Palline bianche e palline nere

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franco
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Palline bianche e palline nere

Messaggio da franco »

In un'urna abbiamo B palline bianche e N palline nere (B e N > 0).
Per svuotare l'urna procediamo in questo modo:
1) estraiamo una pallina a caso e la buttiamo via
2) estraiamo una pallina a caso e ...
... a) se è dello stesso colore della precedente la buttiamo via e continuiamo come al punto 2
... b) se è dell'altro colore, la rimettiamo nell'urna e ricominciamo dal punto 1
Domanda: qual'è la probabilità che l'ultima pallina estratta sia bianca?


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Franco

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gnugnu
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da gnugnu »

Sviluppando le catene di Markov e confrontando il risultato con la teoria delle martingale in uno spazio degli eventi n-dimensionale antisimmetrico compatto, eliminati gli autovalori banali, proverei a dirla uguale a quella di esser nera.

delfo52
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da delfo52 »

B=N il gioco deve essere paritario, per cui non c'è dubbio che la probabilità è 50/50.
proviamo con 1 B e 2 N.
Gli sviluppi possibili sono 6 (b minuscola, significa: estratta e rimessa dentro)
N b B N
N b N B
N N B
B N N
ovvero 2 a 2
Ugualmente , con 1 B e 3 N, si ottengono sei sviluppi, tre con ultimo estratto N e tre con B.
E se vale per 2 e per 3, vale per sempre !!!
Enrico

Adam Atkinson
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da Adam Atkinson »

franco ha scritto:In un'urna abbiamo B palline bianche e N palline nere (B e N > 0).
Molto carino!

gnugnu
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da gnugnu »

delfo52 ha scritto:E se vale per 2 e per 3, vale per sempre !!!
Il risultato è esatto, la dimostrazione... beh!
Il bello di questo problema è che la dimostrazione si può tranquillamente fare a mente.
Ciao

franco
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da franco »

delfo52 ha scritto:B=N il gioco deve essere paritario, per cui non c'è dubbio che la probabilità è 50/50.
proviamo con 1 B e 2 N.
Gli sviluppi possibili sono 6 (b minuscola, significa: estratta e rimessa dentro)
N b B N
N b N B
N N B
B N N
ovvero 2 a 2
...
Gli sviluppi possibili sono 4 ma non equiprobabili:
B n N N ---> P = 1/3 * 1 * 1 * 1 = 1/3
N N b B ---> P = 2/3 * 1/2 * 1 * 1 = 1/3
N b B n N ---> P = 2/3 * 1/2 * 1/2 * 1 * 1 = 1/6
N b N b B ---> P = 2/3 * 1/2 * 1/2 * 1 * 1 = 1/6

Nonostante ciò la probabilità di finire con la pallina bianca è confermata essere il 50% nel caso di combinazione 1 + 2

Allo stesso modo è possibile sviluppare la combinazione 1 + 3
BnNNN ---> P = 1/4
NNNbB ---> P = 1/4
NNbBnN ---> P = 1/8
NNbNbB ---> P = 1/8
NbBnNN ---> P = 1/12
NbNNbB ---> P = 1/12
NbNbBnN ---> P = 1/24
NbNbNbB ---> P = 1/24
e anche in questo caso siamo in una situazione di 50-50.

Scrivendo le possibili combinazioni in maniera ordinata si intuisce che qualunque sia la combinazione di partenza finiremo sempre al 50% però mi piacerebbe sentire un ragionamento un po' meno empirico :)
Franco

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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da gnugnu »

franco ha scritto:però mi piacerebbe sentire un ragionamento un po' meno empirico :)
Scusami Franco, credevo che tu conoscessi la soluzione del problema e volessi far giocare gli altri frequentatori del sito.
Il colore dell'ultima pallina estratta risulta determinato quando nell'urna viene a mancare uno dei due colori; e, qualunque sia la quantità n=B+N, esistono due soli modi per arrivare a questa situazione: o vengono estratte consecutivamente tutte le B presenti o, viceversa, tutte le N. Le probabilità di questi due eventi 'critici' sono uguali (basta pensare che tutte le bianche estratte vuol dire tutte le nere non estratte e viceversa. Si potrebbero utilizzare anche i coefficienti binomiali per ottenere i valori di queste due probabilità, ma non serve).
Quando n=2, l'unica urna possibile (B,N)=(1,1) porta all'equiprobabilità del colore finale.
Siano n+1 le palline presenti e supponiamo (induzione matematica) che per tutti gli m minori di n+1 ( e maggiori di 1) sia verificata l'equiprobabilità. Estratta la prima, si prospettano solo due alternative: o vengono estratte successivamente tutte quelle del medesimo colore (evento critico), o, prima di aver esaurito tutte le palline di quel colore, ne salta fuori una del colore opposto. In quest'ultimo caso la rimettiamo nell'urna, che, contenendo meno di n+1 palline, assicura l'equiprobabilità del colore finale.
Ciao

