Questo è carino, l'ho cercato nel forum ma non trovandolo credo che qui sia nuovo.

Ci sono 3 aerei, uguali tra loro (stesso modello, cilindrata, capacità serbatoio, ecc). Uno di essi deve riuscire a fare il giro completo del mondo.
Il problema è che il serbatoio di un aereo porta al massimo la quantità di carburante sufficiente a fare mezzo giro del mondo, e l'unica stazione di rifornimento utile è quella nell'areoporto di partenza (che è anche l'aeroporto di arrivo).
Però vengono i aiuto gli altri 2 aerei. Infatti i 3 aerei possono passarsi in volo tutto il carburante che vogliono, e possono rifornirsi alla base quante volte vogliono.
Ora, considerando le velocità costanti e i tempi di rifornimento pari a 0 (insomma semplificandolo a problema matematico-geometrico) come dovranno comportarsi i 3 aerei per permettere a uno di loro di compiere il giro del mondo, nel minor tempo possibile, senza che nessuno precipiti a causa del carburante esaurito?

il problema è analogo a quello, noto, dell'attraversamento del deserto, con due varianti MOLTO interessanti:
la circolarità del tragitto
la impossibilità di soste sia per il circumtrasvolatore, sia per i mezzi addetti al rifornimento.

Tralasciamo, oltre ai tempi tecnici di rifornimento, i problemi legati a possibili rotte "non equatoriali".
tralasciamo anche complicazioni legate alla direzione del volo, o ad ipotetici viaggi nella direzione nord-sud

Per cercare di essere chiaro, propongo questa notazione:
la rotta sia una circonferenza; la partenza/arrivo sia a ore 6 e la direzione sia oraria.
Chiamiamo 0 il punto di partenza e identifichiamo i punti corrispondenti alla ripartizione in sei parti uguali della circonferenza con
1 (a ore
2 (a ore 10)
3 (a ore 12)
4 (a ore 2)
5 (a ore 4)
6 viene a coincidere con 0

La parte più semplice è ricostruire lo scenario finale della trasvolata

Il nostro eroe arriva a 5 con il serbatoio quasi vuoto, e fa appena in tempo a caricare un terzo di serbatoio da un collega che, venutogli incontro, si presenta all'appuntamento con 2/3 di serbatoio; i due si dividono equamente il carburante, e ciò consente loro un felice rientro alla base.
Per arrivare a 5 col serbatoio vuoto, il nostro eroe è stato in grado di avere il pieno nel serbatoio al punto 2
Il problema adesso non è come fare arrivare al punto 2 il nostro amico con il serbatoio da riempire, ma piuttosto quello di far giungere colà aerei cisterna ancora tanto pieni da poter affrontare il viaggio di ritorno.
Se il nostro campione parte, col pieno, e con un aereo gemello al fianco, arrivato al punto 1 (con ancora 2/3 della benzina) potrà rifare il pieno succhiando benzina dal suo amico, che con il terzo restante riesce a tornare alla base.
Proseguendo il volo, il nostro arriva al punto 2 di nuovo col serbatoio pieno per 2/3
Basta dunque che in quel punto qualcuno possa cedergli 1/3 di serbatoio di benzina.
Immaginiamo che tutto quello che abbiamo descritto sia stato "duplicato" da un altro aeromobile: avremo due aerei al punto 2, ciscuno con 2/3 di carburante.
Uno cede un terzo all'altro, che, col pieno parte per giungere in 5, da dove sappiamo già che non avrà problemi.
L'altro aereo, rimasto con 1/3 di carburante si incammina verso 1, dove viene raggiunto da un collega che lo rifornisce dell'ultimo terzo mancante.

Questo scenario, non posso garantire che descriva la soluzione minima, ma , per la note legge che "esagono è bello", ve la propongo così come è spuntata nella mia testa

Quasi giusto.
Non torna il primo pezzo del tragitto, da 0 a 2.
Devi tenere conto della contemporaneità di volo degli aerei, e del fatto che volino alla stessa velocità.
Infatti tu dici che l'aereo che deve fare il giro (supponiamo A) arriva al punto 1 con 2/3 di carburante e che prende 1/3 di carburante dall'aereo B, partito insieme a lui, che col resto di carburante riesce a tornare alla base.
Fin qui ok. L'aereo A arriva al punto 2 con 2/3 di carburante.
Poi dici che quanto successo dovrebbe essere duplicato da un altro aeromobile, ma questo è impossibile.
Infatti se insieme ad A e B parte anche C, nel punto 1 B può dare 1/3 ad A ma a C non può dare il 1/3 rimanente perchè gli serve per tornare alla base. Servirebbe un altro aereo per far ciò. Quindi così facendo non si possono avere contemporaneamente 2 aerei (A e B) al punto 2 con 2/3 di carburante.
Quasi giusto comunque.

