Un'addizione carina

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Un'addizione carina

Messaggio da franco » dom apr 14, 2019 7:41 pm

Scrivendo tre numeri interi e la loro somma (che ha 4 cifre), ho utilizzato una e una sola volta ciascuna delle cifre da 0 a 9.
Quale può essere questa addizione?

En écrivant trois nombres entiers et leur somme (qui a 4 chiffres), j'ai utilisé une fois et une seule chacun des chiffres de 0 à 9.
Quelle peut être cette addition ?

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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Bruno » gio apr 18, 2019 8:45 am

Qui ho seguito un approccio intuitivo, blandamente analitico.
Il primo pensiero è stato quello di lavorare su risultati bassi per la somma di quattro cifre.
Quindi sono partito dall'addendo maggiore, considerando 987.
Ho esaminato allora:
1023 = 987 + 36 (36, però, non può essere fornito dalle rimanenti cifre 4, 5, 6)
1024 = 987 + 37 (37 non può essere fornito dalle rimanenti cifre 3, 5, 6)
1025 = 987 + 38 (38 non può essere fornito dalle rimanenti cifre 3, 4, 6)
1026 = 987 + 39
e a questo punto ho osservato che 39 = 34 + 5. Pertanto: 1026 = 987 + 34 + 5.
Andando avanti di questo passo un altro po', non ho visto altre combinazioni "carine" :wink:
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Gianfranco » gio apr 18, 2019 10:52 am

Sembra che questo problema abbia molte soluzioni...
1035 = 46 + 987 + 2
Forse hanno tutte il 987 in comune?
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Bruno » gio apr 18, 2019 10:56 am

Fantastico, Gianfranco, fra i miei scarabocchi non l'avevo vista :D
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Bruno » gio apr 18, 2019 11:29 am

Già: anche solo invertendo le due cifre finali del tuo risultato, troviamo 1053 = 987 + 64 + 2 = 987 + 62 + 4 = 984 + 67 + 2 = 984 + 62 + 7 ...

Boh, c'è qualcosa che non mi convince sulla richiesta del problema... 1035 = 986 + 47 + 2 = 986 + 42 + 7, 1026 = 984 + 37 + 5 = 984 + 35 + 7, ... :roll:

... e il mio approccio artigianale è affatto inefficace.
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da panurgo » gio apr 18, 2019 11:33 am

Un’addizione carina

Cari ed ottimi, questo problema suona antico perché al dì de un co’ (a Padova, “al giorno d’oggi”) basta scrivere un programmino e il gioco è fatto!

Va beh, non è proprio così banale: a meno di non possedere un Cray occhio al numero di operazioni.

Siccome siamo vecchi (e l’antica ci sconfiffera) proviamo a seguire un ragionamento analogo a quello di Bruno.

La somma è un numero di quattro cifre, il che ci lascia con sei cifre a disposizione quindi vi sono tre possibilità per quel che riguarda il numero di cifre degli addendi: $\text{2-2-2}$, $\text{1-2-3}$ e $\text{1-1-4}$.

Il primo caso lo possiamo escludere facilmente perché il valore massima della somma è $98+76+54=228$ che ha tre cifre; nel terzo caso, la differenza dei due numeri di quattro cifre deve essere piccola perché il valore massimo della somma di due cifre è $17$ perciò dobbiamo avere che le cifre delle migliaia differiscono di $1$ mentre le cifre delle centinaia devono essere $9$ per l’addendo e $0$ per la somma: ma, $987+6+5=998$ è il massimo valore possibile per la somma escluse le migliaia dell’addendo di quattro cifre quindi non ci resta che $\text{1-2-3}$.

Osserviamo adesso le cifre delle unità: devono essere tutte distinte, diverse da $0$, $1$ e $9$ e deve essere $S_u=u_a+u_b+u_c-u_d=10k$ perché deve essere $a+b+c-d=0$; inoltre, se noi scambiamo tra loro le cifre delle unità degli addendi la somma non cambia per cui possiamo elencare le cifre a cominciare dalla più bassa

