La perla
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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La perla
Ciao Ragazzi
ogni tanto mi rifaccio vivo.
Leggendo l'articolo delle perle d'acqua e del volume della sfera mi sono ricordato che da qualche parte ,nelle mie scartofie , avevo un problemino simpatico che vado a proporvi.
Immaginate di avere una sfera nella quale avete fatto un foro passante per il centro ,
non conoscete ne il diametro della sfera ne il raggio del foro ma solo l'altezza X del foro
( per intenderci la distanza tra le due calotte sferiche eliminate ottenute forando la sfera ) in sostanza è come avere una perla con in bel buco nel mezzo.
Calcolate il volume di questa perla .
ogni tanto mi rifaccio vivo.
Leggendo l'articolo delle perle d'acqua e del volume della sfera mi sono ricordato che da qualche parte ,nelle mie scartofie , avevo un problemino simpatico che vado a proporvi.
Immaginate di avere una sfera nella quale avete fatto un foro passante per il centro ,
non conoscete ne il diametro della sfera ne il raggio del foro ma solo l'altezza X del foro
( per intenderci la distanza tra le due calotte sferiche eliminate ottenute forando la sfera ) in sostanza è come avere una perla con in bel buco nel mezzo.
Calcolate il volume di questa perla .
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Re: La perla
...Carino !
...traccia due piani paralleli a distanza x, adesso prendi il compasso (3d!) e disegna infinite sfere.
Ognuna di quelle con diametro 2*R > x interseca i piani formando 2 cerchi....
Dato che il diametro della sfera e del foro può essere qualunque... puoi certamente stabilire il volume se R=X cioè il foro ha diametro nullo... se, invece, ha un diametro "d" allora mi sa che o c'è una bella fregatura... o R^3 ed R^2, più i cappelli, non quagliano...
.. il tempo... il tempo !
...traccia due piani paralleli a distanza x, adesso prendi il compasso (3d!) e disegna infinite sfere.
Ognuna di quelle con diametro 2*R > x interseca i piani formando 2 cerchi....
Dato che il diametro della sfera e del foro può essere qualunque... puoi certamente stabilire il volume se R=X cioè il foro ha diametro nullo... se, invece, ha un diametro "d" allora mi sa che o c'è una bella fregatura... o R^3 ed R^2, più i cappelli, non quagliano...
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Re: La perla
Se ho capito bene, tagliando le due calotte, il buco è un cilindro e x la sua altezza.
In tal caso, chiamado 2x tale altezza, invece che x, direi intuitivamente che il volume cercato misura $\frac{4}{3}\pi x^3$.
Vale a dire che utilizzo la stessa formula del volume di una sfera intera di raggio r, utilizzando x al posto di r.
In sostanza, stringendo gradualmente il buco, la semialtezza x del cilindro tende ad r e tuttavia poco prima il cilindro resta un cilindro ed il volume della sfera meno un pochino è quasi uguale a quello della sfera; se assumo questo cone volume della sfera bucata, sbaglio di poco e se continuo ad avvicinarmi alla sfera intera, sbaglio sempre meno, fino a raggiungera l'uguaglianza completa, perché il buco non esiste più.
D'altra parte, se la sfera resta bucata, il volume è minore di quello della sfera ed infatti utilizzando nella formula x al posto di r, ottengo un volume minore di quello della sfera, che intuisco debba essere proprio quello calcolato con la formula.
In tal caso, chiamado 2x tale altezza, invece che x, direi intuitivamente che il volume cercato misura $\frac{4}{3}\pi x^3$.
Vale a dire che utilizzo la stessa formula del volume di una sfera intera di raggio r, utilizzando x al posto di r.
In sostanza, stringendo gradualmente il buco, la semialtezza x del cilindro tende ad r e tuttavia poco prima il cilindro resta un cilindro ed il volume della sfera meno un pochino è quasi uguale a quello della sfera; se assumo questo cone volume della sfera bucata, sbaglio di poco e se continuo ad avvicinarmi alla sfera intera, sbaglio sempre meno, fino a raggiungera l'uguaglianza completa, perché il buco non esiste più.
D'altra parte, se la sfera resta bucata, il volume è minore di quello della sfera ed infatti utilizzando nella formula x al posto di r, ottengo un volume minore di quello della sfera, che intuisco debba essere proprio quello calcolato con la formula.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: La perla
Il metodo classico per la soluzione per via geometrica è il seguente:
Si consideri il diametro della sfera (incognito) e con questo si calcoli il volume della sfera senza foro. Quindi si sottragga il volume del cilindro (di altezza nota ma raggio incognito) e quello delle due calotte sferiche (sono incognite tutte le misure). Alla fine ci sarà, con la semplificazione di tutte le incognite, la soluzione.
In effetti però ragionando come Pasquale si arriva alla soluzione prima infatti se l'altezza H è uguale al diametro (cioè il foro è piccolissimo ) il volume della perla è pari a quello della sfera mentre se H tende a zero (cioè il foro diventa così grande da far diventare la sfera un anello) il volume rimanente tende a zero.
Si consideri il diametro della sfera (incognito) e con questo si calcoli il volume della sfera senza foro. Quindi si sottragga il volume del cilindro (di altezza nota ma raggio incognito) e quello delle due calotte sferiche (sono incognite tutte le misure). Alla fine ci sarà, con la semplificazione di tutte le incognite, la soluzione.
In effetti però ragionando come Pasquale si arriva alla soluzione prima infatti se l'altezza H è uguale al diametro (cioè il foro è piccolissimo ) il volume della perla è pari a quello della sfera mentre se H tende a zero (cioè il foro diventa così grande da far diventare la sfera un anello) il volume rimanente tende a zero.
