Travasi elementari

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David
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Travasi elementari

Messaggio da David » lun dic 27, 2010 3:41 pm

Se da un recipiente parallelepipedo, colmo d'acqua, che ha base quadrata dal lato di 2 dm e dall'altezza di 1 dm
si travasa il liquido riempendo 3 contenitori cubici uguali con spigolo di 1
dm, nel primo raccoglitore si avrà una giacenza di 1 litro esatto (1dm cubo =1 litro d'acqua).

Immaginiamo adesso di ridurre, non più del 25%, lo spigolo di base del parallelepipedo (mantenendo inalterata l'altezza di 1 dm) fino ad ottenere una misura esatta A (ossia un valore razionale).

Idealmente rimpiccioliamo anche , non più del 25%, lo spigolo dei 3 cubi fino ad avere per essi un nuovo valore esatto B (razionale pure esso)

In virtù di questo trasformazione abbiamo 4 nuovi contenitori, un parallelepipedo a base quadrata col lato che misura un valore A compreso fra 3/2 e 2 dm e 3 cubi uguali dallo spigolo di misura B compresa fra 3/4 e 1 dm.

Ora con i nuovi recipienti ripetiamo l'operazione, dal primo pieno d'acqua versiamo il contenuto nei 3 cubi, riempendoli, lasciando 1 litro esatto nel contenitore grande.

Indicare 2 valori A e B (razionali) che permettano la riuscita della prova.

Buon 2011 a tutti!

Pasquale
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Re: Travasi elementari

Messaggio da Pasquale » mar dic 28, 2010 4:16 am

Sei sicuro che nella riduzione dei tre cubi non si debba ridurre solo le basi, lasciando l'altezza a 1, come per il parallelepipedo?

In tale caso, fra gli altri, potremmo assumere:

A = \frac{1647}{999}

B = \frac{756}{999}
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David
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Re: Travasi elementari

Messaggio da David » mar dic 28, 2010 8:03 pm

L'enunciato non ci da scampo, i cubi devono rimanere cubi, con uno spigolo minore dei precedenti

Bye

Pasquale
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Re: Travasi elementari

Messaggio da Pasquale » mer dic 29, 2010 1:18 am

In questo caso, mi riesce di trovare solo un valore approssimato alla 39a cifra decimale, che risponda alla relazione:

A^2 - 3B^3 = 1


Con i valori:

A = \frac {17010455725987638083468141211738640033633}{10^{40}-10^4}

B = \frac {85779919823431376956}{10^{20}-10}

A^2 - 3B^3 = 1.0000000000000000000000000000000000000002...............


Nel caso precedente, il risultato rispondeva alla relazione:

A^2 - 3B^2 = 1

ed era preciso.
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David
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Re: Travasi elementari

Messaggio da David » mer dic 29, 2010 3:46 pm

E' così Pasquale bisogna trovare 2 numeri razionali A e B compresi rispettivamente fra 3/2 e 2 (per A) e fra 3/4 e 1 (per B) tali che:

A^2-3B^3=1

Purtroppo non sono ammesse soluzioni approssimate seppur ottime come quelle da te scovate.

Ciao

Pasquale
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Re: Travasi elementari

Messaggio da Pasquale » mer dic 29, 2010 7:26 pm

Va bene, mi sono divertito a trovare qualche approssimazione razionale, partendo da una irrazionale e questa è l'ultima, alla 64^ cifra decimale:

a = \frac{171492581482319520187779669739269944324683020073021242178269878 }{(10^{62}-10^{12})}

b=0,8649

a^2-3b^3 = 1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003

Quello che viene richiesto è fuori dalla mia portata; con i poveri mezzi a mia disposizione di algebra elementare, sembrerebbe che non vi sia possibilità di ottenere un quadrato perfetto di cui estrarre la radice, nell'intervallo di valori richiesti.
Probabilmente occorrono strumenti di calcolo infinitesimale, convergenze, o qualche altra diavoleria.
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Re: Travasi elementari

Messaggio da David » gio dic 30, 2010 9:53 pm

L'importante, come hai fatto tu è divertirsi nel trovare spunti interessanti su cui riflettere, la risposta esatta prima o poi arriverà,del resto il "conteggio" dei punti razionali su una curva ellittica è una questiona da.....
un 1000000 di dollari...

Ancora Buon Anno a tutti

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