L'ultima cifra della quinta potenza
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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L'ultima cifra della quinta potenza
Ecco alcuni numeri interi elevati alla quinta potenza.
$1^5=1 $
$2^5= 32 $
$3^5= 243$
$4^5= 1024$
$5^5= 3125$
Sia $n$ un numero intero.
Dimostrate che l'ultima cifra di $n$ è uguale all'ultima cifra di $n^5$.
---
Per "ultima cifra" si intende la cifra delle unità.
$1^5=1 $
$2^5= 32 $
$3^5= 243$
$4^5= 1024$
$5^5= 3125$
Sia $n$ un numero intero.
Dimostrate che l'ultima cifra di $n$ è uguale all'ultima cifra di $n^5$.
---
Per "ultima cifra" si intende la cifra delle unità.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: L'ultima cifra della quinta potenza
D’emblée.
La questione può ricondursi a dimostrare che n·(n² - 1)·(n² + 1) è divisibile per 10, cioè sia per 2 che per 5.
Questa espressione, sicuramente, è divisibile per 2.
Ma vediamo che essa è anche divisibile per 5; infatti:
. se lo è n, non c'è niente da aggiungere;
. se n non lo è, invece, significa che n = 5·k ± 1 oppure n = 5·k ± 3: nel primo caso n² - 1 è un multiplo di 5, nell'altro caso lo è n² + 1.
La questione può ricondursi a dimostrare che n·(n² - 1)·(n² + 1) è divisibile per 10, cioè sia per 2 che per 5.
Questa espressione, sicuramente, è divisibile per 2.
Ma vediamo che essa è anche divisibile per 5; infatti:
. se lo è n, non c'è niente da aggiungere;
. se n non lo è, invece, significa che n = 5·k ± 1 oppure n = 5·k ± 3: nel primo caso n² - 1 è un multiplo di 5, nell'altro caso lo è n² + 1.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza
Similmente (e questa è una proprietà carina), si può pure dimostrare che nᵗ ed n terminano con la stessa cifra quando t = 4·h +1.
(Bruno)
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza
Io partirei dal fatto che $n^k=\left(10q+r\right)^k=\sum_{i=0}^k \left(10q\right)^{n-k} r^k = 10Q +r^k$ e quindi $n^k\equiv r^k\;\left(\text{mod}\;10\right)$. Ciò detto, completiamo la tabella delle quinte potenze dei resti $\left(\text{mod}\;10\right)$
$\begin{array}{lC}
0^5=0 \\
1^5=1 \\
2^5=32 \\
3^5=243 \\
4^5=1024 \\
5^5=3125 \\
6^5=7776 \\
7^5=16807 \\
8^5=32768 \\
9^5=59049
\end{array}$
et voilà!
$\begin{array}{lC}
0^5=0 \\
1^5=1 \\
2^5=32 \\
3^5=243 \\
4^5=1024 \\
5^5=3125 \\
6^5=7776 \\
7^5=16807 \\
8^5=32768 \\
9^5=59049
\end{array}$
et voilà!
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza
L'ultima cifra di un intero $n$ ci è data dal resto della sua divisione per $10$.Gianfranco ha scritto: ↑gio mar 05, 2020 3:19 pmSia n un numero intero.
Dimostrate che l'ultima cifra di $n$ è uguale all'ultima cifra di $n^5$.
Si tratta quindi di dimostrare che
$ n^5 \equiv n \pmod{10} \qquad\Rightarrow\qquad n^5 - n \equiv 0 \pmod{10} $
ossia che $n^5-n$ è divisibile sia per $2$ che per $5$.
Divisibilità per $2$
Possiamo notare che $n^5-n$, essendo differenza o di due pari, o di due dispari, è sempre un numero pari, ossia divisibile per $2$.
Divisibilità per $5$
Si tratta di dimostrare che
$ n^5 \equiv n \pmod{5} $
Cio' è vero per il piccolo teorema di Fermat, il quale ci dice proprio che $n^p \equiv n \pmod{p}$ se $p$ è primo.
Analogamente al ragionamento fatto sopra, va dimostrato che
$n^t-n \equiv 0 \pmod{10}$
con $t = 4h+1$
Divisibilità per $2$
Come sopra.
Divisibilità per $5$
Si tratta di dimostrare che
$n^t-n \equiv 0 \pmod{5} \qquad\Rightarrow\qquad n^{4h+1}-n \equiv 0 \pmod{5} \qquad\Rightarrow\qquad n\cdot \left(\left(n^h\right)^4-1\right) \equiv 0 \pmod{5}$
Se $n$ è un multiplo di $5$ siamo a posto.
Se invece non lo è, allora dobbiamo dimostrare che almeno l'altro fattore lo sia. Dimostrare cioè che
$\left(n^h\right)^4-1 \equiv 0 \pmod{5} \qquad\Rightarrow\qquad \left(n^h\right)^4 \equiv 1 \pmod{5}$
Sempre il piccolo teorema di Fermat, nella sua formulazione meno generale, ci dice che $n^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ se $p$ è primo ed $n$ è coprimo con $p$.
Nel nostro caso abbiamo $p = 5$, quindi primo, e $n^h$ sempre coprimo con $p=5$, dal momento che abbiamo posto per ipotesi che $n$ non è multiplo di $5$.
SE&O
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza
Grande Pietro
Grazie infinite per tutti i miglioramenti che hai introdotto e per la tua assistenza
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(Bruno)
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza
Normale amministrazione .
Saluti
Admin
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza
Ottima amministrazione
(Bruno)
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