Supponiamo di avere soltanto un foglio
di carta e una matita. Nessun computer,
nessuna calcolatrice.

Supponiamo, ancora, che sopra il foglio
sia stato scritto questo numero:

36060036.

E' possibile dire se possa o meno essere
uguale, in via preliminare, al prodotto di
quattro numeri interi consecutivi?

La cifra delle unita' di quel numero e' 6, questa sara' uguale alla prima cifra del prodotto delle cifre delle unita' dei 4 numeri (piu' difficile a capire che a spiegare)

di sicuro tra i 4 numeri nessuno finisce per 0 (se no il risultato finirebbe per 0) ho questi casi:
1*2*3*4=2*12=(considero solo le unita')=4
2*3*4*5=6*20=(considero solo le unita')=0
3*4*5*6=12*30=(considero solo le unita')=0
4*5*6*7=20*42=(considero solo le unita')=0
5*6*7*8=30*56=(considero solo le unita')=0
6*7*8*9=42*72=(considero solo le unita')=4

nessuna finisce per 6, quindi quel numero non puo' essere prodotto di 4 interi consecutivi

giusto?

Bravo, Pigreco

E se il numero fosse questo, invece:

36060084 ?

Oppure questo: 36060384 ?

Con uno stesso metodo possiamo
"smascherare" tutti i numeri finora
scritti

Fra i quattro interi consecutivi ci devono essere due numeri pari, uno dei quali multiplo di 4.
Il numero dovrebbe essere quindi divisibile per 8, proprietà che si può facilmente vedere non essere rispettata.

(credo )

Ottimo, Franco!

36060084 può essere liquidato certamente
in questo modo.

Mentre tu rispondevi, stavo aggiungendo
nel mio precedente post un altro numero,
proprio per includere anche i multipli di
8.

Dunque, possiamo dire con sicurezza che
36060384 non può equivalere a un prodotto
del tipo indicato e così pure 615288624.

E' un problema davvero simpatico e porta
via poco tempo

Aggiungo solo una cosa

Un numero che è prodotto di quattro interi consecutivi e che non è multiplo di 5 termina sicuramente con la cifra 4.

Infatti le congruenze modulo 5 dei quattro interi consecutivi devono essere 1,2,3,4, e il prodotto 1*2*3*4 fa 24.

Ollà.

Br1 ha scritto:
Oppure questo: 36060384 ?

In questo caso non si può utilizzare il metodo descritto da Franco, in quanto 36060384 è divisibile per 8.
Tra l'altro 36060384 è anche divisibile per 3, quindi è inutile far notare che il prodotto di quattro numeri consecutivi è sempre divisibile per 3.

Consideriamo il prodotto di quattro numeri consecutivi: (a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4)

Se il prodotto non è divisibile per 5 significa che a è divisibile per 5.
Siccome 36060384 non è divisibile per 5, se fosse uguale ad: (a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4) avremmo che a dovrebbe essere divisibile per 5.

(a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4) =${\rm a}^{\rm 4} {\rm + 10*a}^{\rm 3} {\rm + 35*a}^{\rm 2} {\rm + 50*a + 24}$

Se a è divisibile per 10, abbiamo che:
${\rm a}^{\rm 4}$ è divisibile per 100
${\rm 10*a}^{\rm 3}$ è divisibile per 100
${\rm 35*a}^{\rm 2}$ è divisibile per 100
${\rm 50*a}$ è divisibile per 100
Dunque ${\rm a}^{\rm 4} {\rm + 10*a}^{\rm 3} {\rm + 35*a}^{\rm 2} {\rm + 50*a + 24}$ finisce per 24

Se a non è divisibile per 10 significa che l'ultima cifra di a è 5 (visto che a deve essere divisibile per 5),
abbiamo che:
${\rm a}^{\rm 4}$ finisce per 25
${\rm 10*a}^{\rm 3}$ finisce per 50
${\rm 35*a}^{\rm 2}$ finisce per 75
${\rm 50*a}$ finisce per 50
Dunque ${\rm a}^{\rm 4} {\rm + 10*a}^{\rm 3} {\rm + 35*a}^{\rm 2} {\rm + 50*a + 24}$ finisce per 24

Siccome 36060384 non è divisibile per 5 e non finisce per 24, non può essere il prodotto di quattro numeri interi consecutivi

Br1 ha scritto:
Dunque, possiamo dire con sicurezza che
36060384 non può equivalere a un prodotto
del tipo indicato e così pure 615288624.

E' un problema davvero simpatico e porta
via poco tempo

In modo analogo al mio messaggio precedente si dimostra che:
se un numero non è divisibile per 5 e non finisce per 024, non può essere il prodotto di quattro numeri interi consecutivi

Ottimo ottimo ottimo

Anche in questo caso allego la mia idea e chissà...
potrebbero ben esserci altre vie risolutive