il mio concetto di "duplicazione" comprende anche il velivolo di appoggio; sono altri due aerei che partono, di cui uno arriva al punto 4 nelle stesse condizioni dell'eroe; anzi potremmo immaginare che fino a quel momento non si sappia quale dei due sarà destinato al grande volo, e quale farà ritorno indietro.
Cose del genere sono successe, non solo in aviazione, quando diversi membri di una spedizione dovevano affronatre rischi e pericoli, pur sapendo che la gloria e gli onori sarebbero andati solo ad alcuni. L'esempio (in negativo) più famoso è quello di W.Bonatti che partecipò alla spedizione sul K2, dando un contributo determinante e rischiando letteralmente l'assideramento, e a cui era stato fatto credere di avere concrete chances di giungere invetta. Onore che invece era stato pre-destinato a C&L , che (pare) avevano mostrato minore tempra fisica del mitico Walter.
Esempio positivo è invece quello di M.Collins, il "terzo" astronauto dell'Apollo che portò Armstrong e Aldrin sul nostro satellite. Pochi altri avrebbero accettato un ruolo di "spalla" in quella esaltante impresa. Ci pensate: andare a pochi chilometri dalla luna, e non scendere !
In quel caso l'equipe psicologica della Nasa fece attentissime valutazioni per garantirsi di aver scelto la persona, e la personalità, adatte al ruolo.
Per inciso, Collins è uno dei pochi astronauti lunari che non ha subito contraccolpi psicologici e caratteriali dopo aver raggiunto quello che, con una qualche ragione, potrebbe essere definito, il massimo dei sogni possibili.
(ma questo è un altro discorso)

delfo52 ha scritto:il mio concetto di "duplicazione" comprende anche il velivolo di appoggio; sono altri due aerei che partono, di cui uno arriva al punto 4 nelle stesse condizioni dell'eroe

Si però così gli aerei sarebbero 4: 2 "eroi" e 2 di appoggio, questo dicevo.
Ma il quesito chiede il metodo con 3 aerei totali: A B e C.
Quesito ancora aperto

Supponiamo che il percorso circolare sia lungo 12, con gli aerei A, B e C che partono assieme dal punto 0 con i serbatoi pieni, cioè con 6 di carburante ciascuno.

Quando A arriva al punto 2 riceve 2 di carburante da B, che torna indietro.

Quando A arriva al punto 2,5 riceve 0,5 di carburante da C, che torna indietro. Ora A ha 6 di carburante e può arrivare fino al punto 8,5.

Quando A arriva al punto 5 gli aerei B e C sono ambedue arrivati alla base 0, per cui possono ripartire coi serbatoi pieni, ma stavolta in direzione opposta.

Quando A arriva al punto 7, B e C arrivano al punto 10; l'aereo C riceve 2 da B, che torna indietro. Ora C ha 6 di carburante.

Quando A arriva al punto 8,5 incontra C, che gli cede metà carburante: A e C hanno 2,25 ciascuno e assieme si dirigono verso il punto 12 (la base 0).

Quando A arriva al punto 9, l'aero B arriva alla base, per cui fa il pieno e torna indietro verso A e C.

Quando A arriva al punto 10,5 i tre aerei si incontrano: A e C hanno ancora 0,25 di carburante, B ne ha 4,5 e ne cede 1,5 ad A e 1,5 a C.

Quando A arriva al punto 12 ha fatto il giro del mondo.

brillante..
se ho fatto bene i conti, dovrebbe essere possibile migliorareil risultato. Mi pare infatti che C, quando arriva a 2,5 e ricarica A, torna a casa con ancora un po' di carburante
Se il rifornimento avviene un poco più avanti (a 2,66) l'ardito volo di A può arrivare fino a 8,66
Forse l'unica differenza è che B può fermarsi a fare pipì...

Ottimo!

Permettimi 2 osservazioni
Alla seconda riga della tua soluzione

Quando A arriva al punto 2,5 riceve 0,5 di carburante da C, che torna indietro

A potrebbe ricevere 1 di carburante, e non 0,5, perchè a C resterebbero comunque 2,5 di carburante per tornare indietro. Quindi C torna alla base con 0,5 di carburante nel serbatoio

Inoltre al penultimo punto

Quando A arriva al punto 10,5 i tre aerei si incontrano: A e C hanno ancora 0,25 di carburante, B ne ha 4,5 e ne cede 1,5 ad A e 1,5 a C.

A e C tornano all'aeroporto con 0,25 di carburante ciascuno nel serbatoio.

C'è da dire però che con la tua soluzione, tralasciando gli 0,5 riportati alla base dall'aereo C nel secondo passaggio e i 0,25 dell'A e del B nel penultimo passaggio, il carburante effettivo utilizzato (cioè bruciato dai motori degli aerei) per questa soluzione è 35/12 di giro della terra, cioè 2,917 circa.
Insomma per permettere all'aereo A di fare un giro completo è stato impiegato il carburante per compiere 2,917 giri.

