un bel numero periodico

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ronfo
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un bel numero periodico

Messaggio da ronfo » mer nov 04, 2015 12:28 pm

Un caloroso saluto a tutti i basecinquini.
Nel mio peregrinare in internet mi sono imbattuto in un testo di mate alquanto interessante.
Ho già attinto da esso un problema riguardante i numeri primi che ho già postato.
Ora ne ho trovato un altro altrettanto bello e vado subito a esporlo così come l’ho trovato

Qual è il periodo del numero decimale (1.(001))^ 2?

( a parole uno virgola zero zero uno periodico elevato due (non riuscendo a fare la barretta del periodo ho utilizzato il modo alternativo di rappresentarli)).
Poche righe sotto ho trovato un'altra interessante questione che Vi riporto
Normalmente i computer fanno i calcoli con un allineamento decimale finito,
ottenuto troncando o approssimando lo sviluppo decimale esatto, ma questo può comportare gravi
problemi, come prova l’esempio, elementare, che segue.
Poiché
1/3*4-1=1/3
ci si deve aspettare che moltiplicando nuovamente il risultato per 4 e sottraendo 1 si ottenga di nuovo,
e all'infinito, sempre 1/3. La cosa è certamente vera se operiamo con le frazioni. Supponiamo invece
di approssimare la frazione 1/3 con, per esempio, 0.3333 (quattro cifre decimali esatte: l’errore è più
piccolo di un decimillesimo), e di ripetere il calcolo indicato dieci volte:
((((((((((0.3333*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1) .
Otteniamo come risultato -34.6192, cioè un valore completamente inaccettabile.
Domanda : quante cifre decimali devo utilizzare per ottenere nell'esempio sopra un errore
Inferiore a 1/1000?
Per quanti sono interessati ho trovato questi problemi qui
http://www.batmath.it/matematica/mat_base/mbase.pdf nel testo scaricabile in PDF matematica di base pag 58.
Spero sia di vostro gradimento.
Rinnovo i saluti
Ronfo
P.S. non so se è il caso di inserirlo nella filiera di segnalazioni (magari c'è già?!)

panurgo
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Re: un bel numero periodico

Messaggio da panurgo » mer nov 04, 2015 8:37 pm

Codice: Seleziona tutto

[math]1,\overline{001}^2[/math]
$1,\overline{001}^2$
il panurgo

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Pasquale
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Re: un bel numero periodico

Messaggio da Pasquale » gio nov 05, 2015 4:01 am

Incredibile e interessante!
$1,\overline{001}^2$ = \frac{1000000}{998001} = 1.002003004005006007008009010011012.......099100101...199200.......999....
Quindi non saprei come continuare: si ripete tutto il precedente? Con qualche variante? Oppure: 0000 0001 0002 0003.........9999...... ?

Nel 2° quesito la mia calcolatrice se la cava con 0,3333333333 (10 cifre decimali)
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Re: un bel numero periodico

Messaggio da gnugnu » gio nov 05, 2015 8:53 am

3000-3 cifre
Ciao

Pasquale
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Re: un bel numero periodico

Messaggio da Pasquale » gio nov 05, 2015 8:55 pm

Va bene Gnu..., se lo dici tu ci credo: evidentemente non ho interprtetato bene la domanda.Ho ritenuto che per:

n = ((((((((((0.3333333333*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1) = 0,3332983808, fosse stato soddisfatto quanto richiesto, cioè 1/3 = 0,333, ma evidentemente si richiedeva altro, che non ancora ho capito.
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Re: un bel numero periodico

Messaggio da gnugnu » gio nov 05, 2015 9:24 pm

Pasquale ha scritto:Va bene Gnu..., se lo dici tu ci credo: evidentemente non ho interprtetato bene la domand
Scusami, ma v'è stato un problema di comunicazione. Io ho risposto alla domanda del quiz: "qual è il periodo....?"
Ciao
B.

