Tre Arcieri! Tre Freccie? Una Freccia?

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panurgo
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Tre Arcieri! Tre Freccie? Una Freccia?

Messaggio da panurgo »

Estraggo dalla miniera (filiera :D) questo interessante esercizio di probabilità condizionata
Ivana ha scritto:Segnalo l’iperproblema dei tre arcieri di Giorgio Pietrocola (un lavoro immenso che mi ha aiutata ad approfondire determinati argomenti, pur nella consapevolezza di avere sempre ancora molto da imparare…):

http://www.maecla.it/matematica/iperproblema/index.htm


“Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri.”
“Poiché i tre arcieri sono a distanza diversa dal bersaglio, si stima in $3/5$ la probabilità dell’arciere $\text{A}$ di colpire il bersaglio, in $1/2$ quella dell’arciere $\text{B}$ e in $4/5$ quella dell’arciere $\text{C}$.”
“Se una freccia colpisce il bersaglio, qual è la probabilità che sia dell’arciere $\text{A}$?”

Questo testo, per chiunque non sia come noi affetto dalla sindrome del mese con meno di trenta giorni, significa:

1.vi sono tre arcieri, $\text{A}$, $\text{B}$ e $\text{C}$, ognuno dei quali tira una e una sola freccia contro un bersaglio;
2.le probabilità che la freccia di ciascun arciere colpisca il bersaglio sono rispettivamente $3/5$, $1/2$ e $4/5$;
3.una e una sola freccia colpisce il bersaglio.

Date queste tre informazioni qual è la probabilità che sia la freccia dell’arciere $\text{A}$?

Con questa interpretazione, se volete un po’ naif, possiamo formalizzare il tutto considerando le proposizioni

$\begin{array}{lC}
\displaystyle A\,\equiv\,\text{“La freccia dell’arciere A colpisce il bersaglio”} \\
\displaystyle B\,\equiv\,\text{“La freccia dell’arciere B colpisce il bersaglio”} \\
\displaystyle C\,\equiv\,\text{“La freccia dell’arciere C colpisce il bersaglio”}
\end{array}$

alle quali sono assegnate le probabilità

$\displaystyle p\left(A\,\middle|\, I\right)\,=\,\frac35 \quad p\left(B\,\middle|\, I\right)\,=\,\frac12 \quad p\left(C\,\middle|\, I\right)\,=\,\frac45$

In più, dato che la disgiunzione di una proposizione e della sua negazione è il truismo, $X\lor\overline{X}\,=\,\top$, mentre la loro congiunzione è l’assurdità, $X\land\overline{X}\,=\,\perp$, possiamo scrivere

$\displaystyle p\left(X\lor\overline{X}\,\middle|\, I\right)\,=\,p\left(X\,\middle|\, I\right)\,+\,p\left(\overline{X}\,\middle|\, I\right)\,=\,1$

per cui

$\displaystyle p\left(\overline{A}\,\middle|\, I\right)\,=\,\frac25\quad p\left(\overline{B}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac12\quad p\left(\overline{C}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac15$

Abbiamo ora tutto ciò che ci occorre per descrivere i possibili esiti dei tiri

$\begin{array}{lC}\hline
A\land B\land C &
p\left(A\land B\land C\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac35\times\frac12\times\frac45\,=\,\frac{12}{50} &
p\left(3\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{12}{50} \\
\hline
\begin{array}{lC}
A\land B\land\overline{C} \\
A\land\overline{B}\land C \\
\overline{A}\land B\land C
\end{array} & \begin{array}{lC}
p\left(A\land B\land\overline{C}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac35\times\frac12\times\frac15\,=\,\frac{3}{50} \\
p\left(A\land\overline{B}\land C\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac35\times\frac12\times\frac45\,=\,\frac{12}{50} \\
p\left(\overline{A}\land B\land C\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac25\times\frac12\times\frac45\,=\,\frac{8}{50}
\end{array} &
p\left(2\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{23}{50} \\
\hline
\begin{array}{lC}
A\land\overline{B}\land\overline{C} \\
\overline{A}\land B\land\overline{C} \\
\overline{A}\land\overline{B}\land C
\end{array} & \begin{array}{lC}
p\left(A\land\overline{B}\land\overline{C}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac35\times\frac12\times\frac15\,=\,\frac{3}{50} \\
p\left(\overline{A}\land B\land\overline{C}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac25\times\frac12\times\frac15\,=\,\frac{2}{50} \\
p\left(\overline{A}\land\overline{B}\land C\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac25\times\frac12\times\frac45\,=\,\frac{4}{50}
\end{array} &
p\left(1\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{13}{50} \\
\hline
\overline{A}\land\overline{B}\land\overline{C} &
p\left(\overline{A}\land\overline{B}\land\overline{C}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac25\times\frac12\times\frac15\,=\,\frac{2}{50} &
p\left(0\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{2}{50} \\
\hline
\end{array}$