La soluzione a cui ero pervenuto io impegava il carburante equivalte a 3 giri.
Quindi tanto di cappello.
Anche se la tua soluzione mi ha convinto che il concumo di carburante può essere ancora ridotto...di pochino pochino ma ancora ridotto...

Purtroppo quando A arriva al punto 2,5 può ricevere da C solo 0,5 di carburante perché il suo serbatoio contiene già 5,5.

Quanto al carburante totale utilizzato sinceramente non ci avevo pensato, magari si può migliorare ancora; il problema chiedeva di fare il giro del mondo "nel minor tempo" possibile e io ho l'ho inteso come "nel modo più semplice" possibile. E' per semplicità che non ho fatto come suggerisce Delfo52, pur avendolo visto.

Infatti complimenti per la soluzione, non pensavo si potesse fare in meno di 3 "giri equivalenti" di carburante.
La soluzione che avevo io era di 3, e tu hai trovato 2,917 quindi complimenti.
...
Infatti mi hai fatto pensare ancora e la minima quantità di carburante che ho trovato è di 2,5 "giri equivalenti".
E' vero che non conta il carburante speso ma conta arrivare di là, però è stimolante cercare di ottenere il massimo da un quiz.
Chi vuole provare a fare il giro col carburante sufficiente a far fare 2,5 giri ad un solo aereo? Si può fare di meno?

PS: è interessante riflettere sui giochi e smatematicarci su un pò...
Il gioco dei 3 aerei riesce anche se gli aerei hanno il serbatoio che consente loro di fare meno di mezzo giro della terra, più precisamente il gioco riesce anche se i serbatoi tengono al massimo il carburante per fare 5/11 di giro della terra (e non 6/13 come ho scritto prima, ho editato scusate).
Chi lo dimostra?

edit: un'ultima cosa.
Si può scrivere una formula che, dato x il numero di aerei impiegati, ci dà come risultato la capacità minima che i serbatoi devono avere per poter permettere ad uno di loro di compiere la traversata. E a quanto ammonterebbe il consumo totale di carburante.

Ad esempio, quale sarebbe la capacità minima dei serbatoi nel caso si trattasse di 7 aerei? E quanto carburante consumerebbero in totale?

considerazione psicomatematica laterale.
Avete certamente tutti ammirato lo spirito e la verve, lo slancio appassionato di bautz.
I veterani del forum certamente riconoscono in lui alcuni comportamenti, oserei dire, classici e certamente molto frequenti nei "neofiti".
Sembrerebbe che succeda qualcosa del genere:
uno arriva a Base5 per caso, o indirizzato da un amico-compagno-conoscente-collega, ma penso più facilmente sull'onda della navigazione...
Pian piano si impratichisce del sito...
Comincia a leggere il forum...
Indaga a ritroso nel tempo...
Medita se è il caso di ...passare il Rubicone...
Ad un certo punto si butta, e nelle prime giornate è un fuoco pirotecnico di idee nuove (non tutte) di botta e risposta, quasi uno stato di eccitazione mediatica...

E' successo così a me, e di sicuro molti altri amici possono riconoscere almeno una parte della loro esperienza.

Io credo che, per una sorta di selezione naturale, coloro che, dopo la prima visita, ritornano al sito e vi indugiano, devono avere una qualche "anomalia genetica" un tratto caratteriale o un qualcosa di ancora non conoscibile, che fa loro apprezzare lo stile, la grafica, la "sintassi" del sito. Non ultimo il "genere letterario", mai greve, mai banale, spesso sagace, privo delle abbreviazione così tipiche del web, ...
Semra quasi che il neofita abbia l'urgenza intima di far partecipi delle sue idee, speculazioni, intuizioni, idee lampanti il nuovo gruppo di amcic: finalmente qualcuno che mi capisce, che parla la mia lingua, che se dico "quoto" non mi guarda con occhi vacui... che trova ovvio che 2% significa uno su cinquanta...
Nella vita di uno studente-operaio-impiegato-professionista questo tipo di cose uno spesso deve tenersele dentro, per non passare per marziano. Anche a casa non è sempre possibile trovare udienza e comprensione se si tenta di parlare di numeri primi di Mersenne...
Quando si trova base5, finalmente ci si può liberare, e rendere noti ad una "audience" in grado di capire, e forse apprezzare, idee, pensieri, congetture che da mesi o anni erano represse in un angolo del nostro cervello.

La cosa bella è che, memori delle sensazioni passate, i fruitori abituali del forum si affezionano in poche ore ai "cuccioli"; e li chiamo cuccioli in modo emblematico, senza sapere nulla di bautz, che magari è un arzillo professore di storia dell'arte in pensione col pallino della matematica....

