Siano date la cuva chiusa convessa $C$, la corda variabile $AB$ di lunghezza costante $a+b$ e il punto $M$ su tale corda tale che $AM=a$ e $BM=b$.
Quanto misura la superficie racchiusa dalla curva descritta da $M$ allo scorrere della corda $AB$ su $C$?
www.diophante.fr
D20499
(ripreso da "La Jaune et la Rouge" - Novembre 2019
Edit:
Riporto anche il testo originale perchè qualcosa non mi convince ...
On considère une courbe fermée convexe C, une corde variable AB de longueur constante a+b, et le point M de cette corde tel que AM=a, MB=b.
Quelle est l'aire intérieure à la courbe lieu de M ?
Questione di superficie
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Questione di superficie
Franco
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Re: Questione di superficie
Siamo tutti fautori del pensiero laterale e uno dei classici di questo tipo di ragionamento è il meta argomento: ammettiamo che esista una soluzione univoca alla domanda e troviamo la soluzione per un caso particolare.
Se la curva chiusa è una circonferenza, corde uguali equidistano dal centro quindi esiste una simmetria rotazionale che porta le corde uguali a sovrapporsi: fissato un punto su una corda tale punto si dovrà sovrapporre al punto corrispondente nelle altre corde quindi il luogo geometrico di tali punti è una circonferenza
Con riferimento alla figura $\overline{\text{OC}}^2=r^2-\left(\frac{a+b}2\right)^2$, $\overline{\text{OM}}^2=\overline{\text{OC}}^2+\left(\frac{a+b}2-a\right)^2=r^2-\left(\frac{a+b}2\right)^2+\left(\frac{a-b}2\right)^2$ e l'area cercata è $S=\pi r^2 - \pi ab$.
Generalizzando, $S=C-\pi ab$ dove $C$ è la superficie racchiusa dalla curva e $\pi ab$ è l'area dell'ellisse di semiassi $a$ e $b$.
La cosa è vera anche se la curva chiusa è un quadrato
essendo le curve degli archi di ellisse.
Mi riservo di trovare una dimostrazione non laterale...
Se la curva chiusa è una circonferenza, corde uguali equidistano dal centro quindi esiste una simmetria rotazionale che porta le corde uguali a sovrapporsi: fissato un punto su una corda tale punto si dovrà sovrapporre al punto corrispondente nelle altre corde quindi il luogo geometrico di tali punti è una circonferenza
Con riferimento alla figura $\overline{\text{OC}}^2=r^2-\left(\frac{a+b}2\right)^2$, $\overline{\text{OM}}^2=\overline{\text{OC}}^2+\left(\frac{a+b}2-a\right)^2=r^2-\left(\frac{a+b}2\right)^2+\left(\frac{a-b}2\right)^2$ e l'area cercata è $S=\pi r^2 - \pi ab$.
Generalizzando, $S=C-\pi ab$ dove $C$ è la superficie racchiusa dalla curva e $\pi ab$ è l'area dell'ellisse di semiassi $a$ e $b$.
La cosa è vera anche se la curva chiusa è un quadrato
essendo le curve degli archi di ellisse.
Mi riservo di trovare una dimostrazione non laterale...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Questione di superficie
Ottimo.
Anche io avevo pensato al caso particolare del cerchio ma mi ero spinto troppo prendendo anche una corda particolare coincidente col diametro.
Mi era venuta una soluzione che non riuscivo poi a generalizzare.
Il risultato che hai ottenuto mi sembra convincente ma ci sono anche situazioni dove non funziona. Ad esempio, in un quadrato con una corda più lunga del lato l'area descritta è maggiore in quanto i 4 pezzi di ellisse in parte si sovrappongono.
Anche io avevo pensato al caso particolare del cerchio ma mi ero spinto troppo prendendo anche una corda particolare coincidente col diametro.
Mi era venuta una soluzione che non riuscivo poi a generalizzare.
Il risultato che hai ottenuto mi sembra convincente ma ci sono anche situazioni dove non funziona. Ad esempio, in un quadrato con una corda più lunga del lato l'area descritta è maggiore in quanto i 4 pezzi di ellisse in parte si sovrappongono.
Franco
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Re: Questione di superficie
Dopo qualche tentativo, subito stroncato dall'algebra necessaria, sono andato a vedere la lettetura: $S=C-\pi ab$ si chiama Teorema di Holditch ma, come già sapevo, non è valido in generale.
Per prima cosa, è necessario che la corda possa ruotare all'interno della regione $C$: perché ciò sia possibile occorre che $a+b\leq d$ dove $d$ è il diametro del più grande cerchio compreso in $C$.
Per il quadrato è $d=L$, per un'ellisse di semiasse maggiore $A$ e minore $B$ è $d=B$ ecc. Ma, proprio nel caso dell'ellisse, per $d=B$, la curva tracciata dal punto $\text{M}$ non è una curva semplice
Date la simmetria dell'ellisse, la curva per i due punti simmetrici rispetto al centro della corda è la stessa; anche la curva con $\text{M}$ punto medio della corda (in rosso) è intrecciata solo che le due asole sono uguali e si sovrappongono.
Perché il teorema sia valido è necessario che la corda sia abbastanza corta da generare curve semplici.
il panurgo
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Re: Questione di superficie
Qui sotto la soluzione proposta dal sito francese:
Vi faccio solo notare che anche qui viene citato il teorema di Holditch.
Non sto a tradurla un po' perchè è complicata (troppo per me), un po' perchè alla fine arriva al risultato indicato dal nostro Panurgo, quindi non ci aggiunge tanto Vi faccio solo notare che anche qui viene citato il teorema di Holditch.
Franco
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