Equazione parametrica

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Alessandro
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Equazione parametrica

Messaggio da Alessandro »

Ciao a tutti,
vi propongo il seguente quesito:

abbiamo la seguente equazione x² - (6a - 4b)*x + 3ab = 0

sapendo che i parametri a e b sono due numeri primi diversi tra loro,
e che le due radici x1 e x2 sono due numeri interi distinti tra loro,
trovare tutte le possibili soluzioni di questa equazione di 2° grado.



Alessandro

Pasquale
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Re: Equazione parametrica

Messaggio da Pasquale »

Dopo aver constatato che deve essere:

a < b/3 oppure a > 4b/3, imponendo il delta come positivo,

considerate le limitazioni imposte, dalle quali discende anche che il delta deve essere:

9a^2 - 15ab + 4b^2 = K^2, con k>0,

non mi è riuscito di andare oltre se non con l'ausilio del p.c., esplorando i primi 10000 numeri primi.

Ho trovato le seguenti radici dell'equazione:

x1=3; x2=15 per a=5; b=3
x1=7; x2=15 per a=7; b=5
x1=3; x2=115 per a=23; b=5

Non ho potuto appurare se non esistono altre soluzioni.
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gnugnu
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Re: Equazione parametrica

Messaggio da gnugnu »

Non esistono altre soluzioni.
Osservato che deve essere $x_1 x_2=3ab$ e $x_1+x_2=6a-4b$; per essere a e b primi, il prodotto può esser scomposto solo in quattro maniere diverse:
1 e 3ab; 3 e ab; a e 3b; b e 3a. Sostituendo nella somma si ottiene, partendo dall'ultima:
$b+3a=6a-4b$ cioè $3a=5b$, da cui $a=5$ e $b=3$;
$a+3b=6a-4b$ cioè $5a=7b$, da cui $a=7$ e $b=5$;
$3+ab=6a-4b$ cioè $6a=b(a+4)+3$, che comporta $b<6$ e dispari, per $b=3$ si ritrova la prima per $b=5$ si ottiene $a=23$;
$1+3ab=6a-4b$ cioè $6a=b(3a+4)+1$, impossibile, perché dovrebbe essere $b<2$.
Ciao

Pasquale
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Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Equazione parametrica

Messaggio da Pasquale »

Bellissima! Non so se ci sarei arrivato, ove mi fossi ricordato della proprietà della somma e prodotto delle radici nelle equazioni di 2° grado.
Comunque mi è tornato utile il ripasso.
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