Pasquale
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da Pasquale »

Potrei dire che quanta più disparità c'è fra B e N, tanto più è propbabile che venga estratta la pallina del colore soprannumerario; per cui, man mano che si procede, si tende a pareggiare i colori, quindi......
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$\text { }$ciao Immagine ciao
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franco
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da franco »

Questa ultima considerazione non la condivido più di tanto.
Se non ci fosse il rimettere la pallina nell'urna quando cambia il colore i conti sarebbero ben diversi e la probabilità di finire con una bianca sarebbe uguale alla probabilità di estrarla per prima:
P = B / (B+N)
Franco

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gnugnu
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da gnugnu »

Bravo Franco, osservazione incontestabile. Sai che sei riuscito a farmi arrovellare?
Mi era parso che la dimostrazione postata 'funzionasse' anche per la versione senza reinserimento: ed allora dovevo concludere che fosse una dimostrazione farlocca, ma non riuscivo a trovare l'errore.
Poi si è accesa la lampadina. Nella versione senza reinserimento si possono esaurire le palline anche senza che queste siano tutte del medesimo colore, ma anche quando l'urna contiene una sola pallina di un dato colore, basta che questa venga estratta per ultima.
Questo è sufficiente per distruggere la monotonia delle probabilità sempre uguali ad 1/2.
Ciao e grazie.

Pasquale
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da Pasquale »

!'palline bianche = 0
!'palline nere = 1
!'casella indisponibile = 2

DIM a(100) !100 caselle con palline bianche e nere

5
INPUT PROMPT "quante palline nere? ":pn
IF pn=0 OR pn=100 THEN GOTO 5

RANDOMIZE
LET contb=0 !'contatore palline bianche, ultime ad essere estratte
LET contn=0 !'contatore palline nere, ultime ad essere estratte

FOR r =1 TO 10000 !'iterazione
MAT a = ZER !'ricostruisci la matrice

FOR m= 1 TO pn !'inserisci palline nere a caso (le restanti sono bianche)
10
LET x=1+INT(RND*100)
IF a(x)=1 THEN !'se la casella è già occupata
GOTO 10
ELSE
LET a(x)=1
END IF
NEXT M

LET b=100-pn !' bianche
LET n=pn !'nere
LET c[dol]="_" !'memoria ultima pallina estratta
DO
20
LET x=1+INT(RND*100)!'pesca una pallina
LET y=a(x)
SELECT CASE y
CASE IS = 2 !'se la casella è chiusa
GOTO 20 !'scegline un'altra
CASE IS = 0 !'se la pallina scelta è bianca
IF c[dol]="_" OR c[dol]="B" THEN
LET b=b-1 !'perché viene gettata via
LET a(x)=2 !'chiudi casella
LET c[dol]="B" !'ricorda ultima estrazione
IF b=0 THEN
LET contn=contn+1
EXIT DO
END IF
END IF
CASE IS = 1 !'cioè se la pallina scelta è nera
IF c[dol]="_" OR c[dol]="N" THEN
LET n=n-1 !'perché viene gettata via
LET a(x)=2 !'chiudi casella
LET c[dol]="N" !' ricorda ultima estrazione
IF n=0 THEN
LET contb=contb+1
EXIT DO
END IF
END IF
END SELECT
LOOP
NEXT R

PRINT "bianco =";contb
PRINT "nero =";contn
PRINT "Prob. bianca =";ROUND(contb/100,2); "%"

END


Ancora una cosa: ho notato che ultimamente fra gli scritti compaiono delle righe con caratteri minuscoli ed illegibili e pensavo che fosse una cosa voluta, ma stasera è capitato anche a me: una parte dell'algoritmo, visualizzata con l'anteprima, presentava lo stesso difetto. Ho notato che questo accade per le scritte comprese fra due simboli del dollaro, talché per eliminare il difetto ho dovuto scrivere c[dol] per indicare una variabile stringa.
Esempio di una scritta (AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA) fra due simboli dollaro: $ AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA $
Esempio della stessa scritta senza problemi dopo un solo simbolo del dollaro: $ AAAAAAAAAAAAAAAAAA (in questo caso si vedono bene il dollaro e la scritta)

