Trovare la misura della mediana

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Diego
Livello 2
Livello 2
Messaggi: 31
Iscritto il: sab mar 29, 2014 10:43 am

Trovare la misura della mediana

Messaggio da Diego » lun mar 07, 2016 6:22 pm

Ho un triangolo scaleno ABC,
il quadrato costruito sul lato AB misura 100 cm²
il quadrato costruito sul lato BC misura 81 cm²
il quadrato costruito sul lato AC misura 12,5 cm²

Sapendo che M è il punto medio di BC, quanto misura il segmento AM ?

gnugnu
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 121
Iscritto il: dom set 07, 2014 1:00 pm

Re: Trovare la misura della mediana

Messaggio da gnugnu » mer mar 09, 2016 4:24 pm

Conviene, credo, rimandare al massimo il calcolo numerico. Utilizzando l'altezza relativa al lato BC, si otttiene:
$\overline {AM}^2=\frac {2*(\overline{AB}^2+\overline{AC}^2)-\overline{BC}^2} 4$
da cui $\overline{AM}=6$
Ciao
B.

Diego
Livello 2
Livello 2
Messaggi: 31
Iscritto il: sab mar 29, 2014 10:43 am

Re: Trovare la misura della mediana

Messaggio da Diego » mer mar 09, 2016 9:13 pm

Ciao Gnugnu,

la risposta è corretta.
Come hai ricavato questa formula?
La sapresti dimostrare ?


Diego

Ivana
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 786
Iscritto il: dom nov 20, 2005 10:47 am
Contatta:

Re: Trovare la misura della mediana

Messaggio da Ivana » gio mar 10, 2016 10:34 am

Credo sia stato usato il teorema della mediana; qui trovi il teorema e la dimostrazione:
https://it.wikipedia.org/wiki/Mediana_%28geometria%29
Immagine
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)

gnugnu
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 121
Iscritto il: dom set 07, 2014 1:00 pm

Re: Trovare la misura della mediana

Messaggio da gnugnu » gio mar 10, 2016 4:40 pm

Diego ha scritto:Come hai ricavato questa formula?
Ho trovato la lunghezza della mediana utilizzando l'altezza relativa al lato BC ed il teorema di Pitagora. Nel corso dei calcoli mi sono accorto che alcuni valori numerici erano assonanti, questo mi ha indotto a riconsiderare il percorso servendomi del calcolo letterale, in effetti, vi sono diverse semplificazioni che rendono più semplice questa seconda strada.
Sia M il punto medio di BC ed H il piede dell'altezza da A; per non scrivere tanti segmenti poniamo $ AB=c; AC=b; BC=a; AM=m; AH=h; HM=x $.
Considerendo i due triangoli rettangoli AHB e AHC, possiamo esprimere il qudrato dell'altezza in due maniere diverse:
$ h^2=c^2-(\frac a2+x)^2=b^2-(x-\frac a2)^2 $
la seconda uguaglianza, sviluppando i quadrati dei binomi e semplificando i quadrati di $ \frac a2 $ ed $ x $, che si trovano in entrambi i membri, si riduce a $ x=\frac {c^2-b^2} {2a} $.
Ma anche AHM è rettangolo ed allora:
$ m^2=h^2+x^2=c^2-(\frac a2+x)^2+x^2=c^2-\frac {a^2} 4-ax=c^2-\frac{a^2} 4-\frac {c^2-b^2} 2 $,
da cui la formula riportata. Nota che non è stato necessario esplicitare il valore di $ h $.
Ciao
B.

karl
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 100
Iscritto il: gio mar 29, 2007 2:03 pm

Re: Trovare la misura della mediana

Messaggio da karl » gio mar 10, 2016 4:48 pm

Se si conosce il teorema di Carnot la formula si può dimostrare come segue.
Posto $A\hat MB=\delta$ [e quindi $A\hat MC=\pi-\delta$], per il suddetto
teorema applicato ai triangoli ABM e AMC, con ovvio significato dei simboli risulta:
$c^2=m_a^2+\frac{a^2}{4}-am_a\cos\delta$
$b^2=m_a^2+\frac{a^2}{4}+am_a\cos\delta$
Sommando membro a membro le due ultime relazioni si ha:
$b^2+c^2=2m_a^2+\frac{a^2}{2}$
da cui si ricava facilmente la formula richiesta:
$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$
In particolare se i triangolo è rettangolo in A si ha $b^2+c^2=a^2 $ e quindi la formula diventa :
$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2-a^2}==\frac{a}{2}$
che è un risultato ben noto.

Rispondi