Nell’ultima colonna vi sono le probabilità delle proposizioni

$\begin{array}{lC}
\displaystyle 0 \equiv \text{“zero frecce colpiscono il bersaglio”} \\
\displaystyle 1 \equiv \text{“una freccia colpisce il bersaglio”} \\
\displaystyle 2 \equiv \text{“due frecce colpiscono il bersaglio”} \\
\displaystyle 3 \equiv \text{“tre frecce colpiscono il bersaglio”}
\end{array}$

Siamo interessati alla probabilità che la freccia dell’arciere $\text{A}$ raggiunga il bersaglio se una e una sola freccia lo fa

$\displaystyle p\left(A\,\middle|\,1\land I\right)\,=\,\frac{p\left(A\land 1\,\middle|\,I\right)}{p\left(1\,\middle|\,I\right)}$

ma $A\land 1\,=\,A\land\overline{B}\land\overline{C}$ per cui $p\left(A\land 1\,\middle|\,I\right)\,=\,p\left(A\land\overline{B}\land\overline{C}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{3}{50}$ e quindi

$\displaystyle p\left(A\,\middle|\,1\land I\right)\,=\,\frac{\frac{3}{50}}{\frac{13}{50}}\,=\,\frac{3}{13}$

Discutiamo adesso le altre possibili interpretazioni del testo originale, cominciando dalla seconda frase.

“Poiché i tre arcieri sono a distanza diversa dal bersaglio, si stima in $3/5$ la probabilità dell’arciere $\text{A}$ di colpire il bersaglio, in $1/2$ quella dell’arciere $\text{B}$ e in $4/5$ quella dell’arciere $\text{C}$.”

Le probabilità sono assegnate in funzione della sola distanza dal bersaglio: non vengono presi in considerazione eventuali effetti psicologici, diverse abilità dei tre arcieri, l’ordine in cui vengono tirate le frecce ecc. In realtà non viene neanche detto se gli arcieri tirano in presenza degli altri o nello stesso giorno.
Tutte queste informazioni (e le altre) che non abbiamo sono indifferenti nell’assegnazione delle tre probabilità: in particolare, non possiamo fare assunzioni che portino ad una descrizione più accurata della situazione. Qualsiasi ipotesi che facciamo deve prevedere tutte le possibilità.
Per questi motivi le probabilità sono indipendenti: sono una funzione della sola distanza del bersaglio e ogni arciere è ad una distanza data.

Come si vede non sono possibili altre interpretazioni: formalizziamo il tutto considerando le tre proposizioni

$\begin{array}{lC}
\displaystyle a\,\equiv\,\text{“l’arciere A dista }a\text{ dal bersaglio”} \\
\displaystyle b\,\equiv\,\text{“l’arciere B dista }b\text{ dal bersaglio”} \\
\displaystyle c\,\equiv\,\text{“l’arciere C dista }c\text{ dal bersaglio”}
\end{array}$

e le probabilità

$\begin{array}{lC}
\displaystyle p\left(A\,\middle|\,a\land I\right)\,=\,p\left(A\,\middle|\,a\land b\land c\land I\right)\,=\,f\left(a\right)\,=\,\frac35 \\
\displaystyle p\left(B\,\middle|\,b\land I\right)\,=\,p\left(A\,\middle|\,a\land b\land c\land I\right)\,=\,f\left(b\right)\,=\,\frac12 \\
\displaystyle p\left(C\,\middle|\,c\land I\right)\,=\,p\left(A\,\middle|\,a\land b\land c\land I\right)\,=\,f\left(c\right)\,=\,\frac45
\end{array}$

Naturalmente la proposizione $\,a\land b\land c$ fa già parte della definizione del problema $I$: formalmente, $\,a\land b\land c\land I\,=\,I$.

