L'avvento dei calcolatori elettronici ha semplificato...(si fa per dire) la vita all'uomo.
In matematica poi l'aiuto che se ne può trarre è notevole ... non sto ad elencarvi tutti i vantaggi che sono venuti in essere.
Non sempre però il calcolatore può servire a risolvere problemi , o meglio , i tempi di risposta ( per quanto un computer possa essere veloce) sarebbero talmente elevati da risultare inacettabili.
Ho letto da qualche parte (non chiedetemi dove perchè non me lo ricordo)
che se un computer dovesse accendere in sequenza 400 lampadine la prima con frequenza di 1 migliardesimo di secodo , la seconda con 2 migliardesimi di secondo , la terza con 4... e via di seguito sempre raddoppiando i tempi ...per accendere la 400esima lampadina non sarebbe sufficente il tempo trascorso dall'inizio dell'universo ad ora !!! ( non ho verificato ma mi sempbra verosimile).
Un problema emblematico di quanto ho esposto sopra è il seguente .
Quale tra i seguenti numeri è il maggiore
2001! oppure 1001^2001?
Per quanto i vostri PC possano essere potenti non conviene affrontare il problema in modo diretto calcolandone i valori .
SE questi non sono grandi numeri li possiamo comunque definire numeri grandi
CIAO
Grandi Numeri e numeri grandi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Direi che il maggiore è 1001^2001 ma ho solo una dimostrazione sperimentale.Quale tra i seguenti numeri è il maggiore
2001! oppure 1001^2001?
I due numeri che hai indicato possono essere scritti, genericamente, rispettivamente n! e ((n+1)/2)^n.
Se comincio a calcolare i termini delle due successioni, partendo da numeretti molto più facili da maneggiare, si nota immediatamente che a parità di n il termine della seconda successione è sempre maggiore di quello corrispondente della prima e che la differenza tende a crescere.
Probabilmente non è molto rigoroso, ma a me è sembrato sufficiente.
ciao
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
2001! = 6,63586·10^5738
1001^2001 = 7,38905·10^6003
Il secondo vince di misura (sono solo 265 ordini di grandezza
)
Incredibile cosa fanno i computer al giorno d'oggi (tempo di calcolo... troppo breve per misurarlo
)
Ci aggiungo anche:
2^400 = 2.58·10^120 (età stimata dell'universo: 4.32·10^26 miliardesimi di secondo)
Tempo per accendere l'ultima lampadina: 8.18·10^92 miliardi di anni
Lampadine accese fino a oggi: 88
Tempo di attesa per la prossima lampadina: 3.88 miliardi di anni (più o meno l'età della Terra, nonché la vita residua del nostro Sole, non credo che vedremo mai accendersi la 89a lampadina)
[Ho considerato che il computer accende la prima lampadina dopo 1 ns, poi aspetta 2 ns per la seconda, poi altri 4 ns per la terza e così via, se invece accende la prima lampadina dopo il primo ns, la seconda dopo il secondo e la terza dopo il quarto... allora bisogna correggere i calcoli di un fattore 2]
Calcoli a parte possiamo subito dire che
1001^2001 > 10^6003
Sappiamo che per n grande possiamo utilizzare l'apparossimazione di Stirling
$n!=\sqrt{2\pi n}\large{(\frac{n}{e})}^{\normal n}$
Valuntando che $\sqrt{2\pi 2001} < 1000$ e $\large{(\frac{n}{e})}\normal < 800$
2001! < 10^3 (800^2001) < 10^3 (8^(2002)·10^4004)
Calcolando che 8^11 < 10^10 abbiamo
2001! < 10^4007 (8^(11·182)) < 10^4007 (10^(10*182))
2001! < 10^5827
SE&O
[Quelo]
1001^2001 = 7,38905·10^6003
Il secondo vince di misura (sono solo 265 ordini di grandezza
)Incredibile cosa fanno i computer al giorno d'oggi (tempo di calcolo... troppo breve per misurarlo
)Ci aggiungo anche:
2^400 = 2.58·10^120 (età stimata dell'universo: 4.32·10^26 miliardesimi di secondo)
Tempo per accendere l'ultima lampadina: 8.18·10^92 miliardi di anni
Lampadine accese fino a oggi: 88
Tempo di attesa per la prossima lampadina: 3.88 miliardi di anni (più o meno l'età della Terra, nonché la vita residua del nostro Sole, non credo che vedremo mai accendersi la 89a lampadina)
[Ho considerato che il computer accende la prima lampadina dopo 1 ns, poi aspetta 2 ns per la seconda, poi altri 4 ns per la terza e così via, se invece accende la prima lampadina dopo il primo ns, la seconda dopo il secondo e la terza dopo il quarto... allora bisogna correggere i calcoli di un fattore 2]
Calcoli a parte possiamo subito dire che
1001^2001 > 10^6003
Sappiamo che per n grande possiamo utilizzare l'apparossimazione di Stirling
$n!=\sqrt{2\pi n}\large{(\frac{n}{e})}^{\normal n}$
Valuntando che $\sqrt{2\pi 2001} < 1000$ e $\large{(\frac{n}{e})}\normal < 800$
2001! < 10^3 (800^2001) < 10^3 (8^(2002)·10^4004)
Calcolando che 8^11 < 10^10 abbiamo
2001! < 10^4007 (8^(11·182)) < 10^4007 (10^(10*182))
2001! < 10^5827
SE&O
[Quelo]
Ultima modifica di Quelo il dom gen 20, 2008 10:01 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio] / $17$
Complimenti a Bruno ...(ma anche a tutti gli altri) in effetti quella è la soluzione che ho trovato anch'io a quel problema.
