Radice 2 NON è un irrazionale,

Siamo noi che abbiamo dato irrazionalmente questo nome a certi numeri.

Se per "irrazionale" si intende un numero, con decimali, non esprimibile mediante una frazione e con un numero infinito di cifre... quindi non è un numero "esatto"

...ALLORA RADICE 2 NON E' UN "IRRAZIONALE" in quanto è, invece, esprimibile con il numero ESATTO:

sqr(2) = 1 M(2) 1

x 2x-1 2 resto
1 2-1 1 2-1 1

Cioè come 1 + resto 1 nell'operazione a modulo M(2) = (2x-1)

La questione sollverà l'orda dei soliti rigoristi che assegnano un nome a tutto e pretendono poi che nessuno più li contraddica...

Quindi a parte l'irriverente gioco di parole la questione che mi interessa:

E' lo stesso per pi-greco ?

Cioè, non è che a ben cercare si trova un modo per esprimerlo in modo esatto con soli interi (come accade, ad esempio per gli irrazionali derivanti da radici ennesime) ?


Ciao,
Sempre molto irriverentemente
Stefano

Per una curiosa coincidenza,proprio in questi giorni ho iniziato la lettura di questo libro.
Secondo l'autore Benoit Rittaud le tracce più antiche di un concetto che possa essere ragionevolmente assimilato alla radice quadrata di 2 risalgono alla civiltà babilonese.
Lo testimonia una piccola tavoletta di argilla catalogata con la sigla YBC 7289:vedansi la pagina 85 del file .pdf consultabile a questo link.
Sempre secondo l'autore i primi accenni espliciti ai numeri razionali iniziano con uno dei Dialoghi di Platone, il Menone.
E per quel che riguarda la storia antica mi fermo qui.
Siccome sono curioso, spulciando tra le pagine del web ho trovato più di una dimostrazione che conferma l'irrazionalità della radice quadrata di 2.
Ne elenco alcune:

http://precorso.dicom.uninsubria.it/lez ... sqrt2.html

http://www.gpmeneghin.com/ftp/rad2.pdf

http://www.mat.uniroma1.it/didattica/ss ... agina3.htm

http://www.youtube.com/watch?v=qqA414gNsW8

http://areeweb.polito.it/didattica/poly ... PPUNTI.HTM

Ora dopo tutto questo bel po-pò di dimostrazioni,confesso che la tua argomentazione (che non ho ben compreso,per colpa mia ovviamente) mi lascia di stucco.

Puoi spiegarmi meglio ciò che hai scritto sulla radice quadrata di 2?
sqr(2) = 1 M(2) 1

x 2x-1 2 resto
1 2-1 1 2-1 1

Cioè come 1 + resto 1 nell'operazione a modulo M(2) = (2x-1)
Grazie.peppe

Sinceramente non ho capito se è soltanto una questione di terminologia quella che viene sollevata, nella scelta fra irrazionale, inesatto, ignoto, impreciso, approssimato, inesistente, quasi esistente, ecc.
Se così fosse, non vedo il problema, perché per ogni termine utilizzato penso sia sufficiente darne una definizione (per capirsi).
Se non è solo questo il problema, allora non ho capito.

In fondo, anche l'operazione di radice necessita di una definizione...." dico che radice quadrata di a=b se il quadrato di b=a"; tutto sta a vedere a cosa serve l'operazione.

Prendiamo l'esempio del rettangolo con i lati di metri 2 ed 1: la sua area è di metri quadri 2 ed è nota, il rettangolo esiste;trasformiamo il rettangolo in quadrato, come in una delle spiegazioni trovate da Peppe, e vediamo che il quadrato esiste ed il lato ha lunghezza pari alla radice di 2; quanto è lungo il lato, con precisione, non si sa, ma il quadrato c'è, cioé il quadrato di un numero non definito è un numero ben definito.
A volte dunque non è necessario conoscere il risultato di un radical due, che potremmo chiamare anche ?, sapendo però che ${?}^2 = 2$, se questo ? entra come operatore in una serie di calcoli tali che il nostro ? viene elevato ad una potenza pari.
Se dobbiamo fare il recinto del quadrato, allora quella misura diventa importante.

