Goligoni

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Gianfranco
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Goligoni

Messaggio da Gianfranco »

In questa pagina (https://oeis.org/A007219) si legge:
A golygon of order N is a closed path along the streets of the Manhattan grid with successive edge lengths of 1,2,3,...,N (returning to the starting point after the edge of length N), and which makes a 90-degree turn (left or right) after each edge.
It is known that the order N must be a multiple of 8.
In altre parole, un goligono di ordine N è un percorso chiuso lungo le strade della griglia di Manhattan che ha le seguenti proprietà:
1) le lunghezze dei lati consecutivi dal primo all'ultimo sono 1,2,3, ..., N
2) dopo ciascun lato si fa una svolta a destra oppure a sinistra (ovviamente di 90°).
È noto che l'ordine N deve essere un multiplo di 8.

Le domande sono:
a) disegnare un goligono con il minor numero di lati ( che sarebbe 8 )
b) dimostrare che è unico (a meno di simmetrie)
c) visto che l'ordine N deve essere un multiplo di 8, dov'è l'errore in questo goligono di 15 lati? (l'ultimo lato è OA)
gol_15.png
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Pace e bene a tutti.
Gianfranco

sixam
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Re: Goligoni

Messaggio da sixam »

Allora...
Una semplice riflessione mi dice che, dato l'obbligo di svolta, dividendo i segmenti in 2 gruppi (quelli con lunghezza pari e quelli con lunghezza dispari), i due gruppi avranno lo stesso orientamento, ma saranno sfasati di 90°.
Per avere un percorso chiuso, quindi, sia i segmenti pari che quelli dispari dovranno dare 'somma' 0.
Mi spiego: se i segmenti pari sono orientati lungo l'asse Nord/Sud, considero positivi quelli diretti verso Nord, e negativi quelli diretti verso Sud. Per tornare al punto di partenza, la somma deve essere 0. Stesso discorso per i segmenti orientati lungo l'asse Est/Ovest.

In allegato una soluzione con 8 lati, da 1 a 8. Ecco come ho proceduto per ottenerla:
- i segmenti pari (2, 4, 6, 8 ) hanno somma 20, quindi devo dividerli in 2 gruppi da 10 (2, 8 e 4, 6); decido che devono orientarsi lungo l'asse N/S, quindi un gruppo dovrà salire, e l'altro scendere (x tornare a quota 0);
- i segmenti dispari (1, 3, 5, 7) hanno somma 16, quindi devo dividerli in 2 gruppi da 8 (1, 7 e 3, 5); decido che devono orientarsi lungo l'asse E/O, quindi un gruppo dovrà andare verso est, e l'altro verso ovest(x tornare a quota 0);

Riguardo l'univocità:
- scambiando il verso dei segmenti orientati N/S la figura diventa speculare sull'asse orizzontale;
- scambiando il verso dei segmenti orientati E/O la figura diventa speculare sull'asse verticale;

Per l'errore, può essere che anche l'unione tra l'ultimo segmento (da 15) ed il primo (da 1) debba essere di 90°, mentre nell'immagine i 2 segmenti sono consecutivi.
Allegati
8segmenti.jpg
8segmenti.jpg (13.92 KiB) Visto 3487 volte
Bye by SixaM 8-]

42 è la risposta

Bruno
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Re: Goligoni

Messaggio da Bruno »

Concordo con le spiegazioni di sixam.

Tra l'altro, il goligono individuato da sixam, se utilizzato per realizzare delle piastrelle, permetterebbe di ricoprire un pavimento.
(Bruno)

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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

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