Deve essere sorta qualche incompatibilità nel linguaggio che forse Pietro potrebbe eliminare.
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da Info »

ciao Pasquale..... usa i tag code

Codice: Seleziona tutto

$A$A$A$A$
e`anche piu' comodo copiare i tuoi programmi.... e ti tiene l'indentazione :-)

Pasquale
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da Pasquale »

Grazie Info, funziona, però si apre a parte una finestra "seleziona tutto".
Se voglio una finestra tutta pulita, devo trattare come code tutto il contenuto, con l'inconveniente che la finestra "seleziona tutto" che si apre è più piccola di una normale.
Mi pare di ricordare che una volta questo problema non c'era.
Forse potrei trattare le righe con i dollari o un brano intero come immagine:

AAAAAAAAAAAAAAAAA
BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
prova.JPG
prova.JPG (2.53 KiB) Visto 13302 volte
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
DDDDDDDDDDDDDDDDDDD
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da Info »

Pasquale ha scritto:Mi pare di ricordare che una volta questo problema non c'era.
Problema? Diciamo che se mi ricordo bene era stato aggiunto dopo perche`era scomodo andare a selezionare il codice.... e comunque
per i tuoi programmi sarebbe anche bello vedere l'indentazione giusta per capire meglio come sono annidate le istruzioni e potersi
prendere tutto il codice semplicemente con un seleziona tutto. Non vedo il problema... comunque si tratta di codice...

guarda, scusami il tuo codice:

Codice: Seleziona tutto

!'palline bianche = 0
!'palline nere = 1
!'casella indisponibile = 2

DIM a(100) !100 caselle con palline bianche e nere

5
INPUT PROMPT "quante palline nere? ":pn
IF pn=0 OR pn=100 THEN GOTO 5

RANDOMIZE
LET contb=0 !'contatore palline bianche, ultime ad essere estratte
LET contn=0 !'contatore palline nere, ultime ad essere estratte

FOR r =1 TO 10000 !'iterazione
	MAT a = ZER !'ricostruisci la matrice

	FOR m= 1 TO pn !'inserisci palline nere a caso (le restanti sono bianche)
10
		LET x=1+INT(RND*100)
		IF a(x)=1 THEN !'se la casella è già occupata
			GOTO 10
		ELSE
			LET a(x)=1
		END IF
	NEXT M

	LET b=100-pn !' bianche
	LET n=pn !'nere
	LET c[$]="_" !'memoria ultima pallina estratta
	DO
20
		LET x=1+INT(RND*100)!'pesca una pallina
		LET y=a(x)
		SELECT CASE y
			CASE IS = 2 !'se la casella è chiusa
				GOTO 20 !'scegline un'altra
			CASE IS = 0 !'se la pallina scelta è bianca
				IF c[$]="_" OR c[$]="B" THEN
					LET b=b-1 !'perché viene gettata via
					LET a(x)=2 !'chiudi casella
					LET c[$]="B" !'ricorda ultima estrazione
					IF b=0 THEN
						LET contn=contn+1
						EXIT DO
					END IF
				END IF
			CASE IS = 1 !'cioè se la pallina scelta è nera
				IF c[$]="_" OR c[$]="N" THEN
					LET n=n-1 !'perché viene gettata via
					LET a(x)=2 !'chiudi casella
					LET c[$]="N" !' ricorda ultima estrazione
					IF n=0 THEN
						LET contb=contb+1
						EXIT DO
					END IF
				END IF
		END SELECT
	LOOP
NEXT R

PRINT "bianco =";contb
PRINT "nero =";contn
PRINT "Prob. bianca =";ROUND(contb/100,2); "%"

END
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Pasquale
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Re: Palline bianche e palline nere

Messaggio da Pasquale »

Si, va bene, l'avevo detto. Trovavo solo che la finestra è più piccola, ma se si scarica il codice su un'altra pagina più ampia (tipo Word), allora va bene lo stesso.
Più che altro chiedevo perché mai il simbolo del $ genera quelle variazioni sul testo. Evidentemente è un segno riservato per qualche funzione che non conosco, che deve essere conpresa fra due dollari, tipo parentesi aperta e parentesi chiusa, ma non intesi come semplici segni grafici.
Peraltro ho tirato fuori la questione, perché da un po' di tempo nei post di più di un frequentatore si notano queste righe con caratteri illegibili nei testi.
Grazie.
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