Su ciascun lato di un triangolo ABC abbiamo segnato le estremità dell'altezza e della bisettrice relative al vertice opposto. I sei punti segnati sono distinti.
Domanda: con il solo aiuto di una riga e tracciando un numero a piacere di linee diritte, come distinguiamo le estremità delle bisettrici da quelle delle altezze?
(naturalmente facciamo conto di non poterli distinguere a occhio )

Sur chaque côté d’un triangle ABC, on a marqué les pieds de la hauteur et de la bissectrice issues de chacun des sommets. Les six points sont distincts.
Q: A l’aide d’une règle seule, sans limite sur le nombre de lignes droites à tracer, comment identifier les pieds des hauteurs et les pieds des bissectrices ?

Domanda: qualcuno ha segnato i 6 punti, senza tracciare le altezze e bisettrici, ed io tracciando delle linee devo capire quei 6 punti cosa sono? Se è così, bisogna specificare i singoli vertici da cui derivano i vari punti, oppure no?

Pasquale ha scritto:Domanda: qualcuno ha segnato i 6 punti, senza tracciare le altezze e bisettrici, ed io tracciando delle linee devo capire quei 6 punti cosa sono?

Esattamente così.
Se vuoi, puoi usare la riga per tracciarle.

Pasquale ha scritto:Se è così, bisogna specificare i singoli vertici da cui derivano i vari punti, oppure no?

I punti su un lato sono evidentemente relativi al vertice opposto al lato stesso

ciao

Si, va bene, non ci fare caso .
Praticamente, per ogni punto bisogna dire se è relativo ad un'altezza o ad una bisettrice.
Non disponendo di un compasso o di un goniometro, ad esempio non posso tracciare direttamente un'altezza per vedere su quale punto va a finire e quindi devo escogitare qualche procedimento che mi consenta di risolvere la cosa in modo diverso. La riga millimetrata penso pure che non sia ammessa, altrimenti non ci sarebbe alcuna difficoltà.

In sostanza, devo trovare il procedimento che mi consente di individuare per ogni vertice o il punto della bisettrice , o quello dell'altezza; l'attribuzione dell'altro punto avverrebbe per esclusione.

Adesso vado a letto con la speranza di sognare la soluzione.

Mi ci sono un po' rotto la testa, ma non ci arrivo. Naturalmente tiro le sei linee, ci sono solo due punti in cui si incontrano tre linee, il circo centro in cui si incontrano le bisettrici e l'ortocentro (mi pare sia quello il nome) in cui si incontrano le tre altezze. Così ho distinto i due gruppi, ma non vedo come si possano distinguere ortocentro e circocentro solo tirando linee da punto a punto. Be', i problemi geometrici non sono mai stati il mio campo...


Dani

Franco, come cavolo si fa? se non dai una spinta, questo problema cade nel dimenticatoio.

Dani

Credo che di linee se ne debbano tracciare 6 dai vertici, più 9, cioè congiungere ciascun punto segnato con tutti gli altri....

Io per semplificarmi la vita ho lavorato su un equilatero. I punti di incontro oltre ai due centri sono solo 2; li unisco con una retta... e poi? Naturalmente questa retta incontra altre rette, trovo altri punti, tiro altre rette... ma non si risolve il problema tirando rette a caso.

Dani

Dani Ferrari ha scritto:Franco, come cavolo si fa? se non dai una spinta, questo problema cade nel dimenticatoio.

Non lo so
Ci sto sbattendo la testa da un po' anch'io ma non ho trovato nulla.

Il bello è che proponendo il problema, ho tradotto dal sito originale solo la prima parte.
In realtà c'era anche questa seconda domanda:
Q₂ Même question que précédemment en traçant trois lignes seulement.
Tre sole linee!

(il problema è il D623; uno di quelli proposti per il mese di Ottobre)





ciao

Dani Ferrari ha scritto:Io per semplificarmi la vita ho lavorato su un equilatero. I punti di incontro oltre ai due centri sono solo 2;...