Prendiamo come altro esempio i numeri immaginari, che praticamente non esistono, ma sono definiti; ebbene tali numeri, presi come operatori possono dare risultati reali... qui si fonde l'essere col non essere e dal nulla può essere creato un universo; potremmo dire che l'operazione di elevazione a potenza è un atto di creazione, ma se si eleva a potenza lo zero, il risultato resta zero e dunque solo lo zero rappresenta il nulla, mentre tutto il resto c'è.... preciso, non preciso, razionale o incomprensibile, o incommensurabile che sia...bisogna solo capirlo (vaneggiamento finale)

I

Grazie per aver risposto.

Spero abbiate la pazienza di seguirmi.

Per intenderci definiti i razionali come numeri che non possono essere espressi nella forma A/B, radice 2 è un irrazionale e non ci piove...

Però mi sto sempre più accorgendo che nelle definizioni dei numeri, credo, manchino alcuni sottoinsiemi molto importanti ad esempio:

Gli irrazionali sono divisibili in sottoinsimi distinti ? E Pigreco appartiene o no allo stesso sottoinsieme di radice 2 ?

Per quanto ne so radice 2, come tutte le radici ennesime di interi, hanno una proprietà particolare: possono essere rappresentate con un numero tipo a+jb in cui "a" è la parte intera, e "jb" è il resto dell'operazione a modulo (complicato) il cui valore è pari al risultato intero della sottrazione ricorsiva di:

Mn= X^n-(X-1)^n

Che consente la suddivisione esatta di qualsiasi potenza di interi, di grado n,

in n moduli aventi tutti identica forma: X^n-(X-1)^n (ma ovviamente non dimensione identica)

Mn è quindi quello che chiamo modulo complicato (o orologio a più lancette)

che diventa:

M2= (2x-1) per i quadrati (con x da 1 all'intero della radice),

M3 = (3x^2-3x+1) per le radici cubiche etc...

Ricordare lo sviluppo di Tartaglia per (x-1)^n eliminando il primo termine e cambiando tutti gli altri di segno) , anch'esso intero.


Esempio radice quadrata di 4:

prendere 4

Primo giro dell'orologio x=1 quindi (2x-1) = 1

4-1 = 3

Secondo giro dell'orologio: x=2 quindi (2x-1) = 3

3-3= 0

2 è la radice quadrata di 4....

- Esempio radice cubica di 27:

prendere 27

Primo giro dell'orologio x=1 quindi (3x^2-3x+1) = 1

27-1 = 26

Secondo giro dell'orologio: x=2 (3x^2-3x+1) = 7

26-7 = 19

Terzo giro dell'orologio: x=3 (3x^2-3x+1) = 19

19-19 = 0

3 è la radice quadrata di 27

(etc...)

Se anzi che radice 4 metto radice 5 ho 2 resto 1
Se anzi che radice cubica di 27 metto 28 ho 3 resto 1
etc...

Però posso anche decidere di calcolare con lo stesso metodo la radice cubica di 28 con precisione 1/10, utilizzando come modulo complicato:

M3/10 = 3x^2/10-3x/10^2 + 1/10^3

e tabulando x a passi di 0.1.... oppure 1/100 etc...

Questa è una proprietà legata al fatto che è uno sviluppo di una serie telescopica in cui i termini di mezzo "spariscono"....


La magina si ha quando al porto di 1/n come suddivisione si mette: 1/infinito...

E quindi si deve accettare il fatto che spariscano tutti i termini sucecssivi al primo (infinitesimi di ordine superiore).

Questo è quello che chiamo l'Integrale di Fermat. che porello, secondo voi come avrebbe fatto a farlo entrare nella capoccia dei contemporanei ???

La prova che aveva scoperto il "fattaccio", cioè il calcolo infinitesimale è data dal fatto che negli interi:

|A^n+B^n|Mn = B^n cioè letteralmente "la dimostrazione non sta all'interno del bordo... "

****************

La cosa non mi pare possibile con PiGreco... sapreste dimostrare il perchè ?

Per conto mio la cosa è semplice: l'angolo fra due raggi può essere reso infinitesimo e quindi non è possibile trovare un "modulo esatto" che divida esattamente la circonferenza. Se esistesse, non esisterebbe l'infinito.