Passiamo alla terza frase: coloro i quali arguiscono che Luglio ha meno di trenta giorni possono, con lo stesso meccanismo, interpretare la frase “se una freccia colpisce il bersaglio” come “se almeno una freccia colpisce il bersaglio”: infatti, se una freccia colpisce il bersaglio ciò non impedisce alle altre di farlo.
Qui sorge un altro dubbio: dobbiamo considerare una freccia, quella identificata dal testo del problema. Ma quale?
Se la freccia che colpisce il bersaglio è una e una sola, quella: ma se sono più di una?
Ovviamente deve essere impossibile distinguere la freccia dell’arciere $\text{A}$ dalle altre altrimenti il problema non si pone: se la freccia di $\text{A}$ colpisce il bersaglio dobbiamo assegnare la probabilità che sia la freccia identificata dal testo del problema in base al principio di indifferenza (in quanto le frecce sono indistinguibili).
Per capirsi se, per esempio, due frecce raggiungono il bersaglio e una è la freccia di $A$ allora la probabilità che tale freccia sia quella identificata è data dalla frazione

$\displaystyle \frac{\text{numero delle frecce di A che colpiscono il bersaglio}}{\text{numero totale di frecce che colpiscono il bersaglio}}\,=\,\frac12$

Consideriamo ora la proposizione

$\displaystyle A^{\small *}\,\equiv\,\text{“la freccia dell’arciere A è quella identificata dal testo del problema”}$

che implica $A$ perché $\text{“la freccia [...] identificata dal testo del problema”}$ $\text{“[...] colpisce il bersaglio”}$: avremo

$\begin{array}{lC}
\displaystyle p\left(A^{\small *}\land 1\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac11\,p\left(A\land 1\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{3}{50} \\
\displaystyle p\left(A^{\small *}\land 2\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac12\,p\left(A\land 2\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{15}{100} \\
\displaystyle p\left(A^{\small *}\land 3\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac13\,p\left(A\land 3\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{4}{50} \\
\end{array}$

per il principio di indifferenza e perché

$\begin{array}{lC}
\displaystyle p\left(A\land 1\,\middle|\,I\right)\,=\,p\left(A\land\overline{B}\land\overline{C}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{3}{50} \\
\displaystyle p\left(A\land 2\,\middle|\,I\right)\,=\,p\left(A\land B\land\overline{C}\,\middle|\,I\right)\,+\,p\left(A\land\overline{B}\land C\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{15}{50} \\
\displaystyle p\left(A\land 3\,\middle|\,I\right)\,=\,p\left(A\land B\land C\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{12}{50} \\
\end{array}$

La congiunzione di $A^{\small *}$ con la proposizione

$\displaystyle \overline{0}\,\equiv\,\text{“almeno una freccia colpisce il bersaglio”}$

è $A^{\small *}\land\overline{0}\,=\,A^{\small *}\land\left(1\lor 2\lor 3\right)\,=\,\left(A^{\small *}\land 1\right)\lor\left(A^{\small *}\land 3\right)\lor\left(A^{\small *}\land 3\right)$ con probabilità

$p\left(A^{\small *}\land\overline{0}\,\middle|\,I\right)\,=\,p\left(A^{\small *}\land 1\,\middle|\,I\right)\,+\,p\left(A^{\small *}\land 2\,\middle|\,I\right)\,+\,p\left(A^{\small *}\land 3\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac{29}{100}$

Dato che $p\left(\overline{0}\,\middle|\,I\right)\,=\,1\,-\,p\left(0\,\middle|\,I\right)$ la probabilità che cerchiamo è

$\displaystyle p\left(A^{\small *}\,\middle|\,\overline{0}\land I\right)\,=\,\frac{p\left(A^{\small *}\land\overline{0}\,\middle|\,I\right)}{p\left(\overline{0}\,\middle|\,I\right)}\,=\,\frac{\frac{29}{100}}{1-\frac{2}{50}}\,=\,\frac{29}{96}$

Ma non è finita: Luglio ha meno di trenta giorni per cui $\text{“tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri”}$ può voler dire che abbiamo a che fare con nove frecce!

Ci ricordiamo che la probabilità che la freccia di un arciere colpisca il bersaglio dipende solo dalla distanza di quest’ultimo (assumiamo che non cambi): il ragionamento che abbiamo fatto con tre tiri di tre arcieri diversi vale anche per tre tiri dello stesso arciere e possiamo scrivere una tabella analoga a quella utilizzata nell’interpretazione naif. La scriveremo per i tre tiri dell’arciere $\text{A}$ ma varrà, mutatis mutandis, anche per gli altri due.