Pasquale
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Re: un bel numero periodico

Messaggio da Pasquale » sab nov 07, 2015 4:22 am

Ah, un qui pro quo che mi ha costretto ad approfondire il primo quesito e dunque ti ringrazio.
In effetti si tratta proprio di uno strano periodo che ha soltanto un neo: quel -3 da te indicato, altrimenti avremmo avuto un perfetto 3000.
Un periodo nondimeno che rappresenta la sequenza dei numeri naturali, espressi ciascuno con 3 cifre, con partenza da 002, fino a 999 più 000 e 001.
Peccato che manchi il 998......chissà se esiste una frazione generatrice che possa comprenderlo, partendo magari da 000 ed a finire con 999.....a pensarci bene, credo proprio di si.
Grazie naturalmente anche a Ronfo.
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Re: un bel numero periodico

Messaggio da gnugnu » sab nov 07, 2015 8:02 am

Che bella la matematica che non smette mai di stupire anche i vecchi bacucchi, come me!
Avevo ricavato 2997 con GeoGebra usando questa espressione, scritta per una vecchia versione (con GeoGebra 5.x si può far di meglio):
PosizioneDi[1,IterazioneLista[round(n*(10*x/n-floor(10*x/n))),1,m],2]-1,
che fornisce, pur lavorando in semplice precisione, la lunghezza del periodo generato dal divisore n (m limita solo la profondità della ricerca).
La forma 3000-3 con cui avevo postato il risultato era nata solo di pancia: in questi due problemi la cifra 3 è molto invasiva.
Pasquale (ti ringrazio assai), invece, mi permette di scoprire che c'è una ragione più profonda per scrivere il risultato in quel modo strano. Stupenda coincidenza??
Ciao
Beppe

@Pasquale
10: la tua risposta all'altro quesito, esce da questa 'legge del 3', ma a pensarci bene non sono necessari dieci 3 per soddisfare la richiesta.

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Re: un bel numero periodico

Messaggio da vittorio » ven nov 20, 2015 12:12 pm

Alcune considerazioni sui 'bei numeri periodici'.
Tralasciando il numero indicato nel primo quesito, ho considerato il numero $0,\overline{1}=1/9$ il cui quadrato è $1/81$.
Il periodo di 1/81 è 012345679 e contiene tutte le cifre nell'ordine ad eccezione della penultima 8.
Considero poi il numero $0,\overline{01}=1/99$ il cui quadrato è 1/9801.
Il periodo di 1/9801 è 000102030405.................939495969799 e contiene nell'ordine tutti i raggruppamenti di due cifre da 00 a 99 con l'eccezione di 98.
Allora ho considerato il numero $0,\overline{001}=1/999$ il cui quadrato è 1/998001.
Il periodo di 1/998001 è 000001002003004005.....................993994995996997999 e contiene nell'ordine tutti i raggruppamenti di tre cifre da 000 a 999 con l'eccezione di 998.
A questo punto mi sono fermato perchè i calcoli diventavano pesanti.
L'ipotesi, tutta da dimostrare, è che lo schema si riproduca alli'nfinito vale a dire che il quadrato di un numero N=9....9 costituito da k cifre 9 sia M=9..980..01 con k-1 cifre 9 e k-1 cifre 0 e che il suo inverso contenga nell'ordine tutti i raggruppamenti di k cifre da 0..0 a 9..9 con la sola eccezione di 9..98, contenente k-1 cifre 9.
Vittorio
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Re: un bel numero periodico

Messaggio da gnugnu » mer nov 25, 2015 11:02 am

Per completare la risoluzione del secondo problema proposto da ronfo, osservando che ad ogni iterazione l'errore di troncamento viene moltiplicato per 4: $4(1/3-x)-1=1/3-4x$; per determinare l'errore iniziale che porta, dopo 10 iterazioni, ad un errore minore di $1/1000$ basta risolvere la disequazione $4^{10}x<1/1000$.
La soluzione è $x<9.537 \cdot 10^{-10}$, quindi servono 9 cifre decimali.
Ciao

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