Quelo mi ha stupito per la sua precisione e perizia nel dare una risposta al discorso delle lampadine.
Infine per Bruno ... il quesito della clessidra è una libera interpretazione ( meglio riproposizione ) di un altro problema che mi sono permesso di variare e , spero , di abellire.
In effetti il testo originale parlava di un cono in cui era stato posto un fluido che raggiungeva una certa altezza quidi si segna il livello raggiunto; capovolgendo il cono il fluido raggiunge ancora lo stesso segno , bisogna trovare a che altezza è stato fatto il segno... posto in questi termini mi sa di (noioso) problema scolastico... non pensavo potesse avere tutte quelle implicazioni.
CIAO a tutti e alla prossima.
Quelo mi ha stupito per la sua precisione e perizia nel dare una risposta al discorso delle lampadine.
Infine per Bruno ... il quesito della clessidra è una libera interpretazione ( meglio riproposizione ) di un altro problema che mi sono permesso di variare e , spero , di abellire.
In effetti il testo originale parlava di un cono in cui era stato posto un fluido che raggiungeva una certa altezza quidi si segna il livello raggiunto; capovolgendo il cono il fluido raggiunge ancora lo stesso segno , bisogna trovare a che altezza è stato fatto il segno... posto in questi termini mi sa di (noioso) problema scolastico... non pensavo potesse avere tutte quelle implicazioni.
CIAO a tutti e alla prossima.
-
Giorgio Dendi
- Nuovo utente
- Messaggi: 6
- Iscritto il: dom dic 30, 2007 9:00 pm
- Località: Trieste
- Contatta:
Re: Grandi Numeri e numeri grandi
Un problema emblematico di quanto ho esposto sopra è il seguente .
Quale tra i seguenti numeri è il maggiore
2001! oppure 1001^2001?
Ciao
Io risponderei tenendo presenteil teorema che mi assicura che tra tutti i rettangoli di uguale perimetro, quello di area maggiore è il quadrato.
Noto anche che 2001! e 1001^2001 hanno lo stesso numero di fattori.
Allora scrivo 2001! = (1x2001) x (2x2000) x (3x1999)...
Tutti questi rettangoli dei quali calcolo l'area (1x2001, 2x2000, 3x1999...), hanno perimetro 4004 e hanno tutti area minore del quadrato con lo stesso perimetro, cioè 1001x1001. Quindi 2001! < 1001^2001.
Ciao
Quale tra i seguenti numeri è il maggiore
2001! oppure 1001^2001?
Ciao
Io risponderei tenendo presenteil teorema che mi assicura che tra tutti i rettangoli di uguale perimetro, quello di area maggiore è il quadrato.
Noto anche che 2001! e 1001^2001 hanno lo stesso numero di fattori.
Allora scrivo 2001! = (1x2001) x (2x2000) x (3x1999)...
Tutti questi rettangoli dei quali calcolo l'area (1x2001, 2x2000, 3x1999...), hanno perimetro 4004 e hanno tutti area minore del quadrato con lo stesso perimetro, cioè 1001x1001. Quindi 2001! < 1001^2001.
Ciao
Originale!
Mi sembra però che, essendo 2001 dispari, tale procedimento non sia ancora del tutto completo (rimane fuori qualcosa sia nel fattoriale sia nella potenza).
Mi sbaglio?
Saluti a tutti (e nello specifico a "ille Georgius Dendi")
Zerinf
Mi sembra però che, essendo 2001 dispari, tale procedimento non sia ancora del tutto completo (rimane fuori qualcosa sia nel fattoriale sia nella potenza).
Mi sbaglio?
Saluti a tutti (e nello specifico a "ille Georgius Dendi")
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-
Giorgio Dendi
- Nuovo utente
- Messaggi: 6
- Iscritto il: dom dic 30, 2007 9:00 pm
- Località: Trieste
- Contatta:
Mi sembra però che, essendo 2001 dispari, tale procedimento non sia ancora del tutto completo (rimane fuori qualcosa sia nel fattoriale sia nella potenza).
Ciao.
Le coppie si formano tra 1 e 2001, 2 e 2000, 3 e 1999... numeri che sommati danno 2002. Al centro quindi ho 999 e 1003, 1000 e 1002. Il 1001 mi resta solo soletto. Tutte sono minori di 1001^2. Invece il solo 1001 è uguale a 1001. Ci vorrebbero carta e penna, ma spero di essermi spiegato.
E di non aver sbagliato i conti dei fattori.
Ciao ciao.
Ciao.
Le coppie si formano tra 1 e 2001, 2 e 2000, 3 e 1999... numeri che sommati danno 2002. Al centro quindi ho 999 e 1003, 1000 e 1002. Il 1001 mi resta solo soletto. Tutte sono minori di 1001^2. Invece il solo 1001 è uguale a 1001. Ci vorrebbero carta e penna, ma spero di essermi spiegato.
E di non aver sbagliato i conti dei fattori.
Ciao ciao.