Ma che cosa è, per me, il concetto di infinito ? E' semplicemente il modo con cui la matematica ci dice che stiamo facendo un'operazione fra due grandezze indipendenti, o due vettori ortogonali etc... quindi che il problema è a 2 (o più) variabili indipendenti fra loro...

Quindi mentre per alcuni numeri una parte intera, più una parte decimale (finita e/o periodica), quindi del tipo a+jb sono sufficienti ad una rappresentazione completa, per Pigreco servirebbe una serie infinita a+jb+kc+..........etc...

Da quì la semplice ed elegante dimostrazione di Fermat: a partire da n=3 A^n <> C^n-B^n in quanto A^N è funzione di n variabili ortogonali (prima = lato, seconda= area, terza = volume 3d, quarta= volume 4dimensionale etc...), mentre C^n-B^n è funzione sempre e solo di due dimensioni (se si resta negli interi) ad esempio distanza da B e da C.

Se si esce dagli interi Fermat ha sempre una soluzione irrazionale (esprimibile in forma esatta) e cioè con un numero del del tipo A= a+jb (intero + resto intero), oppure un intero con un sfilza di numeri dietro che sembrerebbero irrazionali... ma tali non sono se per irrazionale intendiamo una cosa priva di ordine logico...

Se questo principio è vero, trovano IMMEDIATA soluzioni infiniti problemi ancora aperti... tipo 2P = Pi1 * Pi2 sempre...

Spero di non avervi fatto venire il mal di testa...

Ciao
Stefano

Dimenticavo una cosa: per la dimostrazione è anche necessario anche dimostrare che non solo esistono delle triplette nel caso n=2, ma che qualsiasi A,B o C ha altri due corrispettivi interi che formano una tripletta.

La dimostrazione è semplice:

Preso un qualsiasi A dispari

B= (A^2-1)/2
C= (A^2+1)/2

E moltiplicando ambo i membri per 2 ... si ha che Per ogni A esistono un B ed un C tali per cui... etc...

In sostanza una volta creato un elenco ordinato e "continuo" secondo una data funzione esistono delle regole ben precise che consentono di stabilire che se preso un qualsiasi elemento P, ed il successivo P+1 ed entrambi questi elementi godono di una determinata proprietà allora tutti (e spesso "solo") gli elementi di quell'insieme godono di quella proprietà..

Fermat Graficamente:

Fermat funziona con n=2 perchè i quadrati possono essere espressi come 2 variabili indipendenti nel piano x e y (se pur di pari valore), e lo stesso vale per la differenza fra due quadrati di interi esprimibile con altre 2 "variabili".

Quindi la derivata di entrambe è una retta e le rette nel piano possono essere traslate (mantenendo paralleli gli assi), fino a coincidere.

Se invece si cerca la coincidenza fra una curva in tre o più dimensioni (che purtroppo per vizio e comodità spiaccichiamo su un piano... e questo confonde chiunque affronti il problema) ed una curva in 2 dimensioni allora per si otterrà una intersezione solo se la curva giace su un piano ruotato (una o più volte) rispetto alle direzioni degli assi... quindi entra sempre di mezzo la trigonometria con seni e coseni, che sappiamo essere uguali a 0 o 1 solo se i piani (o gli assi) sono paralleli o ortogonali, e questo succede per n>2 solo in punti che per Fermat sono "banali". Per tutti le altre soluzioni c'è l'impossibilità di restare intere...


Lo steso concetto è che le somme/sottrazioni possono essere operazioni che restano nel piano (o in uno spazio pari dimensionale) mentre le moltiplicazioni possono sempre essere viste come operazioni che portano in spazia ad una o più dimensioni superiori...

Il fatto, poi, che gli interi possano essere scomposti in prodotti di primi e loro potenze (quindi di fatto si parla di operazioni di somma e sottrazione fra punti, se A,B,o C sono potenze di un solo primo, piani se lo sono di soli 2 primi, e iperparallelepipedi se lo sono di più di 2 primi....) crea quell'aura di magia per un teorema che resterà per sempre affascinante e ostico da comprendere nella sue, infinite, implicazioni.

Credo che per qualcuno questa mia "dimostrazione" appaia come il limite (all'iinfinito) dell'astrazione di una dimostrazione: "è così, perchè è così", che è quanto di più lontano dalla matematica si possa immaginare....

