La conta dei razionali

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
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La conta dei razionali

Messaggio da Bruno »

...

Con uno schema di questo tipo:

Immagine

Georg Cantor stabilì una corrispondenza biunivoca fra l'insieme dei numeri
razionali positivi e i numeri naturali.
Seguendo le frecce, si ottiene la sequenza:

$\frac{1}{1}\,,\; \frac{2}{1}\,,\; \frac{1}{2}\,,\; \frac{1}{3}\,,\; \frac{2}{2}\,,\; \frac{3}{1}\,,\; \frac{4}{1}\,,\; \frac{3}{2}\,,\; \cdots$

Come determinereste i termini di questa sequenza?
(Bruno)

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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
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Edmund
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Messaggio da Edmund »

Di botto mi è venuta questa (apparentemente strana) soluzione:

Supponiamo di voler conoscere il 42esimo termine della sequenza;

trovo i due numeri triangolari inferiore e superiore a n=42 --> Ti=36 e Ts=45

ed applico questa formula:

$\displaystyle \left(\frac{T_s-n+1}{n-T_i}\right)^{(-1)}^{(T_s-T_i)}$

[(45-42+1)/(42-36)]^(-1)^9 = (4/6)^-1 = 6/4

il termine cercato è 3/2.


Per trovare i due numeri triangolari posso sfruttare la seguente

$\displaystyle \left({2t+1}\right)^2=8n+1$

n = 42

t = [SQR(42*8+1)-1]/2 = 8,678...

approssimo t all'intero immediatamente superiore, quindi t=CEIL(8,678...)=9

Ti = t*(t-1)/2 = 9*(9-1)/2 = 36
Ts = t*(t+1)/2 = 9*(9+1)/2 = 45



Con questo programmino in decimal basic è possibile ottenere tutti i termini che si vogliono della sequenza:

FOR n=1 TO 1000

LET t=CEIL((SQR(n*8+1)-1)/2)
LET Ti= t*(t-1)/2
LET Ts= (t+1)*t/2
LET e=(-1)^(Ts-Ti)
LET a=Ts-n+1
LET b=n-Ti

IF e=1 THEN
PRINT USING "####":n;
PRINT " - ";a;"/";b
ELSEIF e=-1 THEN
PRINT USING "####":n;
PRINT " - ";b;"/";a
END IF

NEXT n

END



Ciao.

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Alla faccina del "botto", Edmund... :D
Complimenti!
Bravo anche per il programma, che Pasquale saprà comunque apprezzare meglio
di me.
Bene, questo è il metodo che ho trovato anch'io, quando mi sono posto il problema:
ma la dimostrazione?

Qualche altra idea?

(Bruno)
Ultima modifica di Bruno il mer apr 19, 2006 3:28 pm, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)

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Edmund
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Messaggio da Edmund »

La considerazione fatta da me è questa:
seguendo il percorso delle frecce una volta per il numeratore e una volta per il denominatore posso ricavare quaste due tabelle triangolari:


NUMERATORE

1
21
123
4321
12345
654321
1234567
87654321
123456789
...........

DENOMINATORE

1
12
321
1234
54321
123456
7654321
12345678
987654321
..........


Da quì è scaturito tutto il resto.

Saluti.

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

No, no, un momento: qui si ciurla nel manico....ma che vogliamo scherzà?
Ma come? Uno di botto decide di andare alla ricerca dei numeri triangolari e poi li ficca in una formula di botto pensata?
Ma che stamo a dì?
E l'altro dice che pure lui ha fatto così, però bisogna vedè se altri hanno altre diverse idee.....boh!
Oh, ma il 1° aprile non è già passato?

Tirate fuori il rospo!
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$\text { }$ciao Immagine ciao
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Edmund ha scritto:(...) Da quì è scaturito tutto il resto.
...Edmund, dobbiamo proprio accontentarci di questo?
(Bruno)

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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:(...) E l'altro dice che pure lui ha fatto così, però bisogna vedè se altri hanno altre diverse idee.....boh!
...fa tanto 1° aprile questo? Dopotutto, mi sto limitando a seguire le idee: certo
mi ha colpito il fatto che la proposta di Edmund coincida con le considerazioni
che anch'io ho fatto sulla questione (non di "botto"), ma ciò non significa che
questa sia l'unica soluzione (che in ogni caso dovrebbe essere dimostrata).
Comunque, condivido senz'altro la tua perplessità :wink:
(Bruno)

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Edmund
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Messaggio da Edmund »

Sommando via via gli elementi di ogni riga si ottengono i numeri triangolari


NUMERATORE

1----->1
21----->3
123----->6
4321----->10
12345----->15
654321----->21
1234567----->28
87654321----->36
123456789----->45
...........

