un bel numero periodico
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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un bel numero periodico
Un caloroso saluto a tutti i basecinquini.
Nel mio peregrinare in internet mi sono imbattuto in un testo di mate alquanto interessante.
Ho già attinto da esso un problema riguardante i numeri primi che ho già postato.
Ora ne ho trovato un altro altrettanto bello e vado subito a esporlo così come l’ho trovato
Qual è il periodo del numero decimale (1.(001))^ 2?
( a parole uno virgola zero zero uno periodico elevato due (non riuscendo a fare la barretta del periodo ho utilizzato il modo alternativo di rappresentarli)).
Poche righe sotto ho trovato un'altra interessante questione che Vi riporto
Normalmente i computer fanno i calcoli con un allineamento decimale finito,
ottenuto troncando o approssimando lo sviluppo decimale esatto, ma questo può comportare gravi
problemi, come prova l’esempio, elementare, che segue.
Poiché
1/3*4-1=1/3
ci si deve aspettare che moltiplicando nuovamente il risultato per 4 e sottraendo 1 si ottenga di nuovo,
e all'infinito, sempre 1/3. La cosa è certamente vera se operiamo con le frazioni. Supponiamo invece
di approssimare la frazione 1/3 con, per esempio, 0.3333 (quattro cifre decimali esatte: l’errore è più
piccolo di un decimillesimo), e di ripetere il calcolo indicato dieci volte:
((((((((((0.3333*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1) .
Otteniamo come risultato -34.6192, cioè un valore completamente inaccettabile.
Domanda : quante cifre decimali devo utilizzare per ottenere nell'esempio sopra un errore
Inferiore a 1/1000?
Per quanti sono interessati ho trovato questi problemi qui
http://www.batmath.it/matematica/mat_base/mbase.pdf nel testo scaricabile in PDF matematica di base pag 58.
Spero sia di vostro gradimento.
Rinnovo i saluti
Ronfo
P.S. non so se è il caso di inserirlo nella filiera di segnalazioni (magari c'è già?!)
Nel mio peregrinare in internet mi sono imbattuto in un testo di mate alquanto interessante.
Ho già attinto da esso un problema riguardante i numeri primi che ho già postato.
Ora ne ho trovato un altro altrettanto bello e vado subito a esporlo così come l’ho trovato
Qual è il periodo del numero decimale (1.(001))^ 2?
( a parole uno virgola zero zero uno periodico elevato due (non riuscendo a fare la barretta del periodo ho utilizzato il modo alternativo di rappresentarli)).
Poche righe sotto ho trovato un'altra interessante questione che Vi riporto
Normalmente i computer fanno i calcoli con un allineamento decimale finito,
ottenuto troncando o approssimando lo sviluppo decimale esatto, ma questo può comportare gravi
problemi, come prova l’esempio, elementare, che segue.
Poiché
1/3*4-1=1/3
ci si deve aspettare che moltiplicando nuovamente il risultato per 4 e sottraendo 1 si ottenga di nuovo,
e all'infinito, sempre 1/3. La cosa è certamente vera se operiamo con le frazioni. Supponiamo invece
di approssimare la frazione 1/3 con, per esempio, 0.3333 (quattro cifre decimali esatte: l’errore è più
piccolo di un decimillesimo), e di ripetere il calcolo indicato dieci volte:
((((((((((0.3333*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1) .
Otteniamo come risultato -34.6192, cioè un valore completamente inaccettabile.
Domanda : quante cifre decimali devo utilizzare per ottenere nell'esempio sopra un errore
Inferiore a 1/1000?
Per quanti sono interessati ho trovato questi problemi qui
http://www.batmath.it/matematica/mat_base/mbase.pdf nel testo scaricabile in PDF matematica di base pag 58.
Spero sia di vostro gradimento.
Rinnovo i saluti
Ronfo
P.S. non so se è il caso di inserirlo nella filiera di segnalazioni (magari c'è già?!)
Re: un bel numero periodico
Codice: Seleziona tutto
[math]1,\overline{001}^2[/math]
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: un bel numero periodico
Incredibile e interessante!
$1,\overline{001}^2$ = $\frac{1000000}{998001}$ = 1.002003004005006007008009010011012.......099100101...199200.......999....