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|C}
\hline
u_a & u_b & u_c & u_d & S_u & \text{note}\\
\hline
2 & 3 & 4 & 9 & 0 & \text{contiene un 9} \\
2 & 3 & 5 & 0 & 10 & \text{contiene uno 0} \\
2 & 3 & 6 & 1 & 10 & \text{contiene un 1} \\
2 & 3 & 7 & 2 & 10 & \text{contiene due 2} \\
\hline
2 & 3 & 8 & 3 & 10 & \text{contiene due 3} \\
2 & 4 & 5 & 1 & 10 & \text{contiene un 1} \\
2 & 4 & 6 & 2 & 10 & \text{contiene due 2} \\
2 & 4 & 7 & 3 & 10 & \text{valido!} \\
\hline
2 & 4 & 8 & 4 & 10 & \text{contiene due 4} \\
2 & 5 & 6 & 3 & 10 & \text{valido!} \\
2 & 5 & 7 & 4 & 10 & \text{valido!} \\
2 & 5 & 8 & 5 & 10 & \text{contiene due 5} \\
\hline
2 & 6 & 7 & 5 & 10 & \text{valido!} \\
2 & 7 & 8 & 7 & 10 & \text{contiene due 7} \\
3 & 4 & 5 & 2 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 4 & 6 & 3 & 10 & \text{contiene due 3} \\
\hline
3 & 4 & 7 & 4 & 10 & \text{ contiene due 4} \\
3 & 4 & 8 & 5 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 5 & 6 & 4 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 5 & 7 & 5 & 10 & \text{ contiene due 5} \\
\hline
3 & 5 & 8 & 6 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 6 & 7 & 6 & 10 & \text{ contiene due 6} \\
3 & 6 & 8 & 7 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 7 & 8 & 8 & 10 & \text{ contiene due 8} \\
\hline
4 & 5 & 6 & 5 & 10 & \text{ contiene due 5} \\
4 & 5 & 7 & 6 & 10 & \text{valido!} \\
4 & 5 & 8 & 7 & 10 & \text{valido!} \\
4 & 6 & 7 & 7 & 10 & \text{ contiene due 7} \\
\hline
4 & 6 & 8 & 8 & 10 & \text{ contiene due 8} \\
5 & 6 & 7 & 8 & 10 & \text{valido!} \\
5 & 7 & 8 & 0 & 20 & \text{contiene uno 0} \\
6 & 7 & 8 & 1 & 20 & \text{contiene un 1} \\
\hline
\end{array}$

Osserviamo che tutte le quadruple valide danno come “somma” $S_u=10$; le cifre delle decine, $d_b$, $d_c$ e $d_d$, devono dare come “somma” $S_d=d_b+d_c-d_d=9$: queste nove decine più le dieci unità danno esattamente il centinaio che manca a $9h$ per arrivare a $10h$.

Per avere $S_d=9$ è gioco forza sommare fra di loro le due cifre più grandi e sottrarre la più piccola, per esempio $8+7-6=9$ oppure $7+4-2=9$ ecc.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|C}
\hline
u_a & u_b & u_c & u_d & S_u & d_b & d_c & d_d & S_d & \text{note}\\
\hline
2 & 4 & 7 & 3 & 10 & 8 & 6 & 5 & 9 & \text{valido!} \\
2 & 5 & 6 & 3 & 10 & 8 & 7 & 4 & 11 & \\
2 & 5 & 7 & 4 & 10 & 8 & 6 & 2 & 12 & \\
2 & 6 & 7 & 5 & 10 & 8 & 4 & 3 & 9 & \text{valido!} \\
\hline
3 & 4 & 5 & 2 & 10 & 8 & 7 & 6 & 9 & \text{valido!} \\
3 & 4 & 8 & 5 & 10 & 7 & 6 & 2 & 11 & \\
3 & 5 & 6 & 4 & 10 & 8 & 7 & 2 & 13 & \\
3 & 5 & 8 & 6 & 10 & 7 & 4 & 2 & 9 & \text{valido!} \\
\hline
3 & 6 & 8 & 7 & 10 & 5 & 4 & 2 & 7 & \\
4 & 5 & 7 & 6 & 10 & 8 & 3 & 2 & 9 & \text{valido!} \\
4 & 5 & 8 & 7 & 10 & 6 & 3 & 2 & 7 & \\
5 & 6 & 7 & 8 & 10 & 4 & 3 & 2 & 5 & \\
\hline
\end{array}$

Queste cinque decuple danno luogo a sessanta soluzioni dato che è possibile permutare indipendentemente le cifre delle decine e quelle delle unità degli addendi ($5\times3!\times2!=60$), ovvero