Ditemi se vi riconoscete in questi spunti psico-matemat-basecinquini...

Caspita Delfo52...mi riconosco al 100% in quello che hai scritto, nella descrizione del neofita. (nota: spero nessuno si offenda se nel forum mi rivolgerò sempre dando del tu e non del lei. Mi riesce più facile esprimermi, senza nulla togliere al rispetto, ci mancherebbe).
Nella vita al di fuori del web ho soltanto una persona con cui riesco a parlare, davvero raramente però, di questioni assimilabili a quelle discusse qui in base5.
Da sempre sono appassionato di enigmi logico-matematici, e alla matematica in sè, e spesso mi perdo a pensare a soluzioni o enigmi nuovi, o a soluzioni sempre logico-matematiche che possano venire incontro a situazioni della vita reale, rischiando di lasciare a volte ahimè in secondo piano i doveri quotidiani.
Ho conosciuto questo forum pochi giorni fa, trovato come risposta nel web alla query "rompicapo".
E mi sono piacevolmente sorpreso di non essere l'unico ad avere questa passione (da alcuni definita morbosa), e anzi di non essere tra pochi.
Da quel poco che ho visto posso considerare questo forum una n-esima casa, la casa per le passioni logico-matematiche-orabasecinquine.
E preso dall'appunto citato entusiasmo ho forse postato un pò troppo (?), ricorrendo troppo spesso alle pause dei miei impegni giornalieri. Ma l'ardore del neofita, se pur comprensibile (spero), si tramuterà presto in una pacifica routine (non voglio certo fare spam).
Una cosa mi domando...questo forum è nato nell'aprile 2005, e pure dalle ceneri di un precedente forum a quanto ho capito. Ma perchè quel bellissimo motore di ricerca con tante O non me lo ha mai mostrato prima???
Rinnovo i complimenti agli ideatori di questo forum, e la stima per quelli che ci scrivono.

...

Enrico, come sempre sei molto attento e mi
è piaciuto parecchio questo tuo intervento,
che può essere anche considerato (ma è solo
un aspetto) come un Benvenuto Bautz!
Per quanto mi riguarda, mi riconosco senz'altro
nei tuoi spunti e li condivido pienamente, ma
solo tu avresti potuto dirli in quel modo e renderli
così... irresistibili
Aggiungo una cosina.
Base Cinque è stato il primo forum di matematica
a cui ho cominciato a partecipare. Naturalmente,
è capitato anche a me di frequentarne degli altri,
strada facendo, ma devo dire che nessuno finora
mi è parso confortevole come questo.
Ha qualcosa a che fare, quasi, con una comoda
poltrona (ce n'è una per ognuno!) dentro uno studio
fatto di libri e mille cose curiose e interessanti, in
compagnia di alcuni amici gradevolissimi e delle loro
idee che stimolano sempre.
Ciascuno ha i suoi gusti, ovviamente, ed è giusto
che sia così (anzi: è una ricchezza!).
Ma la presunzione e il voler primeggiare (per non
dire l'arroganza: molto diffusi altrove, purtroppo)
qui sono praticamente invisibili.
Primeggia, invece... la simpatia

Ciao!

Bruno

Cercando di risparmiare carburante la soluzione diventa più semplice (da scrivere, non da trovare...). Come prima, supponiamo che il percorso circolare sia lungo 12, con gli aerei A, B e C che partono assieme dal punto 0 con i serbatoi pieni, cioè con 6 di carburante ciascuno.

Quando A arriva al punto 1,5 riceve 1,5 di carburante da B, anche C riceve 1,5 da B; B torna indietro.

Quando A arriva al punto 3 riceve 1,5 di carburante da C, che torna indietro. Ora A ha il serbatoio pieno e può arrivare fino al punto 9.

Quando A arriva al punto 6 gli aerei B e C sono ambedue arrivati alla base 0, per cui possono ripartire coi serbatoi pieni, ma stavolta in direzione opposta. Parte solo B.

Quando A arriva al punto 9 incontra B, che gli cede metà (1,5) carburante. Parte C.

Quando A e B arrivano al punto 10,5 incontrano C, che cede 1,5 di carburante a ciascuno. Arrivano alla base tutti col serbatoio vuoto. L'aereo A ha fatto un solo pieno, gli altri due pieni ciascuno, quindi il consumo totale è di 6*(1 + 2 + 2)/12 = 2,5 volte il giro del mondo.

Ringrazio Enrico per aver messo giù le parole che io per pigrizia non avrei mai scritto, approvo toto corde le sue considerazioni psicomatematiche. Bravo Bautz che non si accontenta di copiare e incollare i problemi che gli son piaciuti, ma elabora ed inventa.