Un contadino disonesto

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Quelo
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Un contadino disonesto

Messaggio da Quelo »

Prendo spunto da un quesito che ho risolto su un altro forum e ve lo propongo qui togliendo qualche informazione (se no era troppo facile).

"Un contadino decide di diluire il vino da lui prodotto con dell'acqua per frodare i suoi clienti. Quindi riempie in parte una botte di vino e apre il rubinetto dell'acqua che inizia a entrare nella botte a una velocità di 5 litri al minuto. Il contadino distratto dimentica il rubinetto aperto e così l'acqua prima riempie completamente la botte (che ha una capienza totale di 100 litri) e poi la soluzione acqua/vino inizia a straripare dal bordo della botte. Dopo un'ora il contadino torna e chiude il rubinetto. Quanti litri di vino sono rimasti nella botte?
(Si ipotizzi una miscela omogenea di acqua/vino e si considerino di influenza nulla tutti i fattori non esplicitamente dichiarati).
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peppe
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Messaggio da peppe »

"Un contadino decide [...]
Quelo
Sei proprio sicuro che si tratti di un contadino? Forse ti confondi con l'oste della stornellata... :lol:
Peppe

jepa
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Messaggio da jepa »

Rimangono 100 l di una miscela di vino molto annacquato, la quantità di vino residua a parer mio non si può ottenere solo con questi dati, ma forse mi sbaglio.

Quelo
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Messaggio da Quelo »

Ok manca un dato, ma la soluzione può essere trovata in funzione del dato mancante. In sostanza si chiede di trovare una formula che restituisca la quantità di vino rimanente in funzione della quantità presente in origine.
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0-§
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Messaggio da 0-§ »

Come direbbe Bruno,"salvo errori omissioni e boiate" la quantità di vino finale,detta L la quantità di vino(in litri) all'inizio di tutto l'ambaradàn,é data da \displaystyle L \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{40} \cdot \sqr[5]{\left(\frac{19}{20}\right)^L}\simeq 0,1285L\cdot\left(\frac{19}{20}\right)^{\frac{L}{5}}
(risposta micronizzata e de-texata per non infastidire chi volesse cimentarsi col problema)
Chiedo conferma alla regia per la mia soluzione(non vorrei aver fatto una sciocchezza in un passaggio di generalizzazione),chiedo umilmente perdono qualora avessi sbagliato tutto... :oops:
Saluti!
Zero-infinito
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

delfo52
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Messaggio da delfo52 »

parlando in italiano:
se nella botte all'inizio ci sono n litri di vino, i primi (100-n) litri di acqua entrano nella botte dopo di chè 200+n litri di miscela andranno perduti.
andando per approssimazione, e lavorando con dei numeri, che è più facile che usare le lettere. ipotizziamo che l'oste abbia messo 70 litri di vino. dal 31esimo litro di acqua, comincia la tracimazione.
I primi dieci litri (ho detto che è una approsimazione) conterranno il 70% di vino. togliamo 7 litri. i secondi dieci litri usciranno da una botte in cui sono rimasti 63 litri di vino; per cui si perdono altri 6,3 litri di vino. Ne restano 56,7
Quando non sapevo nulla di matematica, per risolvere problemi del genere, io procedevo così: facevo i calcoli con "pezzi grossolani" e registravo i risultati. Li ripetevo con pezzi via via più piccoli; mettevo il tutto su carta millimetrata e "estrapolavo ad occhio" quello che sarebbe stato il risultato se avessi avuto il tempo e la pazienza di usare pezze infinitamente piccoli.
Quando ne parlai a mia mamma, ebbi l'amara sorpresa di sapere che...qualcuno ci aveva pensato prima di me.
Non ci crederete ma è vero: sapere che "esisteva il sistema" mi fece perdere molto dell'interesse alla faccenda !

Questo, secondo un certo tipo di barzellette sui matematici, starebbe ad indicare che sono un "matematico dentro", e non credo che sia un complimento.
Certo conoscete quella (deve essere anche su B5) dell'ingegnere, il fisico e il matematico che si svegliano di notte perchè sentono odore di fumo nel corridoio dell'albergo. L'ingegnere si alza, vede il fuoco, rientra in camera dove sa esserci un rubinetto, riempie una secchio d'acqua e risolve il problema. Il fisico, visto il fuoco, nota che esiste una manichetta anti-incendio; misura la distanza, il calibro del tubo, la pressione del getto e col minimo spreco d'acqua, risolve. Il matematico, visto il fuoco, visto l'idrante, tira un respiro di sollievo:"esiste una soluzione!" , e torna a letto.....
Enrico

Quelo
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Messaggio da Quelo »

@ 0-§
Interessante la tua risposta "micronizzata e de-texata", ma non è la soluzione giusta, anche se ci sono degli elementi che mi fanno pensare che tu sia sulla buona strada.