$\begin{array}{cC}
2 + 87 + 964 = 1053 \\
3 + 48 + 975 = 1026 \\
3 + 74 + 985 = 1062 \\
3 + 75 + 984 = 1062 \\
3 + 84 + 975 = 1062 \\
4 + 37 + 985 = 1026 \\
4 + 62 + 987 = 1053 \\
4 + 73 + 985 = 1062 \\
4 + 82 + 967 = 1053 \\
4 + 85 + 973 = 1062 \\
4 + 87 + 935 = 1026 \\
5 + 37 + 984 = 1026 \\
5 + 73 + 948 = 1026 \\
5 + 73 + 984 = 1062 \\
5 + 74 + 983 = 1062 \\
5 + 78 + 943 = 1026 \\
5 + 83 + 974 = 1062 \\
5 + 84 + 937 = 1026 \\
5 + 84 + 973 = 1062 \\
5 + 87 + 934 = 1026 \\
6 + 42 + 987 = 1035 \\
6 + 47 + 982 = 1035 \\
6 + 82 + 947 = 1035 \\
6 + 87 + 942 = 1035 \\
7 + 34 + 985 = 1026 \\
7 + 35 + 984 = 1026 \\
7 + 42 + 986 = 1035 \\
7 + 46 + 982 = 1035 \\
7 + 62 + 984 = 1053 \\
7 + 64 + 982 = 1053 \\
7 + 82 + 946 = 1035 \\
7 + 82 + 964 = 1053 \\
7 + 84 + 935 = 1026 \\
7 + 84 + 962 = 1053 \\
7 + 85 + 934 = 1026 \\
7 + 86 + 942 = 1035 \\
8 + 43 + 975 = 1026 \\
8 + 45 + 973 = 1026 \\
8 + 73 + 945 = 1026 \\
8 + 75 + 943 = 1026
\end{array}$

S ciao
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Bruno » gio apr 18, 2019 1:26 pm

Tutto chiaro, Guido, grazie :D

In un certo senso, stavo cercando trote in una pozzanghera :mrgreen:
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Gianfranco » gio apr 18, 2019 3:05 pm

panurgo ha scritto:
gio apr 18, 2019 11:33 am
Un’addizione carina

Cari ed ottimi, questo problema suona antico perché al dì de un co’ (a Padova, “al giorno d’oggi”) basta scrivere un programmino e il gioco è fatto!

Va beh, non è proprio così banale: a meno di non possedere un Cray occhio al numero di operazioni.

Siccome siamo vecchi (e l’antica ci sconfiffera) proviamo a seguire un ragionamento analogo a quello di Bruno.
Straordinario, come sempre Panurgo!

Per curiosità, ho scritto un programmino in BASIC che potrebbe pure girare su un VIC-20 in tempi ragionevoli trovando per l'appunto 60 soluzioni, come hai dimostrato sopra.
Poiché ne hai riportato solo 40, incollo qui l'output del programma con tutte le soluzioni.
1 --- 1026 = 3 + 45 + 978
2 --- 1026 = 3 + 48 + 975
3 --- 1026 = 3 + 75 + 948
4 --- 1026 = 3 + 78 + 945
5 --- 1026 = 4 + 35 + 987
6 --- 1026 = 4 + 37 + 985
7 --- 1026 = 4 + 85 + 937
8 --- 1026 = 4 + 87 + 935
9 --- 1026 = 5 + 34 + 987
10 --- 1026 = 5 + 37 + 984
11 --- 1026 = 5 + 43 + 978
12 --- 1026 = 5 + 48 + 973
13 --- 1026 = 5 + 73 + 948
14 --- 1026 = 5 + 78 + 943
15 --- 1026 = 5 + 84 + 937
16 --- 1026 = 5 + 87 + 934
17 --- 1026 = 7 + 34 + 985
18 --- 1026 = 7 + 35 + 984
19 --- 1026 = 7 + 84 + 935
20 --- 1026 = 7 + 85 + 934
21 --- 1026 = 8 + 43 + 975
22 --- 1026 = 8 + 45 + 973
23 --- 1026 = 8 + 73 + 945
24 --- 1026 = 8 + 75 + 943
25 --- 1035 = 2 + 46 + 987
26 --- 1035 = 2 + 47 + 986
27 --- 1035 = 2 + 86 + 947
28 --- 1035 = 2 + 87 + 946
29 --- 1035 = 6 + 42 + 987
30 --- 1035 = 6 + 47 + 982
31 --- 1035 = 6 + 82 + 947
32 --- 1035 = 6 + 87 + 942
33 --- 1035 = 7 + 42 + 986
34 --- 1035 = 7 + 46 + 982
35 --- 1035 = 7 + 82 + 946
36 --- 1035 = 7 + 86 + 942
37 --- 1053 = 2 + 64 + 987
38 --- 1053 = 2 + 67 + 984
39 --- 1053 = 2 + 84 + 967
40 --- 1053 = 2 + 87 + 964
41 --- 1053 = 4 + 62 + 987
42 --- 1053 = 4 + 67 + 982
43 --- 1053 = 4 + 82 + 967
44 --- 1053 = 4 + 87 + 962
45 --- 1053 = 7 + 62 + 984
46 --- 1053 = 7 + 64 + 982
47 --- 1053 = 7 + 82 + 964
48 --- 1053 = 7 + 84 + 962
49 --- 1062 = 3 + 74 + 985
50 --- 1062 = 3 + 75 + 984
51 --- 1062 = 3 + 84 + 975
52 --- 1062 = 3 + 85 + 974
53 --- 1062 = 4 + 73 + 985
54 --- 1062 = 4 + 75 + 983
55 --- 1062 = 4 + 83 + 975
56 --- 1062 = 4 + 85 + 973
57 --- 1062 = 5 + 73 + 984
58 --- 1062 = 5 + 74 + 983
59 --- 1062 = 5 + 83 + 974
60 --- 1062 = 5 + 84 + 973
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Un'addizione carina