Però, mi spiace, ma non credo sia così: non è un atto di fede, è questione di riuscire a capire la logica rigorosa che sta dietro al ragionamento, probabilmente solo riscoperto, in anni di arrovellamenti di cervello...

Vorrei avere più tempo da dedicare (anche allo studio...) perchè mi pare si aprano orizzoniti fantastici nello studio e nella comprensione del mondo dei numeri e del calcolo infinitesimale (e probabilmente anche quello funzionale...). tra l'altro con una facilità di spiegazione anche a scolari delle medie superiori...

Credo quasi tutti i problemi irrisolti facciano capo a questo filone: la matematica a noi nota non era pronta ad affrontarli solo perchè non avevamo capito come affrontarli (e non è detta, ovviamente, che, invece, io abbia toppato tutto...)

Ciao
Stefano

p.s. è un po' che posto ste cose in giro per i siti cercando confutazioni o rispote... e qualche furbetto sta già mettendo in giro affermazioni del tipo "io ho dimostrato che..."...
A me non frega nulla, però se la cosa fosse provata e trascritta in modo comprensibile faccio solo prensente che ho date certe di quanto affermo... e sono anni che ci "lavoro" sopra...

...Principio d'induzione, trascendenza dei numeri etc... sono quindi tutti legati da un unico filo logico: il modo in cui abbiamo deciso di contare le nostre dita...

Chissà, forse ci preesistono e stanno lì fluttuanti nell'universo in attesa che qualcuno li scopra e ci giochi.

La differenza fra un irrazionale ed un trascendente, secondo me sta nel fatto che, mentre con un irrazionale inserito in un calcolo c'è la possibilità di ottenere un risultato preciso, a certe condizioni (es: entra nel calcolo con la stessa potenza dell'indice del radicale da cui deriva, o suo multiplo, cioè torni indietro da dove sei venuto, oppure lo dividi per se stesso o lo moltiplichi per zero), col trascendente no; il pigreco, che deriva dal rapporto tra le circonferenze ed i loro diametri, anche se lo moltiplichi per il diametro preciso di una circonferenza, cosa dà? una circonferenza imprecisa, cioè non puoi tornare indietro; in sostanza nasce per calcolare una dimensione da cui deriva, il che sembra una cosa assurda.
Per ottenere un risultato preciso in un calcolo in cui c'è pigreco come operatore, occorre solo eliminarlo, come ad esempio ove venga diviso per se stesso o moltiplicato per zero.
Mi sembra di intravvedere questa differenza, non so se ho detto cavolate e sarebbe gradito il parere di qualcun altro più in là con le arcane conoscenze.

Direi che è proprio così... Il mio interesse, ora è capire se è proprio vero che non c'è modo di "modulare" i trascendenti...

Ciao
Stefano

Altre interessanti "evidenze" utilizzando il mio modulo complicato sui quadrati:

Se provate a tabulare il risultato dell'operazione radice quadrata sui numeri:

p p^1/2
(2x-1)
1 1
2 1 R1
3 1 R2
4 2
5 2 R1
6 2 R2
7 2 R3
8 2 R4
9 3
10 3 R1
11 3 R2
12..
13..
14 3 R5
15 3 R6
16 4
17 4 R1 etc...

Quindi Rmax= 2*INT(p^1/2)

se P= X^2 allora (P-1) è tale per cui (P-1)^1/2 = INT(P-1)^1/2 + R(resto) 2*INT(P-1)^1/2


Il resto è quindi il segnale per capire se il numero è o meno un quadrato (o una potenza n).

Il resto delle radici quadrate:

- ha un comportamento a dente di sega, definito a tratti,

- è pari a zero in corrispondenza dei quadrati,

- è linearmente crescente

- in corrispondenza di P^2-1 è massimo

- questo massimo ha un valore molto "caratteristico" che vale: 2*(P^1/2 -1).

Quindi la comparsa di un quadrato X^2 è prevedibile già un numero prima P = (X^2 -1),

Quindi la comparsa di un quadrato non solo implica resto zero,

ma anche che il resto della radice del numero precedente (P^2 -1)^1/2 abbia resto massimo pari a 2*(P^1/2-1).

e dato che la funzione Resto ha un comportamento lineare è facile stabilire da un quadrato, il prossimo, solo utilizzando la funzione Resto:

(P+1)^2 = P R 2P + 1 (leggi P resto 2P + 1)


Grazie a questa proprietà è, anche, possibile trovare fra le triplette dei numeri "speciali" (che non ho il tempo ora di elecare)

Succede così per le altre potenze ?