Trattandosi della ricerca di una formula e non di un dato vi do una soluzione certa al problema (come termine di controllo):

Se all'inizio ci sono 50 litri di vino alla fine ce ne saranno 4,1042499312.
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Messaggio da Admin »

Dunque,
indichiamo con $x_{\small0}$ i litri di vino inizialmente presenti nella botte, e con $x(t)$ i litri presenti nella botte ad ogni istante;
per cui x(60 min.) saranno i litri presenti nella botte dopo un'ora dall'apertura del rubinetto.

Affinchè la botte sia piena occorre versare $100-x_{\small0}$ litri di acqua in essa.
Dato che il rubinetto eroga a 5 lt/min, per riempire la botte ci vorranno $\frac{100-x_{\small0}}{5}\, min$.
Dato che il rubinetto viene chiuso dopo un'ora vuol dire che resta aperto ancora per $60 -\frac{100-x_{\small0}}{5}\, min$

Adesso la botte è piena.
Vi sono abbiamo detto $x_{\small0}$ litri di vino nella botte;
il che vuol dire che la percentuale di vino presente nella botte è $\frac{x_{\small0}}{100}$;
da questo momento in poi la miscela comincia ad uscire dalla botte alla velocità di 5 litri/min.
L'acqua ci trae in inganno; in realtà può non essere considerata affatto;
infatti, la quantità di vino che esce dalla botte ogni minuto ci sarà data da
$\frac{x(t)}{100}\cdot5\,lt$;
e questo indipendentemente dall'acqua che entra e che quindi fa diventare più annacquato il vino.

A questo punto consideriamo la variazione dei litri di vino presenti nella botte
nel tempo; ossia

$\Large \frac{d\,x(t)}{dt}$

tale variazione in ogni istante deve essere opposta alla quantità di vino che fuoriesce, ossia $\frac{x(t)}{100}\cdot5\,lt$;
per cui si ottiene l'equazione

$\frac{d\,x(t)}{dt}=-\frac{x(t)}{100}\cdot5\,lt$

per comodità usiamo solo $x$ al posto di $x(t)$; il tempo lo riprendiamo alla fine;
per cui

$\frac{dx}{dt}=-\frac{x}{100}\cdot5$

moltiplichiamo per dt, dividiamo per x ed integriamo ambo i membri:

$\displaystyle \frac{dx}{x} = -\frac{dt}{100}\cdot5\quad\Rightarrow\quad \int \frac 1 x dx =-\frac{1}{20} \int dt$

$ln\, x +C_{\small1} = \frac{1}{20}t+C_{\small2} \quad\Rightarrow\quad ln\, x = \frac{1}{20}t+C$

da cui

$x(t)= e^{ -\frac{1}{20} t + C}= e^C\cdot e^{ -\frac{1}{20}t}$

all'istante t=0 abbiamo detto che ci sono $x_{\small0}$ litri di vino nella botte; per cui:

$x({\small t=0}) = x_{\small0} \quad \Rightarrow \quad e^C\cdot e^{ -\frac{1}{20}({\small t=0})}= x_{\small0} \quad \Rightarrow \quad x_{\small0} = e^C$

sostituendo nell'equazione ricavata si ha:

$x(t)= x_{\small0}\cdot e^{ -\frac{1}{20}t}$

abbiamo ricavato all'inizio che il tempo t per cui il rubinetto resta ancora aperto dopo che la botte si è riempita è $60 -\frac{100-x_0}{5}\, min$;
sostituendolo nell'equazione si ottiene la relazione che lega i litri rimanenti ai litri iniziali nella botte:

$x_{\small f}= x_{\small0}\cdot e^{-\frac{1}{20}\cdot (60 -\frac{100-x_{\small0}}{5})}$

semplificando:

$x_{\small f}= x_{\small0}\,\cdot\, e^{\small -2}\,\cdot\, e^{-\frac{x_{\small0}}{100}}$

Questa è la relazione.

Verifica con $x_{\small 0}=50\,lt$:

$x_{\small f}= 50 \cdot e^{\small -2}\,\cdot\,e^{\frac{1}{2}} \,\approx\, 50\,\cdot\,0,135335283\,\cdot\, 0,606530659 = 4,104249924$

SE&O

Admin

P.S.: x 0-inf
mi interessa sapere come sei arrivato alla formula che hai postato, inquanto è una buona approssimazione; hai agito per rimpicciolimenti successivi?
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

Quelo
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Messaggio da Quelo »

Bravo Pietro, la tua soluzione è ovviamente giusta.