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Re: La perla
E no, VOGLIAMO IL CONTO dall'inizio alla fine !
Io sono come San Tommaso: Se non vedo non credo...
Anche perchè è interessante la semplificazione...
Però il vero fatto interessante è che la soluzione (geometrica) sta nel piano, non nello spazio...
Ciao
Stefano
Io sono come San Tommaso: Se non vedo non credo...
Anche perchè è interessante la semplificazione...
Però il vero fatto interessante è che la soluzione (geometrica) sta nel piano, non nello spazio...
Ciao
Stefano
Re: La perla
Ci provo a toccare col dito.
Indico con:
Raggio della sfera = R (incognita)
semialtezza del cilindro = H (valore noto)
Altezza calotta = a = R-H (incognita)
Raggio base cilindro = x = $\sqrt{R^2 - H^2}$ (incognita)
Si ha che:
Volume cilindro = $2H\pi x^2 = 2H\pi\(R^2 - H^2\)$
Volume calotta = $\pi a^2\(R-\frac{a}{3}\) = \pi \(R-H\)^2\(R-\frac{R-H}{3}\)$
Il volume del solido cercato è dato dalla differenza fra il volume della sfera ed il volume del cilindro, oltre il doppio del volume di una calotta. Dunque, sviluppando:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 - \(2\pi R^2H - 2\pi H^3\) - \(\frac{4}{3}\pi R^3 - 2\pi R^2H +\frac{2}{3}\pi H^3\) = \frac{4}{3}\pi H^3$
C.A.I. (Come Avevo Intuito)
Indico con:
Raggio della sfera = R (incognita)
semialtezza del cilindro = H (valore noto)
Altezza calotta = a = R-H (incognita)
Raggio base cilindro = x = $\sqrt{R^2 - H^2}$ (incognita)
Si ha che:
Volume cilindro = $2H\pi x^2 = 2H\pi\(R^2 - H^2\)$
Volume calotta = $\pi a^2\(R-\frac{a}{3}\) = \pi \(R-H\)^2\(R-\frac{R-H}{3}\)$
Il volume del solido cercato è dato dalla differenza fra il volume della sfera ed il volume del cilindro, oltre il doppio del volume di una calotta. Dunque, sviluppando:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 - \(2\pi R^2H - 2\pi H^3\) - \(\frac{4}{3}\pi R^3 - 2\pi R^2H +\frac{2}{3}\pi H^3\) = \frac{4}{3}\pi H^3$
C.A.I. (Come Avevo Intuito)
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Re: La perla
...quindi riusciresti anche ad utilizzare un integrale come limite di sommatoria (da 0 ad H) delle ciambelle di altezza dH ...
...Quello che sta dentro l'integrale è quello che io chiamo modulo complicato... che ovviamente è una funzione di 2° grado in una incognita H... quella funzione, manco a dirlo, descrive l'area di una figura piana "spigoluta"...
Se al posto di una sfera si avesse un semi-toro formato dalla rotazione di una porzione di parabola attorno ad un asse in una condizione particolare (x e y interi) ci sarebbero state altre sorprese... quali ?
geometria, algebra, calcolo infinitesimale, topologia... è sempre tutto collegato... solo che ci tocca scoprire come e riflettere sul perchè... ma è così infinita che si finisce con il conoscere al massimo un micropezzetto di nulla (Murphy)
Scusate se sono noioso, ma spero che, prima o poi qualcuno si pronunci sull'argomento modulo complicato...
Ciao !
Stefano
...Quello che sta dentro l'integrale è quello che io chiamo modulo complicato... che ovviamente è una funzione di 2° grado in una incognita H... quella funzione, manco a dirlo, descrive l'area di una figura piana "spigoluta"...
Se al posto di una sfera si avesse un semi-toro formato dalla rotazione di una porzione di parabola attorno ad un asse in una condizione particolare (x e y interi) ci sarebbero state altre sorprese... quali ?
geometria, algebra, calcolo infinitesimale, topologia... è sempre tutto collegato... solo che ci tocca scoprire come e riflettere sul perchè... ma è così infinita che si finisce con il conoscere al massimo un micropezzetto di nulla (Murphy)
Scusate se sono noioso, ma spero che, prima o poi qualcuno si pronunci sull'argomento modulo complicato...
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Re: La perla
... nessuno ci prova ?
Vperla = Pi * int da 0 ad H di (2H)^2
...o no ? Ma se volessimo ottenerlo come somma finita funzione di soli interi (ovvero se volessimo calcolare il volume equivalente di una pila di dischi, ad esempio ?)
ciao
Stefano
Vperla = Pi * int da 0 ad H di (2H)^2
...o no ? Ma se volessimo ottenerlo come somma finita funzione di soli interi (ovvero se volessimo calcolare il volume equivalente di una pila di dischi, ad esempio ?)
ciao
Stefano
Re: La perla
Ciao Modulocomplicato
non so risponderTi perchè le mie nozioni matematiche non sono così avanzate
però mi è venuta in mente una variante al problema
se oltre al foro "verticale " ne facciamo anche uno "orizzontale" e perpendicolare al primo con lo stesso diametro , che volume ha il nuovo solido ?
Riciao a tutti
non so risponderTi perchè le mie nozioni matematiche non sono così avanzate
però mi è venuta in mente una variante al problema
se oltre al foro "verticale " ne facciamo anche uno "orizzontale" e perpendicolare al primo con lo stesso diametro , che volume ha il nuovo solido ?
Riciao a tutti