$\begin{array}{lC}\hline
A\left(1\right)\land A\left(2\right)\land A\left(3\right) &
p\left(A\left(1\right)\land A\left(2\right)\land A\left(3\right)\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac35\times\frac35\times\frac35 &
p\left(A_{\small 3}\,\middle|\,I\right)\,=\,{3 \choose 3}\,\left(\frac35\right)^{\small 3}\,\left(\frac25\right)^{\small 0} \\
\hline
\begin{array}{lC}
A\left(1\right)\land A\left(2\right)\land\overline{A\left(3\right)} \\
A\left(1\right)\land\overline{A\left(2\right)}\land A\left(3\right) \\
\overline{A\left(1\right)}\land A\left(2\right)\land A\left(3\right)
\end{array} & \begin{array}{lC}
p\left(A\left(1\right)\land A\left(2\right)\land\overline{A\left(3\right)}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac35\times\frac35\times\frac25 \\
p\left(A\left(1\right)\land\overline{A\left(2\right)}\land A\left(3\right)\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac35\times\frac25\times\frac35 \\
p\left(\overline{A\left(1\right)}\land A\left(2\right)\land A\left(3\right)\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac25\times\frac35\times\frac35
\end{array} &
p\left(A_{\small 2}\,\middle|\,I\right)\,=\,{3 \choose 2}\,\left(\frac35\right)^{\small 2}\,\left(\frac25\right)^{\small 1} \\
\hline
\begin{array}{lC}
A\left(1\right)\land\overline{A\left(2\right)}\land\overline{A\left(3\right)} \\
\overline{A\left(1\right)}\land A\left(2\right)\land\overline{A\left(3\right)} \\
\overline{A\left(1\right)}\land\overline{A\left(2\right)}\land A\left(3\right)
\end{array} & \begin{array}{lC}
p\left(A\left(1\right)\land\overline{A\left(2\right)}\land\overline{A\left(3\right)}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac35\times\frac25\times\frac25 \\
p\left(\overline{A\left(1\right)}\land A\left(2\right)\land\overline{A\left(3\right)}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac25\times\frac35\times\frac25 \\
p\left(\overline{A\left(1\right)}\land\overline{A\left(2\right)}\land A\left(3\right)\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac25\times\frac25\times\frac35
\end{array} &
p\left(A_{\small 1}\,\middle|\,I\right)\,=\,{3 \choose 1}\,\left(\frac35\right)^{\small 1}\,\left(\frac25\right)^{\small 2} \\
\hline
\overline{A\left(1\right)}\land\overline{A\left(2\right)}\land\overline{A\left(3\right)} &
p\left(\overline{A\left(1\right)}\land\overline{A\left(2\right)}\land\overline{A\left(3\right)}\,\middle|\,I\right)\,=\,\frac25\times\frac25\times\frac25 &
p\left(A_{\small 0}\,\middle|\,I\right)\,=\,{3 \choose 0}\,\left(\frac35\right)^{\small 0}\,\left(\frac25\right)^{\small 3} \\
\hline
\end{array}$

Avremo cioè la distribuzione binomiale

$\displaystyle p\left(A_{\small i}\,\middle|\,I\right)\,=\,{3 \choose i}\,\left(\frac35\right)^{\small i}\,\left(\frac25\right)^{\small 3-i}\quad\to\quad\frac{1}{125}\left\{8,36,54,27\right\}$

e, mutatis mutandis, per gli altri

$\begin{array}{lC}
\displaystyle p\left(B_{\small j}\,\middle|\,I\right)\,=\,{3 \choose j}\,\left(\frac12\right)^{\small 3}\quad\to\quad\frac{1}{8}\left\{1,3,3,1\right\} \\
\displaystyle p\left(C_{\small k}\,\middle|\,I\right)\,=\,{3 \choose k}\,\left(\frac45\right)^{\small k}\,\left(\frac15\right)^{\small 3-k}\quad\to\quad\frac{1}{125}\left\{1,12,48,64\right\}
\end{array}$