No, se provate con n=3 vedrete che il resto ha un comportamento differente: sempre massimo prima della radice intera, ma non più con comportamento di crescita lineare. Serve un'altra coordinata libera per determinarne il valore.

Quindi nel nostro "spazio a modulo complicato" abbiamo ben chiarito che se mettiamo sulle X gli interi e sulle Y la funzione Resto, avremo un quadrato ad ogni zero della Y...

Per ricostruire l'equivalente del paesaggio "Zeta"... non resta che ricordare che sull'asse Z troviamo i numeri primi con la relazione:

z= P!/P^2

Se z è intero, abbiamo P = non primo, se P è primo avremo z non intero.

Quindi se prendiamo la sola parte decimale di z e la usiamo come coordinata Z avremo ricostruito un paesaggio che ci indica chiaramente chi sono e dove stanno i numeri primi. Se sappiamo che sono e dove stanno è anche facile contarli.

Cioè per essere certi di passare da tutti e soli i primi basta imporre che la nostra funzione passi per i quadrati e che a loro volta questi quadrati passino per la condizione che ci dice che la base è un primo.

Quindi di accrocchi matematici per contare i primi se ne possono fare molti altri oltre a quelli noti (RH, o usando la funzione seno ed Int o questo etc...)...

Il mio mi pare di gran lunga il più semplice.

Ecco perchè quell' 1/2 di RH resta tale all'infinito: è una delle 2 condizioni necessarie per "beccare" i primi con quel metodo.

Nulla però vieta di usare un'altra potenza, ed arrangiare l'accrocchio matematico per farlo funzionare allo stesso modo...

...C'era un milioncino in palio e resta ancora uno dei problemi del millennio...., quindi mi aspetto che qualche milione di furbetti ci si butti a capofitto sperando di essere il primo ad arrivare ad una soluzione "accettata"...

Mi pare che lo studio delle proprietà dei Resti delle operazioni a Modulo Complicato consenta di dare, in modo evidente, molte spiegazioni a problemi presentati in forme tali da renderli quasi incomprensibili o irrisolvibili...

Bah, ci sarà qualcuno che mi risponde in materia ? Sono 3 anni che mi ci arrovello sopra... ricevuto pernacchie e insulti, lucchetti e apostrofi... ma mai qualcuno che sia entrato nel merito...

Ciao
Stefano

Io no, perché non ne sono in grado, ma mi piacerebbe che la questione venisse trattata da altri a livello superiore, che sia in grado di seguirti e discutere dell'argomento, interessante ancorché "complicato".
Forse, è soltanto un parere, potresti provare ad esporre i tuoi studi in maniera meno sintetica e con un linguaggio più semplice, accattivante ed alla portata di chi non ha mai affrontato queste faticose "mulattiere" matematiche.

Partiamo dal principio:

E' chiaro cosa sia il "modulo complicato" ? Un orologio a più lancette

E' chiaro come funziona per le potenze ? E' facilmente estraibile dal triangolo di tartaglia

E' chiaro come funziona sulle radici ennesime ? Permette di calcolare qualsiasi radice n-esima con una sottrazione ricorsiva. Nel caso di interi il risultato della radice è sempre esatto

E' chiaro che portando questa operazione al limite per le suddivisione a 1/infinito si ha un calcolo infinitesimale, quindi un integrale ?

E' chiaro quali siano le analogie che si possono fare per discriminare gli irrazionali dai trascendenti e quale insegnamento ne derivi ?

E' chiaro quali siano le implicazioni nell'UTF e quali in RH ?

E' chiaro che possa essere usato, come le tavole dei logaritmi, per il calcolo dei fattoriali ?

ma sopratutto, vi interessa capire di che cosa si tratta ?

Grazie,
Ciao
Stefano

Ciao Stefano,rispondo solo per non sembrare scortese e per dirti con molta franchezza che non sono
in grado di seguire il tuo ragionamento.Il tuo è per me veramente un "modulocomplicatissimo".