Qui non ti capisco: se il triangolo è equilatero le bisettrici coincidono con le altezza (e con le mediane).
Dove sono i due centri e i due altri punti di incontro?


In ogni caso nel testo del problema si dice che i punti segnati (estremità di altezze e bisettrici) sono distinti fra loro, quindi il triangolo è necessariamente scaleno.


ciao

Scusa, un errore di sbaglio, isoscele

Dani

Ipotesi di lavoro:

ho l'impressione che ci sia da ragionare sui due punti d'incontro, nel senso che bisogna individuare quale dei due sia l'ncontro delle bisettrici, magari con qualche particolare costruzione dalla quale lo si possa dedurre.
Questo spiega la seconda domanda in base alla quale è possibile risolvere il quesito con meno "mezzi" a disposizione.... se si può dimostrare che un certo punto d'incontro è quello delle bisettrici, l'altro è quello delle altezze; se non si può dire (in base ad una particolare e ragionata costruzione geometrica) che un certo punto è quello delle bisettrici, allora vuol dire che è quello delle altezze e quindi gli altri punti che non convergono al primo sono quelli relativi alle bisettrici.

Perché penso che il punto principale da individuare sia quello delle bisettrici ? Perché è un punto particolare, perché ad esempio è equidistante dai 3 lati.

L'unico freno che c'è alla risposta è il divieto di presumere che si possano effettuare delle valutazioni ad occhio, però, però........sarebbe ammesso l'espediente che segue?


Traccio da ogni vertice le congiungenti ai punti segnati sul relativo lato che vi si oppone ed evidenzio i due punti notevoli in cui convergono tali congiungenti a tre a tre;
prendo un pezzo di carta squadrato, come ad esempio un foglio della stampante; sistemo un bordo del foglio in modo che coincida con un lato del triangolo e quindi piego il foglio lungo una linea parallela al precedente bordo, aiutandomi con gli altri due bordi adiacenti al primo, in modo che la linea di piegatura passi per uno dei due punti d'incontro, costruendo così un righello con una larghezza particolare;
sposto tale righello su un altro qualsiasi degli altri due lati del triangolo e se si adatta allo stesso punto precedente, quello è il punto d'incontro delle bisettrici con le deduzioni di conseguenza; se non si adatta, allora quello era il punto d'incontro delle altezze.

Dani Ferrari ha scritto:Franco, come cavolo si fa? se non dai una spinta, questo problema cade nel dimenticatoio.

Le sei estremità sono distinte, quindi il triangolo ABC è scaleno.
Su ciascun lato del triangolo, l'estremità dell'altezza è situata tra l'estremità della bisettrice e il vertice del minore di due lati adiacenti.
Quindi per risolvere il problema è sufficiente saper mettere in ordine di lunghezza i tre lati del triangolo.

Comme les six pieds sont distincts, le triangle ABC n’est pas isocèle et les trois côtés sont de dimensions distinctes.
Sur chaque côté du triangle, le pied de la hauteur est situé entre le pied de la bissectrice et le plus petit des deux autres côtés.
Dès lors, les deux questions sont résolues si on sait classer les côtés selon leurs dimensions du plus petit au plus grand.

fin qui c'ero arrivato subito; dove mi blocco è nel "misurare" le lunghezze dei segmenti solamente tracciando linee rette. Vale a dire, interpreto, senza il compasso per riportare le lunghezze.

Lo leggo solo ora. Aspetta aspetta... forse è lo spunto giusto. Assumo che il lato A sia il più corto. Allora i due punti più vicini ad esso sui lati B, C sono estremità di altezze. Le traccio - il loro punto d'intersezione è l'ortocentro. Lo collego col terzo vertice; se il prolungamento di tale retta non incontra uno dei punti segnati su A, l'ipotesi è falsificata, A non è il lato più corto. Se incontra uno dei punti segnati su A o sono tre altezze o sono tre bisettrici. Allora ripeto la stessa prova con gli altri due lati. Mi pare che si riesca a distinguere, non sono sicuro. Dovrei fare delle prove, ma ora non posso.

Dani