Ad ogni numero primo p si può associare una tabella quadrata di lato p-2, con la diagonale maggiore contenente il numero (p+1)/2 e tutte le altre diagonali ognuna contenente un solo numero, da zero a p-2, in ordine ciclico; ma vediamo un esempio con p=5:

3...2...1
0...3...2
1...0...3

La proprietà speciale di tale tabella è che in essa è possibile scegliere p-2 numeri distinti, tutti in righe e colonne diverse, disposti simmetricamente rispetto alla diagonale maggiore (quindi uno dei numeri scelti è sempre preso da tale diagonale... ), vedi sotto una soluzione in cui i numeri scelti sono in rosso:

3...2...1
0...3...2
1...0...3

L'elemento che dà il titolo a questa discussione è il numero scelto che si trova nella riga (p-3)/2, ovvero per p=5 esso è il numero 2 dell'esempio. Di questi elementi si sa che per p=3 ce n'è solo uno, mentre per valori superiori sono sempre almeno due o comunque in numero pari, visto che viaggiano in coppia; dato p si può calcolare quanti sono ma l'enigma che li circonda è dato dal fatto che non si può sapere in anticipo il loro valore (cioè quale numero bisogna scegliere nella riga (p-3)/2.

Trovare una soluzione per le tabelle di p=7 e p=11 qua sotto:

4...3...2...1...0
5...4...3...2...1
0...5...4...3...2
1...0...5...4...3
2...1...0...5...4

6...5...4...3...2...1...0...9...8
7...6...5...4...3...2...1...0...9
8...7...6...5...4...3...2...1...0
9...8...7...6...5...4...3...2...1
0...9...8...7...6...5...4...3...2
1...0...9...8...7...6...5...4...3
2...1...0...9...8...7...6...5...4
3...2...1...0...9...8...7...6...5
4...3...2...1...0...9...8...7...6

Giobimbo ha scritto: (...) Trovare una soluzione per le tabelle di p=7 e p=11...

Ciao Giobimbo
Penso che sia molto interessante (e curioso!) questo
tuo problema e mi sembra anche di capire che sia
già stato oggetto di studi approfonditi... E' così?
Dove l'hai scovato?
Mi manca il tempo per ragionarci sopra come si dovrebbe,
ma nella pausa-pranzo ho provato a scarabocchiare un
po' le tue tabelle e mi è venuto fuori questo.
Per il primo caso (p=7) ho trovato queste soluzioni:



da cui si ricava la seguente, scambiando fra loro le
diagonali destre ("/") equidistanti da quella maggiore
(cioè "2-0-4-2-0"):



e poi c'è:



dalla quale si ricava una quarta soluzione con il
principio appena descritto.
Quattro, se non sbaglio, sono le uniche soluzioni
per p=7, i cui elementi misteriosi sono 3, 4 (per
due volte) e 5.

Per p=11, invece, ho trovato subito queste:

$\;\,$



a cui corrispondono altre tre soluzioni applicando
il metodo delle diagonali già visto. Gli elementi
misteriosi, per queste sei soluzioni, sono tre volte 2,
due volte 7 e 3.
Vabbè... è giusto per provare!
Naturalmente penso che non siano le uniche, ma solo
le prime a finire sotto la mia biro...

L'osservazione di queste tabelle mi ha portato alcune
curiosità, che tuttavia mi tocca rimandare a un
(eventuale) successivo intervento perché... la pausa
è finita.

Spero di non aver preso fischi per fiaschi!

A presto!

...

Una delle cose che mi ha colpito a una prima occhiata è
questa: i p-2 numeri scelti (al di là della loro distribuzione)
sono gli stessi che si trovano nella riga centrale.
Ciò significa che il termine 1 non comparirà mai fra loro.
In realtà, la spiegazione è semplice e si può riassumere
dicendo che tutti gli 1 sono distribuiti simmetricamente
rispetto alla diagonale maggiore e quindi vengono sempre
esclusi dal criterio di scelta. In ciascuna riga, inoltre, ogni
elemento può comparire una sola volta, quindi l'equidistanza
delle due diagonali di 1 dalla diagonale maggiore non deve
far capitare nella riga centrale neanche un 1, diversamente
in tale riga dovrebbero finirne due.
Lo schema che richiamo qui (bruttino) può forse aiutare a
veder meglio questo fatto.
Lo schema è riferito ai p>7, dal momento che bastano
gli esempi sopra trattati per i casi precedenti, e le graffe
portano il numero delle righe o delle colonne.
Naturalmente, il discorso fatto per la riga centrale può
essere esteso anche alla colonna centrale, dal momento
che quest'ultima si sovrappone esattamente alla prima
con una rotazione di 90° in senso orario attorno al
proprio centro.