A proposito di modulo,nel libro che sto leggendo,ho trovato questo accenno:

[...]La tabella in cui si illustra il caso della base 7 mostra due relazioni interessanti:(3)^2=2 modulo7 e (4)^2=2 modulo7.
Finché ci si limita a considerare l'aritmetica modulare come sottoprodotto di quella ordinaria in queste relazioni non sembra esserci nulla di particolare.
Adesso cerchiamo di prendere le distanze,e analizziamo gli insiemi Z/nZ per ciò che che sono:
strutture numeriche altrettanto coerenti di quelle che ci sembrano più abituali.
Al loro interno,la nozione di elevazione al quadrato ha un senso,e dunque anche quella di radice quadrata:una <<radice quadrata>>
di un elemento a di Z/nZ non è altro che un elemento b di Z/nZ tale che (b)^2=a modulo n.
Quindi in Z/7Z,per esempio,3 è una radice quadrata di 2,dato che (3)^2=2 modulo 7.
Ecco come diventa razionale la radice quadrata di 2.
Certo,siamo difronte a un cambiamento di significato notevole,perché la <<radice quadrata di 2>> in questione non è la stessa che abbiamo considerato finora.
In gioco,qui,c'è il senso della definizione del <<numero che,moltiplicato per se stesso,dà 2>>,definizione che dipende in maniera cruciale da ciò che chiamiamo
<<numero>>.
Anche se, in generale,si riserva questa definizione ai numeri che chiamiamo<<reali>> (quelli con cui siamo abituati a lavorare,e che definiscono
il contesto principale del libro),un'analisi più precisa mostra che vi possono aspirare anche altri oggetti matematici,e gli elementi di Z/7Z
ne sono un esempiuo:anche loro,in effetti,si sommano,si sottraggono,si moltiplicano e si dividono per due...e anche loro possono avere
delle <<radici quadrate>>,come 2 nel caso di Z/7Z (ma il <<2>> di cui stiamo parlando in questo caso,comunque,non è quello dei numeri reali).
Per esprimere il fatto che 2 (ad esempio) possiede una radice quadrata in Z/nZ,si preferisce indicarlo come <<residuo quadratico modulo n>>.
Grazie a quanto si è detto finora,si può dimostrare che i n umeri n per i quali l'aritmetica modulo n non consente di stabilire che
la <<vera>> radice quadrata di 2 è irrazionale sono esattamente quelli per cui 2 è un residuo quadratico modulo n.
Nel nostro caso è questo il legame principale tra i vari concetti di <<2>> che stiamo presentando (quello di 2 come numero reale e quello di 2 come elemento di Z/nZ)

Quando 2 è un quadrato?

Il modo più semplice per determinare quali sono i valori di n per cui 2 è un residuo quadratico modulo n è di cominciare con gli interi primi
(cioè che hanno come unici divisori se stessi e l'unità).Per loro vale il risultato seguente,che prendiamo per buono e che è dovuto principalmente a Gauss:
sia p un numero primo (diverso da 2).Indichiamo con r il resto della divisione per 8.
A priori,r potrebbe essere un intero qualunque tra 0 e 7,ma dal momento che p è primo r non può essere uguale a 0,2,4 o 6 (altrimenti p sarebbe pari,e
dunque non primo - il valore p=2 si studia a parte).
Il resto r,quindi,può valere 1,3,5 o 7.Il risultato generale è che 2 è un residuo quadratico modulo p(dove p è primo) se,e solo se ,r vale 1 o 7.
I valori 7,17,41, e 97 sono esempi di numeri primi per cui r vale 1;si ha r=7 prendendo p= 23,31,47 o 71.
Nel caso in cui il numero n è il prodotto di due numeri p e q,poi,se 2 è un residuo quadratico in Z/nZ,allora lo è anche in Z/pZ e Z/qZ:
in effetti,se x è una <<radice quadrata di 2 in Z/nZ>>,allora esiste un intero k tale che (x)^2=2+kn,che può anche essere riscritto
come (x)^2 =2+(kp)q,da cui deriva che (x)^2=2 modulo q (la stessa cosa vale per p).
Grazie a questa osservazione si può dimostrare che 2 non è un residuo quadratico modulo 35 (poiché 35 =5x7,5 è primo e la divisione euclidea
di 5 per 8 non ha resto 1 né 7 - ma semplicemente 5).
Più generalmente,affinché 2 sia un residuo quadratico modulo n, occorre che lo sia modulo qualsiasi divisore di n.
Se ne può dedurre,ad esempio ,che dal momento che 2 non ammette radici quadrate in Z/4Z,non ne ammette neanche in Z/12Z (visto che 12 è multiplo di 4).
Il criterio permette di eliminare certi valori di n,ma non ci dice se 2 è un residuo quadratico negli altri casi.
Si può dimostrare (servendosi del <<teorema cinese dei resti>>) che in effetti è proprio quello che capita.
Integrando l'analisi separata del caso n=2 con quella dei casi che ne derivano (n=4 e così via), si giunge infine al risultato seguente:
i numeri n tali che 2 è un residuo quadratico modulo n sono,per la precisione,quelli che verificano le due condizioni seguemti:
- n non è multiplo di 4
- tutti i divisori primi (diversi da 2) di n ammettono 1 o 7 come resto della loro divisione per 8.
I valori 2,7,14,17,23,31,34,41,46,47,49...formano l'inizio della lista degli interi n tali che,ponendosi in Z/nZ,diventa lecito affermare che - sempre con il
cambiamento di significato visto poco fa - 2 ammette una radice quadrata intera.[...]