DENOMINATORE

1----->1
12----->3
321----->6
1234----->10
54321----->15
123456----->21
7654321----->28
12345678----->36
987654321----->45
..........


ogni termine della sequenza (numeratore e corrispondente denominatore) si trova
posizionato in una determinata riga, individuata dal numero triangolare immediadamente superiore al termine in questione (nell'esempio era n=42 e Ts=45)

Individuata la riga occorre individuare la posizione nella riga; tenendo conto che le due tabelle triangolari differiscono solo per l'ordine dei propri elementi,
per il numeratore le pari sono decrescenti e le dispari crescenti mentre è al contrario per il denominatore, quindi

123456789
987654321

la prima posizione sarà data da: Ts-n+1
la seconda posizione da: n-Ti

per stabilire quale sarà il numeratore e il denominatore facciamo ricorso all'esponente (-1)^(Ts-Ti).


Spero che nonostante la sinteticità vi sia chiaro come ci sono arrivato di "botto".


Ciao

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Ed, che ti possino! Però è forte il ragazzo.
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Edmund
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Messaggio da Edmund »

Grazie Pasquale,
per il "forte" e per il "ragazzo".


Ciao.

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Figuuuuurt !!!! Per il ragazzo penso di si, relativamente ai super anta
Ultima modifica di Pasquale il gio apr 20, 2006 5:15 pm, modificato 1 volta in totale.
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Oh, bene!
Contento di vedere il bravo Edmund e Pasquale in un più lieto scambio,
anche se son passato (del tutto frainteso) per chi stava contribuendo
ad apparecchiare un 1° aprile :wink:

Bruno
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Messaggio da Edmund »

Data la corrispondenza biunivoca tra i razionali e i naturali c'è da chiedersi
come si fa, dato un determinato numero razionale a/b, a trovare il corrispondente numero naturale n.


Questa è la formula (ovviamente trovata di "botto"):

$n=\frac{(a+b)^2-3a-b+2}{2}$

quindi, se vogliamo sapere quale numero corrisponde a 128/411

abbiamo
$n=\frac{(128+411)^2-3*128-411+2}{2}=144864$

Edmund.

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

.....e questo è il botto finale che normalmente c'è sempre, quando si sparano i fuochi d'artificio, ed è il più forte.
Preciso per Bruno che l'intervento precedente non era meno lieto di questi ultimi, a leggere bene fra le righe e ad interpretare la mie sparate umoristiche di tipo nero (hai presente Vianello e Mondaini di qualche anno fa?)
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:(...) Preciso per Bruno che l'intervento precedente non era meno lieto di questi ultimi, a leggere bene fra le righe e ad interpretare la mie sparate umoristiche di tipo nero (hai presente Vianello e Mondaini di qualche anno fa?)
Ok, Pasquale.

Per Edmund
Penso che sia necessario aggiustare la questione, tra un botto e l'altro :wink:
Tu dici: dato il numero razionale a/b, io trovo la sua posizione nella sequenza
indicata con questo rapporto: r = ½[(a+b)²-3a-b+2]. Ok?
Bene. Prendiamo allora a/b = 1/5. Il rapporto fornisce r = 15. Adesso andiamo
a vedere cosa troviamo al 15° posto: 5/1. :shock:
Ripetiamo la cosa con a/b = 4/3. Otteniamo: r = 18. In effetti, al 18° posto
troviamo proprio 4/3.
Evidentemente, bisogna precisare qualche cosina...
Senz'altro, Edmund, il tentativo di dimostrare analiticamente la formula avrebbe
rivelato subito questa lacuna.
Attendo tue :D

PS - Edmund ha scritto:(...) $\small \[\frac{45-42+1}{42-36}\]^{(-1)^9} = \(\frac{4}{6}\)^{-1} = \frac{6}{4}$

il termine cercato è $\small \frac{3}{2}$.
...in realtà la frazione è proprio $\small \, \frac{6}{4}\,$, senza semplificazione. Ciao!
(Bruno)

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