Un numero ben disposto

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Bruno
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Un numero ben disposto

Messaggio da Bruno »

Trovare un numero di cinque cifre (tutte diverse) che sia uguale alla somma
dei numeri ottenuti disponendo tre a tre, in tutti i modi possibili, le stesse cifre
del numero cercato.

(Bruno)
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panurgo
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Messaggio da panurgo »

$35964$?
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Yesss... :D
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Messaggio da Admin »

Indico le 5 cifre del numero con $c_{\small1}$,$c_{\small2}$,$c_{\small3}$,$c_{\small4}$,$c_{\small5}$ si ha:
$c_{\small1}c_{\small2}c_{\small3}c_{\small4}c_{\small5}=10^4c_{\small1}+10^3c_{\small2}+10^2c_{\small3}+10c_{\small4}+c_{\small5}$

Ora, disponendo le 5 cifre a 3 a 3, in tutti i modi possibili, si ottiene un numero di numeri, pari a:

$D_3^5=5\cdot4\cdot3=60$ (la formula generale è: $D_h^n=n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-h+1)$)

quindi la somma di questi 60 numeri deve dare il numero iniziale.

Consideriamo la 1° cifra $c_{\small1}$;
si nota che il numero di disposizioni in cui essa si trova in prima posizione, ovvero del tipo $c_{\small1}\,-\,-$, ci è dato dal numero di disposizioni delle altre 4 cifre, 2 a due, ovvero:

$D_2^4=4\cdot3=12$

analogamente, il numero di disposizioni del tipo $\,-\,c_{\small1}\,-$, in cui $c_{\small1}$ è in 2° posizione è $D_2^4=4\cdot3=12$

lo stesso vale per il numero di disposizioni del tipo $\,-\,-\,c_{\small1}$, in cui $c_{\small1}$ è in 3° posizione.

Ricapitolando:

N.ro disposizioni del tipo $c_{\small1}\,-\,-$=$12$
N.ro disposizioni del tipo $\,-c_{\small1}\,-$=$12$
N.ro disposizioni del tipo $\,-\,-\,c_{\small1}$=$12$

Lo stesso vale per le altre 4 cifre.

Ora vediamo come possiamo sommare i 60 numeri;
immaginiamo di scomporli tutti nella forma $10^2c_{\small x}+10c_{\small y}+c_{\small z}$;

a questo, vediamo cosa succede per la cifra $c_{\small1}$:

nelle disposizioni di tipo $c_{\small1}\,-\,-$ la cifra $c_{\small1}$ ha peso pari a $10^2c_{\small1}$; siccome queste disposizioni sono 12, il peso complessivo è $12\cdot10^2c_{\small1}$;
nelle disposizioni di tipo $\,-\,c_{\small1}\,-$ la cifra $c_{\small1}$ ha peso pari a $10\cdot c_{\small1}$; siccome queste disposizioni sono 12, il peso complessivo è $12\cdot10\cdot c_{\small1}$;
nelle disposizioni di tipo $\,-\,-\,c_{\small1}$ la cifra $c_{\small1}$ ha peso pari proprio a essa stessa, cioè $\cdot c_{\small1}$; siccome queste disposizioni sono 12, il peso complessivo è $12\cdot c_{\small1}$.
Quindi il contributo complessivo della cifra $c_{\small1}$ nella somma dei 60 numeri è:

$12\cdot10^2c_{\small1}+12\cdot10\cdot c_{\small1}+12\cdot c_{\small1}$

si osserva che tale somma è pari al numero $12\cdot c_{\small1}c_{\small1}c_{\small1}$, ovvero a $12\cdot 111\cdot c_{\small1}$

identico discorso per le altre 4 cifre;
quindi la somma dei 60 numeri è equivalente alla somma:

$12\cdot 111\cdot c_{\small1}+12\cdot 111\cdot c_{\small2}+12\cdot 111\cdot c_{\small3}+12\cdot 111\cdot c_{\small4}+12\cdot 111\cdot c_{\small5}=12\cdot 111\cdot (c_{\small1}+c_{\small2}+c_{\small3}+c_{\small4}+c_{\small5})$

(la cosa in sé è già interessante! perchè può essere applicata a qualsiasi numero, quindi con un numero qualsiasi di cifre)

Quindi questa somma dei 60 numeri deve essere uguale al numero iniziale;
uguagliando, otteniamo:

$10^4c_{\small1}+10^3c_{\small2}+10^2c_{\small3}+10c_{\small4}+c_{\small5}=12\cdot 111\cdot (c_{\small1}+c_{\small2}+c_{\small3}+c_{\small4}+c_{\small5})$

facciamo alcune considerazioni:

la somma $c_{\small1}+c_{\small2}+c_{\small3}+c_{\small4}+c_{\small5}$, essendo le cifre tutte diverse, va da un minimo di $0+1+2+3+4=10$, ad un massimo di $5+6+7+8+9=35$; e ciò restringe già il campo dei possibili numeri che soddisfano il problema a 25;

calcoliamoli (pongo $c_{\small1}+c_{\small2}+c_{\small3}+c_{\small4}+c_{\small5}=S$ e $c_{\small1}c_{\small2}c_{\small3}c_{\small4}c_{\small5}=N$ ):

$S=10\quad\Rightarrow\quad N=13320$
$S=11\quad\Rightarrow\quad N=14652$
$S=12\quad\Rightarrow\quad N=15984$
$S=13\quad\Rightarrow\quad N=17316$
$S=14\quad\Rightarrow\quad N=18648$
$S=15\quad\Rightarrow\quad N=19980$
$S=16\quad\Rightarrow\quad N=21312$
$S=17\quad\Rightarrow\quad N=22644$
$S=18\quad\Rightarrow\quad N=23976$
$S=19\quad\Rightarrow\quad N=25308$
$S=20\quad\Rightarrow\quad N=26640$
$S=21\quad\Rightarrow\quad N=27972$
$S=22\quad\Rightarrow\quad N=29304$
$S=23\quad\Rightarrow\quad N=30636$
$S=24\quad\Rightarrow\quad N=31968$
$S=25\quad\Rightarrow\quad N=33300$
$S=26\quad\Rightarrow\quad N=34632$
$S=27\quad\Rightarrow\quad N=35964$
$S=28\quad\Rightarrow\quad N=37296$
$S=29\quad\Rightarrow\quad N=38628$
$S=30\quad\Rightarrow\quad N=39960$
$S=31\quad\Rightarrow\quad N=41292$
$S=32\quad\Rightarrow\quad N=42624$
$S=33\quad\Rightarrow\quad N=43956$
$S=34\quad\Rightarrow\quad N=45288$
$S=35\quad\Rightarrow\quad N=46620$

Questi sono tutti i numeri candidati;
di questi dobbiamo escludere quelli che hanno delle cifre uguali;
per cui rimangono i seguenti nove:

$S=11\quad\Rightarrow\quad N=14652$
$S=12\quad\Rightarrow\quad N=15984$
$S=18\quad\Rightarrow\quad N=23976$
$S=19\quad\Rightarrow\quad N=25308$
$S=22\quad\Rightarrow\quad N=29304$
$S=24\quad\Rightarrow\quad N=31968$
$S=27\quad\Rightarrow\quad N=35964$
$S=28\quad\Rightarrow\quad N=37296$
$S=33\quad\Rightarrow\quad N=43956$

a questo punto, c'è bisogno che le cifre del numero $N$ diano come somma la $S$ relativa;
l'unico di questi nove numeri che soddisfa ciò è il numero 35964.

(Mentre sto scrivendo mi accorgo che è arrivata la risposta di panurgo, che conferma il numero).

Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Grande... quasi micidiale :wink:
(Bruno)

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