ipotenusa 21 (l'ipotenusa di ogni triangolino avrebbe rappresentato la direzione di tiro, angolata di un tot rispetto al cateto con direzione perpendicolare alla sponda di turno; l'altro cateto avrebbe rappresentato la distanza fra il piede della perpendicolare ed il punto di battuta). Purtroppoo non mi è riuscito di realizzare l'idea.
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