Fine pausa

(Bruno)

...

Scarabocchiando un altro po' (il poco tempo mi lascia
appena saltellare sul problema), mi è uscita anche
questa soluzione per p=11:



seguìta dalla configurazione che si ottiene scambiando
fra loro le diagonali "destre" (ved. sopra).
Gli elementi misteriosi sono rispettivamente 3 e 8.
Salvo errori, è chiaro...

Ora però mi fermo perché questi miei post mi sembran quasi
dei "tic" $\;$

Il problema viene da una vecchia ricerca (1994, dice la cartolina dentro il quaderno) sulle permutazioni. La tabella è un dispositivo analogico che aiuta a trovarle, un biliardo dove la prima biglia viene tirata nella riga a=(p-3)/2, colpisce un numero nella colonna b e rimbalza nella riga b, qui colpisce un numero nella colonna c e rimbalza nella riga c, eccetera. Un procedimento noioso che ho cercato di migliorare prima di presentarlo nel forum, ma come per altri adattamenti sono successi degli imprevisti, p.es. dovevo dire che sulle diagonali destre ( / ) deve starci solo una coppia, ma non importa, Bruno ha trovato le soluzioni giuste per i vincoli richiesti.

L'elemento misterioso... non sta nella riga (p-3)/2, un falso ricordo a quanto sembra, rinforzato dal fatto che per p=7 effettivamente vale 3, il numero trovato nella riga incriminata: tale riga era solo la riga di partenza come detto sopra. Chiedo scusa. Corretto questo, vediamo cos'è e come si usa per trovare le coppie simmetriche.


Sia Z'p l'insieme dei numeri da 1 a p-1 e T una legge moltiplicativa tale che, dati x, y elementi di Z'p:

x T y = x * y (mod p)

Allora (Z'p, T), cioè l'insieme Z'p con la legge T, è un gruppo, e possiamo scrivere $x^m$ per indicare l'elemento x moltiplicato per se stesso m volte (0 4...3...2...1...0
3-> 5...4...3...2...1
2-> 0...5...4...3...2
4-> 1...0...5...4...3
1-> 2...1...0...5...4

...per fortuna mi son fermato!
Comunque, è davvero interessante quello che hai postato, Giobimbo,
e ti ringrazio moltissimo per averlo fatto.
A presto.

Bruno

L'emoticon di Bruno mi fa venire in mente quando cercavo una soluzione per p=17, quante capocciate! Poi ho desistito, ma questo ovviamente succedeva prima che scoprissi il rapporto con gli elementi primitivi modulo p.
E a proposito di questi vorrei aggiungere alcune note conclusive.

giobimbo ha scritto:si sa che per p=3 ce n'è solo uno

Voglio credere, visto che la tabella associata a p=3 ha dimensione 1x1...

giobimbo ha scritto:mentre per valori superiori sono sempre almeno due o comunque in numero pari

Difatti, Bruno ha scoperto che ad ogni soluzione è associata una soluzione duale, per via della simmetria rispetto alla diagonale contraria...

giobimbo ha scritto:Vediamo un esempio con p=7. Se x=2 allora 2 al quadrato uguale 4, 2 al cubo uguale 1 (stiamo operando modulo p), 2 alla quarta uguale 2, ..., dunque:
potenze di 2 = {2, 4, 1, 2, 4, 1}.
Provando con tutti gli elementi di Z'_7 scopriamo che i suoi elementi primitivi sono 3 e 5:
potenze di 3 = {3, 2, 6, 4, 5, 1}
potenze di 5 = {5, 4, 6, 2, 3, 1}

Sembra che Fermat, oltre al suo "ultimo" teorema, ne abbia enunciato anche uno "piccolo"...