Messaggio da panurgo » gio apr 18, 2019 4:22 pm

Gianfranco ha scritto:
gio apr 18, 2019 3:05 pm
[...] ne hai riportato solo 40, incollo qui l'output del programma con tutte le soluzioni.[...]
Succede quando posti durante la pausa pranzo :roll:

P.S.: posta il programma...
il panurgo

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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Bruno » ven apr 19, 2019 7:32 am

Capisco dover fare le cose negli scampoli di tempo, ma ieri ho approcciato questo problema in maniera totalmente orba... strepitoso :D
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Gianfranco » ven apr 19, 2019 8:18 am

Bruno ha scritto:
ven apr 19, 2019 7:32 am
Capisco dover fare le cose negli scampoli di tempo, ma ieri ho approcciato questo problema in maniera totalmente orba... strepitoso :D
No problem, anch'io ho poco tempo, perciò di fronte ai problemi combinatori, faccio esperimenti "orbi e sporchi" con il computer. Prima programmo, poi ragiono, forse.
Ma c'è anche un altro pensiero che mi viene quando osservo queste collezioni di problemi: sono tutti slegati fra loro, manca un filo conduttore.
Penso che per conoscere davvero la matematica bisogna seguire un percorso di ricerca personale. Come esplorare un territorio andando alla ricerca di avventure "dove ti porta il cuore". Non è necessario che la ricerca sia di "alto livello" ma è importante che uno possa dire: "Ecco, sto esplorando questo perché mi piace e sono arrivato qui".

PS Qui c'è la soluzione dell'addizione carina, data forse dall'autore del problema, Ken Duisenberg:
http://www.diophante.fr/images/stories/ ... A10402.pdf
Magari Ken Duisenberg ha trovato questo problema sul proprio sentiero matematico.
Pace e bene a tutti.
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da panurgo » ven apr 19, 2019 8:24 am

Ehi, non ho mai preteso di avere risolto il tutto con il ragionamento che vi ho fatto veedere: prima ho trovato le soluzioni con la forza bruta poi ho cercato un ragionamento che mi soddisfacesse.

Mannaggia! Il mio ragionamento posteriore (che contiene solo un po' di forza bruta, alla portata di carta e matita) avrebbe trovato tutte le soluzioni...

...ma quando avrei potuto trovare il tempo di dedicarmici? :cry:
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Bruno » ven apr 19, 2019 10:26 am

Gianfranco ha scritto:
ven apr 19, 2019 8:18 am
(...) Magari Ken Duisenberg ha trovato questo problema sul proprio sentiero matematico.

Ne sono persuaso, penso che certe cose non s'inventino su due piedi.

Bella la tua riflessione ;)
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da franco » sab apr 20, 2019 5:35 pm

Grazie per gli interessanti contributi :)
Io avevo trovato una soluzione andando abbastanza a naso e poi avevo notato che permutando unità e decine negli addendi si ottenevano ulteriori soluzioni valide.
E poi basta :D :D :D

Ho sempre pochissimo tempo per questi argomenti ma quando vedo il forum un po' fermo provo a cercare qualcosa di interessante sul sito francese che ha una bella produzione di problemi.
Magari poi non ci lavoro ma mi piace comunque poter leggere le vostre soluzioni.

Ciao
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Re: Un'addizione carina

Messaggio da Pasquale » ven mag 03, 2019 3:53 am

Fiuuuuuuu!
Se il testo del problema fosse stato:

scrivendo tre numeri interi e la loro somma algebrica (che ha 3 cifre), utilizzando una ed una sola volta ciascuna delle cifre da 0 a 9, ci sarebbe stata qualche soluzione?
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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