Quindi non saprei come continuare: si ripete tutto il precedente? Con qualche variante? Oppure: 0000 0001 0002 0003.........9999...... ?
Nel 2° quesito la mia calcolatrice se la cava con 0,3333333333 (10 cifre decimali)
$1,\overline{001}^2$ = $\frac{1000000}{998001}$ = 1.002003004005006007008009010011012.......099100101...199200.......999....
Quindi non saprei come continuare: si ripete tutto il precedente? Con qualche variante? Oppure: 0000 0001 0002 0003.........9999...... ?
Nel 2° quesito la mia calcolatrice se la cava con 0,3333333333 (10 cifre decimali)
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
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Re: un bel numero periodico
3000-3 cifre
Ciao
Ciao
Re: un bel numero periodico
Va bene Gnu..., se lo dici tu ci credo: evidentemente non ho interprtetato bene la domanda.Ho ritenuto che per:
n = ((((((((((0.3333333333*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1) = 0,3332983808, fosse stato soddisfatto quanto richiesto, cioè 1/3 = 0,333, ma evidentemente si richiedeva altro, che non ancora ho capito.
n = ((((((((((0.3333333333*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1)*4-1) = 0,3332983808, fosse stato soddisfatto quanto richiesto, cioè 1/3 = 0,333, ma evidentemente si richiedeva altro, che non ancora ho capito.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: un bel numero periodico
Scusami, ma v'è stato un problema di comunicazione. Io ho risposto alla domanda del quiz: "qual è il periodo....?"Pasquale ha scritto:Va bene Gnu..., se lo dici tu ci credo: evidentemente non ho interprtetato bene la domand
Ciao
B.
Re: un bel numero periodico
Ah, un qui pro quo che mi ha costretto ad approfondire il primo quesito e dunque ti ringrazio.
In effetti si tratta proprio di uno strano periodo che ha soltanto un neo: quel -3 da te indicato, altrimenti avremmo avuto un perfetto 3000.
Un periodo nondimeno che rappresenta la sequenza dei numeri naturali, espressi ciascuno con 3 cifre, con partenza da 002, fino a 999 più 000 e 001.
Peccato che manchi il 998......chissà se esiste una frazione generatrice che possa comprenderlo, partendo magari da 000 ed a finire con 999.....a pensarci bene, credo proprio di si.
Grazie naturalmente anche a Ronfo.
In effetti si tratta proprio di uno strano periodo che ha soltanto un neo: quel -3 da te indicato, altrimenti avremmo avuto un perfetto 3000.
Un periodo nondimeno che rappresenta la sequenza dei numeri naturali, espressi ciascuno con 3 cifre, con partenza da 002, fino a 999 più 000 e 001.
Peccato che manchi il 998......chissà se esiste una frazione generatrice che possa comprenderlo, partendo magari da 000 ed a finire con 999.....a pensarci bene, credo proprio di si.
Grazie naturalmente anche a Ronfo.
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E' la somma che fa il totale (Totò)
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E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: un bel numero periodico
Che bella la matematica che non smette mai di stupire anche i vecchi bacucchi, come me!
Avevo ricavato 2997 con GeoGebra usando questa espressione, scritta per una vecchia versione (con GeoGebra 5.x si può far di meglio):
PosizioneDi[1,IterazioneLista[round(n*(10*x/n-floor(10*x/n))),1,m],2]-1,
che fornisce, pur lavorando in semplice precisione, la lunghezza del periodo generato dal divisore n (m limita solo la profondità della ricerca).
La forma 3000-3 con cui avevo postato il risultato era nata solo di pancia: in questi due problemi la cifra 3 è molto invasiva.
Pasquale (ti ringrazio assai), invece, mi permette di scoprire che c'è una ragione più profonda per scrivere il risultato in quel modo strano. Stupenda coincidenza??
Ciao
Beppe
@Pasquale
10: la tua risposta all'altro quesito, esce da questa 'legge del 3', ma a pensarci bene non sono necessari dieci 3 per soddisfare la richiesta.