Sia pure in modo un po' fumoso ci ho capito qualcosina grazie anche al chiarimento sui residui quadratici che ho trovato qui.
Spero di non aver complicato ancora di più la faccenda.Saluti da... peppe.

Partiamo dal principio:
E' chiaro cosa sia ...

Caro Stefano,

Per quanto mi riguarda personalmente devo rispondere NO alle prime sette domande che poni, visto che il tutto mi risulta piuttosto poco chiaro.

Evidentemente quindi non so rispondere all'ultima domanda: avendo capito poco delle premesse non so dire se l'argomento mi interessa veramente. In ogni caso non sono in grado di dare un contributo.


Naturalmente tutto ciò non vuole essere "dispregiativo" del lavoro che hai fatto. Si vede che ci hai messo passione e impegno, semplicemente io non lo capisco.

Forse (è solo un mio parere) un forum di matematica ricreativa è poco adatto per discussioni di questo livello, molti degli utenti hanno solo competenze di livello liceale o poco più e magari, come nel mio caso, vecchie di oltre 30 anni .

ciao

Capito: scusate quanto postato presume che si sia capito il punto iniziale da cui sono partito.

Mettete insieme tutte le conoscenze in fatto di teoria dei numeri (non ne servono molte, bastano quelle del liceo !) e provate a pensare se si può inventare un'altro tipo di matematica a modulo, cioè se definiamo come modulo un oggetto di forma predefinita, ma di dimensioni "scalabili".

Esempio: se prendo una tovaglia quadrata, o un tovagliolo quadrato potrò ripiegarli in 4 (all'infinito o quasi) e ottenere sempre come risultato dei quadrati più piccoli...

Ora se da un quadrato molto piccolo voglio ottenerne uno grande il doppio devo quindi imporre che la sua superfice venga aumentata di quante volte ?

E se voglio che il suo lato diventi 3 volte ? etc...

Ricominciamo da quì...

Credetemi il mio livello è veramente basso (non sono nemmeno laureato) e mi sono cimentato in questa cosa proprio perchè una volta compresa bene ti spiega con estrema facilità problemi che sembrano giganteschi, ma solo tali (quasi) solo a causa del fatto che sono stati sepolti da tonnellate di simboli e definizioni... e ognuno ha voluto lasciarci il proprio di segno dando un nuovo nome o, appunto un nuovo segno o un nuvo nome a tutto... fino a che "quelli" ora parlano Klingon e se ne vantano perchè così si possono dire "eruditi" e tagliare fuori dalla conoscenza tutti gli altri "asini"...
Quando asino è, invece, chi avendo capito, non spiega a tutti, ma utilizza la conoscenza per aumentare il suo potere personale (insomma la storia degli uomini di successo... e del mondo che va in rovina grazie alla loro imbecillità... e i veri innovatori ...che muoiono di fame...).

Va bene, iniziamo tutto daccapo.

1° round: 4 volte per lato doppio, 9 volte per lato triplo.