Ti segnalo una soluzione alternativa:

Supponiamo di fare un calcolo discreto e indichiamo con $\frac{1}{n}$ la variazione minima considerata, ad esempio se il calcolo è fatto sul litro (un litro entra e un litro esce) allora $\frac{1}{n}=\frac{1}{100}$

Sappiamo che la parte di vino che rimane dopo $i$ sostituzioni è

$x = x_0(1- \frac{1}{n})^{\frac{n}{100}i} = x_0(1- \frac{1}{n})^{n\frac{i}{100}}$

per $n$ che tende all’infinito abbiamo

$x = x_0 \lim_{x\to{\infty}}{(1- \frac{1}{n})^{\frac{n}{100}i} = x_0 e^{-\frac{i}{100}}$

In un’ora entrano 300 litri e ne escono $i = 200+x_0$ quindi:

$x = x_0 e^{-\frac{200+x_0}{100}}$
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Vedo solo ora il tuo problema, Quelo: bella risoluzione :D
Notevole anche l'intervento del mitico Pietro.
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

0-§
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Messaggio da 0-§ »

Allora,scartabellando tra i vari ninnoli trovati in giro su Internet ho ritrovato l'articolo che mi aveva insinuato il dubbio di avere sbagliato soluzione:un articolo(molto bello,se posso dire) di Fioravante Patrone su matematicamente.it (http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.pdf) a proposito delle equazioni differenziali.Ebbene,come mi sono ricordato solo dopo aver postato la mia soluzione(come diceva Duchessa,"Conta fino a dieci prima di parlare e poi stai zitto"),l'esempio utilizzato dall'autore corrispondeva(con alcune leggere modifiche)al problema di Quelo,che quindi richiedeva anch'esso una bella equazione differenziale.Semplice ma efficace...
Quanto alla mia soluzione "quasi giusta"(é già qualcosa,ero convintissimo di avere sbagliato tutto) sono partito dal considerare il versamento d'acqua all'interno del barile come un procedimento discreto anziché continuo.Ossia anziché considerare un costante flusso d'acqua e un costante deflusso di acqua "alcoolica"(mista a vino) ho immaginato che ogni minuto qualcuno togliesse(il contadino,forse?) dalla botte una secchiata da cinque litri di miscela acqua-vino e vi versasse altrettanta acqua pura,fino al completamento del processo,un'ora dopo l'inizio dei lavori.Ottenuta la funzione che stabiliva la quantità di vino nella botte dopo k minuti(con k intero) ho ritenuto la funzione applicabile anche nel caso di k discreto e quindi variabile nel campo dei numeri reali compresi tra zero e sessanta.E vediamo se ho capito l'errore:questo passaggio dal discreto al continuo é incompleto,e dà pertanto una stima della quantità di vino approssimata(potremmo definirla "approssimata al minuto",per intenderci).Per migliorare l'approssimazione,avrei potuto considerare come campo discreto di variazione di k il mezzo minuto,il quarto di minuto,il singolo secondo,il decimo-centesimo-millesimo di secondo...ottenendo approssimazioni sempre più precise dell'effettivo andamento della quantità di vino nel tempo.
Ma per trovare la funzione esatta,si dovrebbe partire direttamente da intervalli di tempo infinitesimi(ecco dove salta fuori il calcolo delle derivate e le equazioni differenziali) per poter passare da variazione discreta(modello teorico) a variazione continua(realtà dei fatti) senza colpo ferire...con un procedimento di "passaggio al limite"(si dovrebbe chiamare così),si ottiere finalmente l'equazione differenziale che bisogna risolvere(io non ne sono capace) per ottenere l'espressione che rende la quantità di vino presente nel barile in funzione del tempo passato dal "momento di sbordo" della soluzione(a dire il vero,anche in funzione ealle condizioni iniziali nel barile,ossia dalla quantità in litri di vino nel barile all'inizio del processo e dalla capienza del barile stesso:come precisa lo stesso Patrone,un'equazione differenziale in genere ha infinite funzioni risolventi e per ottenere una funzione precisa bisogna inserire un altro parametro,in questo caso le condizioni iniziali all'interno del barile).
Bello!
Se le cose stanno come ho sopra supposto,posso quantomeno arrivare a trovare l'equazione differenziale da risolvere per venire a capo del problema(e magari anche a risolverla,grazie all'aiuto di ZioGiò e dei suoi appunti di analisi 2 :mrgreen:)
Beh,non avrò risolto il problema del contadino disonesto,ma oggi la soddisfazione di risolvere il terribile "problema del modulo 740" (per la gioia di mia madre,persa fra degli insormontabili 7 per mille :lol: )l'ho avuta 8)
Bene,saluti e baci,ciao a tutti...
Zerinf
Ultima modifica di 0-§ il lun giu 26, 2006 11:28 pm, modificato 2 volte in totale.
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

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Messaggio da Admin »

il "terribile problema del modulo 740" è forse questo:

$19 x \equiv 203 (mod\,740)$

?

:D :D

Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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