Avevo ricavato 2997 con GeoGebra usando questa espressione, scritta per una vecchia versione (con GeoGebra 5.x si può far di meglio):
PosizioneDi[1,IterazioneLista[round(n*(10*x/n-floor(10*x/n))),1,m],2]-1,
che fornisce, pur lavorando in semplice precisione, la lunghezza del periodo generato dal divisore n (m limita solo la profondità della ricerca).
La forma 3000-3 con cui avevo postato il risultato era nata solo di pancia: in questi due problemi la cifra 3 è molto invasiva.
Pasquale (ti ringrazio assai), invece, mi permette di scoprire che c'è una ragione più profonda per scrivere il risultato in quel modo strano. Stupenda coincidenza??
Ciao
Beppe
@Pasquale
10: la tua risposta all'altro quesito, esce da questa 'legge del 3', ma a pensarci bene non sono necessari dieci 3 per soddisfare la richiesta.
Re: un bel numero periodico
Alcune considerazioni sui 'bei numeri periodici'.
Tralasciando il numero indicato nel primo quesito, ho considerato il numero $0,\overline{1}=1/9$ il cui quadrato è $1/81$.
Il periodo di 1/81 è 012345679 e contiene tutte le cifre nell'ordine ad eccezione della penultima 8.
Considero poi il numero $0,\overline{01}=1/99$ il cui quadrato è 1/9801.
Il periodo di 1/9801 è 000102030405.................939495969799 e contiene nell'ordine tutti i raggruppamenti di due cifre da 00 a 99 con l'eccezione di 98.
Allora ho considerato il numero $0,\overline{001}=1/999$ il cui quadrato è 1/998001.
Il periodo di 1/998001 è 000001002003004005.....................993994995996997999 e contiene nell'ordine tutti i raggruppamenti di tre cifre da 000 a 999 con l'eccezione di 998.
A questo punto mi sono fermato perchè i calcoli diventavano pesanti.
L'ipotesi, tutta da dimostrare, è che lo schema si riproduca alli'nfinito vale a dire che il quadrato di un numero N=9....9 costituito da k cifre 9 sia M=9..980..01 con k-1 cifre 9 e k-1 cifre 0 e che il suo inverso contenga nell'ordine tutti i raggruppamenti di k cifre da 0..0 a 9..9 con la sola eccezione di 9..98, contenente k-1 cifre 9.
Vittorio
Tralasciando il numero indicato nel primo quesito, ho considerato il numero $0,\overline{1}=1/9$ il cui quadrato è $1/81$.
Il periodo di 1/81 è 012345679 e contiene tutte le cifre nell'ordine ad eccezione della penultima 8.
Considero poi il numero $0,\overline{01}=1/99$ il cui quadrato è 1/9801.
Il periodo di 1/9801 è 000102030405.................939495969799 e contiene nell'ordine tutti i raggruppamenti di due cifre da 00 a 99 con l'eccezione di 98.
Allora ho considerato il numero $0,\overline{001}=1/999$ il cui quadrato è 1/998001.
Il periodo di 1/998001 è 000001002003004005.....................993994995996997999 e contiene nell'ordine tutti i raggruppamenti di tre cifre da 000 a 999 con l'eccezione di 998.
A questo punto mi sono fermato perchè i calcoli diventavano pesanti.
L'ipotesi, tutta da dimostrare, è che lo schema si riproduca alli'nfinito vale a dire che il quadrato di un numero N=9....9 costituito da k cifre 9 sia M=9..980..01 con k-1 cifre 9 e k-1 cifre 0 e che il suo inverso contenga nell'ordine tutti i raggruppamenti di k cifre da 0..0 a 9..9 con la sola eccezione di 9..98, contenente k-1 cifre 9.
Vittorio
Vittorio
Re: un bel numero periodico
Per completare la risoluzione del secondo problema proposto da ronfo, osservando che ad ogni iterazione l'errore di troncamento viene moltiplicato per 4: $4(1/3-x)-1=1/3-4x$; per determinare l'errore iniziale che porta, dopo 10 iterazioni, ad un errore minore di $1/1000$ basta risolvere la disequazione $4^{10}x<1/1000$.
La soluzione è $x<9.537 \cdot 10^{-10}$, quindi servono 9 cifre decimali.
Ciao
La soluzione è $x<9.537 \cdot 10^{-10}$, quindi servono 9 cifre decimali.
Ciao