Determinare il maggiore fra $(\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}$ e $(\frac{12}{11})^{\sqrt{6}}$ e giustificare la risposta.
edit: Le radici quadrate sono all'esponente della frazione fra parentesi e non moltiplicate!
Nota: E' un problema posto nel 2018 alle olimpiadi di matematica in Bulgaria. Evidentemente i candidati non avevano a loro disposizione nè calcolatrici, nè tavole logaritmiche, ne qualsiasi altro tipo di supporto per eseguire i calcoli.
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Determinare il maggiore fra ...
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Determinare il maggiore fra ...
Ultima modifica di franco il sab lug 06, 2019 11:27 am, modificato 1 volta in totale.
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
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Re: Determinare il maggiore fra ...
Il rapporto tra i due numeri, il secondo diviso il primo, vale
$\displaystyle \frac{120}{121}\sqrt\frac65 = \frac{120}{121}\sqrt{\frac{120}{100}}\approx\frac{120}{121}\frac{11}{10} = \frac{12}{11}>1 $
Ne consegue che il secondo è maggiore del primo.
(Ho eseguito i calcoli sopra descritti senza supporti)
$\displaystyle \frac{120}{121}\sqrt\frac65 = \frac{120}{121}\sqrt{\frac{120}{100}}\approx\frac{120}{121}\frac{11}{10} = \frac{12}{11}>1 $
Ne consegue che il secondo è maggiore del primo.
(Ho eseguito i calcoli sopra descritti senza supporti)
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Determinare il maggiore fra ...
Stavo giusto per aggiungere un'altra nota al testo del problema (lo faccio ora) ...
Le radici quadrate sono all'esponente della frazione fra parentesi e non moltiplicate
Purtroppo la visualizzazione può trarre in inganno (o ho sbagliato qualcosa visto che con LaTex sono una frana).
io ho scritto la formula così: (\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}
Le radici quadrate sono all'esponente della frazione fra parentesi e non moltiplicate
Purtroppo la visualizzazione può trarre in inganno (o ho sbagliato qualcosa visto che con LaTex sono una frana).
io ho scritto la formula così: (\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}
Franco
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Re: Determinare il maggiore fra ...
Passiamo ai logaritmi e abbiamo rispettivamente $\sqrt5\left(\log{11}-\log{10}\right)$ e $\sqrt6\left(\log{12}-\log{11}\right)$.
Essendo $\log{11}-\log{10}\approx\log{12}-\log{11}$ il secondo numero è maggiore del primo.
P.S. hai scritto (\frac{11}{10})^{\sqrt{5}} ottenendo $(\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}$: se tu avessi scritto \left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt{5}} avresti ottenuto $\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt{5}}$, con l'apice un filo più evidente...
Essendo $\log{11}-\log{10}\approx\log{12}-\log{11}$ il secondo numero è maggiore del primo.
P.S. hai scritto (\frac{11}{10})^{\sqrt{5}} ottenendo $(\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}$: se tu avessi scritto \left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt{5}} avresti ottenuto $\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt{5}}$, con l'apice un filo più evidente...
il panurgo
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Re: Determinare il maggiore fra ...
Guido,
In effetti il secondo numero è maggiore del primo (l'ho verificato con la calcolatrice ) ma la spiegazione non mi convince.
Tu scrivi che $\log{11}-\log{10}\approx\log{12}-\log{11}$ ma in realtà, anche se di poco, è $\log{11}-\log{10}>\log{12}-\log{11}$.
Non non sono sicuro quindi sia corretto al 100% limitare il confronto ai due numeri sotto radice.
Sarebbe un po' come dire che $\frac{11}{10}\approx\frac{12}{11}$ e quindi il secondo numero è più grande del primo perchè ha un esponente maggiore ...
In effetti il secondo numero è maggiore del primo (l'ho verificato con la calcolatrice ) ma la spiegazione non mi convince.
Tu scrivi che $\log{11}-\log{10}\approx\log{12}-\log{11}$ ma in realtà, anche se di poco, è $\log{11}-\log{10}>\log{12}-\log{11}$.
Non non sono sicuro quindi sia corretto al 100% limitare il confronto ai due numeri sotto radice.
Sarebbe un po' come dire che $\frac{11}{10}\approx\frac{12}{11}$ e quindi il secondo numero è più grande del primo perchè ha un esponente maggiore ...
Franco
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Re: Determinare il maggiore fra ...
difatti
$\displaystyle \frac{11}{10} \approx \frac{12}{11}$
perché
$\displaystyle 121 \approx 120$
il che è ancora più vero per i rispettivi logaritmi: le due frazioni si somigliano molto di più delle due radici, $\sqrt5=2,2\ldots$ e $\sqrt6=2,4\ldots$
$\displaystyle \frac{11}{10} \approx \frac{12}{11}$
perché
$\displaystyle 121 \approx 120$
il che è ancora più vero per i rispettivi logaritmi: le due frazioni si somigliano molto di più delle due radici, $\sqrt5=2,2\ldots$ e $\sqrt6=2,4\ldots$
il panurgo
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Re: Determinare il maggiore fra ...
Continuo a non essere convinto.
Applicando il tuo ragionamento risulterebbe allora che $\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt{7}}$ è maggiore di $\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt{6}}$, cosa che invece (calcolatrice alla mano) non è.
Applicando il tuo ragionamento risulterebbe allora che $\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt{7}}$ è maggiore di $\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt{6}}$, cosa che invece (calcolatrice alla mano) non è.
Franco
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Re: Determinare il maggiore fra ...
Poniamo che sia:
$(\frac{12}{11})^{\sqrt{6}}$ > $(\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}$
In tal caso, potremmo scrivere:
$\sqrt{6}(log_{12}{12} - log_{12}{11}) > \sqrt{5}(log_{12}{11} - log_{12}{10}) $
$log_{12}{12} > \sqrt{\frac{5}{6}}(log_{12}{11} - log_{12}{10}) + log_{12}{11}$
con 0<a<1; 0<b<1 e 0<c<b, avremmo che:
1 > (1-a)[(1-b)-(1-c)] +(1-b)
1> c-ac+ab-2b+1
c(1-a)+b(a-2)<0
b(a-2) < c(a-1)
$a-2 < \frac{c}{b}(a-1)$
la quale relazione renderebbe vera anche l'ipotesi iniziale, se si ritiene sufficiente la considerazione che il rapporto c/b può essere valutato vicino all'unità, mentre a è più vicina allo zero.
In caso contrario,occorrerebbe esplorare la possibilità di una diversa strategia.
$(\frac{12}{11})^{\sqrt{6}}$ > $(\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}$
In tal caso, potremmo scrivere:
$\sqrt{6}(log_{12}{12} - log_{12}{11}) > \sqrt{5}(log_{12}{11} - log_{12}{10}) $
$log_{12}{12} > \sqrt{\frac{5}{6}}(log_{12}{11} - log_{12}{10}) + log_{12}{11}$
con 0<a<1; 0<b<1 e 0<c<b, avremmo che:
1 > (1-a)[(1-b)-(1-c)] +(1-b)
1> c-ac+ab-2b+1
c(1-a)+b(a-2)<0
b(a-2) < c(a-1)
$a-2 < \frac{c}{b}(a-1)$
la quale relazione renderebbe vera anche l'ipotesi iniziale, se si ritiene sufficiente la considerazione che il rapporto c/b può essere valutato vicino all'unità, mentre a è più vicina allo zero.
In caso contrario,occorrerebbe esplorare la possibilità di una diversa strategia.
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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