Il numero intero $\, (n^{\small 6}+7 n^{\small 3}+1)^{\small 2} \,$ può essere scritto come somma di tre cubi
(sempre interi).

(Bruno)

a me viene un $5\cdot n^3+\(n^3+1\)^4$

divido per $n^3+1$

$5\cdot \frac{n^3+1-1}{n^3+1}+\(n^3+1\)^3$

che diventa

$5\cdot\(1-\frac1{n^3+1}\)+\(n^3+1\)^3$

mi manca un cubo all'appello (che debba modificare la frazione???)

Dunque,
espandiamo il quadrato:

$(n^6+7n^3+1)^2=n^{12}+49n^6+1+14n^9+14n^3+2n^6=n^{12}+51n^6+1+14n^9+14n^3$

Scomponiamo i termini:

$51n^6$ in $27n^6+12n^6+12n^6$
$14n^9$ in $8n^9+6n^9$
$14n^3$ in $8n^3+6n^3$

si ottiene:

$(n^6+7n^3+1)^2=n^{12}+27n^6+12n^6+12n^6+1+8n^9+6n^9+8n^3+6n^3$

possiamo raggruppare i termini nel seguente modo:

$(n^6+7n^3+1)^2=(27n^6)+(8n^9+12n^6+6n^3+1)+(n^{12}+6n^9+12n^6+8n^3)$

il primo termine così formato è chiaramente un cubo;
gli altri due corrispondono esattamente agli sviluppi di due cubi di binomio;
ossia:

$(n^6+7n^3+1)^2=(3n^2)^3+(2n^3+1)^3+(n^4+2n)^3$

C.V.D.
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