Ci sono $64$ esiti possibili, rappresentati dalle proposizioni $A_{\small i}\land B_{\small j}\land C_{\small k}$: se una e una sola freccia colpisce il bersaglio le cose si semplificano, gli esiti si riducono a tre, $A_{\small 1}\land B_{\small 0}\land C_{\small 0}$, $A_{\small 0}\land B_{\small 1}\land C_{\small 0}$ e $A_{\small 0}\land B_{\small 0}\land C_{\small 1}$, e la probabilità che la freccia sia dell’arciere $\text{A}$ è

$\displaystyle p\left(A\,\middle|\,1\land I\right)\,=\,\frac{\frac{36}{125}\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{125}}{\frac{36}{125}\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{125}\,+\,\frac{8}{125}\times\frac{3}{8}\times\frac{1}{125}\,+\,\frac{8}{125}\times\frac{1}{8}\times\frac{12}{125}}\,=\,\frac{3}{13}$

il che suona giusto!

Ma dobbiamo trattare il caso più complicato perché Luglio ha meno di trenta giorni: sappiamo che almeno una freccia ha colpito il bersaglio e quindi $i\,+\,j\,+\,k\,>\,0$ e che la probabilità che la freccia identificata dal testo del problema sia dell’arciere $\text{A}$ è pari a $\frac{i}{i+j+k}$ (per il principio di indifferenza).

Vi (mi) risparmio una tabella da $64$ righe: la probabilità cercata è

$\displaystyle p\left(A^{\small *}\,\middle|\,\overline{0}\land I\right)\,=\,\frac{\sum_{\small i+j+k>0}{\frac{i}{i+j+k}\,p\left(A_{\small i}\,\middle|\,I\right)\cdot p\left(B_{\small j}\,\middle|\,I\right)\cdot p\left(C_{\small k}\,\middle|\,I\right)}}{1-p\left(A_{\small 0}\,\middle|\,I\right)\cdot p\left(B_{\small 0}\,\middle|\,I\right)\cdot p\left(C_{\small 0}\,\middle|\,I\right)}\,=\,\frac{121259}{388864}\,=\,0,3118\ldots$

:wink:

P.S.: dalla stessa tabella è facile calcolare $p\left(B^{\small *}\,\middle|\,\overline{0}\land I\right)\,=\,\frac{99209}{388864}\,=\,0,2551\ldots$ e $p\left(C^{\small *}\,\middle|\,\overline{0}\land I\right)\,=\,\frac{168396}{388864}\,=\,0,4330\ldots$
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Ivana
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Re: Tre Arcieri! Tre Freccie? Una Freccia?

Messaggio da Ivana »

Grazie, Guido, conosco la tua “passione” e la tua "esperienza" in “ambito probabilistico” per cui il tuo intervento mi è stato decisamente gradito.
Personalmente (non mi stanco di ribadirlo) condivido anch’io l’ipotesi 3 dell’ipertesto (ipotesi naïf? “canonica”?), ma credo abbia fatto benissimo il prof. Giorgio Pietrocola a non voler sottovalutare la questione interpretativa.
Il testo dice esattamente: "Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri".
Non c’è scritto “nove frecce”, ma, come afferma Giorgio stesso, “rimane il fatto incontestabile che un testo scritto in linguaggio non matematico, spesso, NON precisa ed è quindi, inevitabilmente, variamente interpretabile. E' questa una questione soggettiva e non oggettiva come il fatto che, secondo le nostre ben collaudate convenzioni, (ALMENO ATTUALMENTE perché “di doman non c'è certezza”!) luglio ha 31 giorni.”
Credo anch’io che ogni interpretazione (se opportunamente e chiaramente esplicitata) sia accettabile…

Aggiungo che anche per lo stesso De Finetti l’ostacolo fondamentale è la difficoltà di sfuggire alla “tirannia del linguaggio comune”, alla sua “vischiosità”, ai suoi “trabocchetti”, alla sua mancanza di rigorosità… Si usa dire ancora “Il sole sorge” e (almeno dal punto di vista logico e rigoroso!) si potrebbe pensare che coloro che usano tale espressione siano anacronistici fautori del sistema tolemaico…
Insomma, se il linguaggio non precisa in modo inequivocabile, credo che ogni sensata interpretazione sia lecita…
Sottolineo di aver usato il tempo presente, riguardo alle parole di De Finetti, perché lo ritengo "vivo" e "attuale"...nei suoi libri!!! :)
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"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)

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