Ciao a tutti,
anche questo problema richiede una piccola illuminazione...
Su un tavolo ci sono i numeri da 1 a 9.
Aldo e Baldo prendono alternativamente un numero.
Vince il primo che ha tre numeri la cui somma è 15.
Chi fa la prima mossa a questo gioco, ha una strategia di vittoria sicura?
Nota. Ogni giocatore, durante il gioco, a meno che l'altro giocatore non sia fulminato, prende più di tre numeri. Per vincere è necessario e sufficiente che fra i numeri presi ce ne siano tre la cui somma sia 15.
Ciao
Gianfranco
Somma 15
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Somma 15
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Somma 15
Direi che in linea di massima il primo è avvantaggiato, perché prende più numeri del secondo; comunque ha la possibilità di non perdere.
Col 5 in prima presa vince.
Col 5 in prima presa vince.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Somma 15
I gruppi di tre cifre a somma $15$ sono otto
$\left\{159,\/168,\/249,\/258,\/267,\/348,\/357,\/456\right\}$
Le cifre che appartengono a due gruppi sono
$\left\{1,\/3,\/7,\/9\right\}$
quelle che appartengono a tre gruppi sono
$\left\{2,\/4,\/6,\/8\right\}$
mentre il $5$ appartiene a quattro gruppi.
Consideriamo ora una griglia $3\/\times\/3$
$\begin{array}{|c20|c20|c20|C+25}\hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \end{array}$
Essa è dotata di tre righe, tre colonne e due diagonali principali: ogni cella della griglia appartiene ad una riga e ad una colonna; in più, le celle ai vertici appartengono ad una diagonale mentre la cella centrale appartiene ad entrambe le diagonali.
Sistemiamo il $5$ (che appartiene a quattro gruppi) nella cella centrale
$\begin{array}{|c20|c20|c20|C+25}\hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \hspace{10} & 5 & \hspace{10} \\ \hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \end{array}$
l’$1$ e il $9$ (che appartengono a due gruppi) in due celle laterali opposte, il $3$ e il $7$ (che appartengono anch’essi a due gruppi) nelle altre due
$\begin{array}{|c20|c20|c20|C+25}\hline \hspace{10} & 1 & \hspace{10} \\ \hline3 & 5 & 7 \\ \hline \hspace{10} & 9 & \hspace{10} \\ \hline \end{array}$
e nelle celle ai vertici sistemiamo opportunamente le altre quattro cifre (che appartengono a tre gruppi)
$\begin{array}{|c20|c20|c20|C+25}\hline 8 & 1 & 6 \\ \hline3 & 5 & 7 \\ \hline 4 & 9 & 2 \\ \hline \end{array}$
Ciò che abbiamo ottenuto è il quadrato magico Lo Shu, di antichissima tradizione: in detto quadrato magico, ogni riga, ogni colonna e le diagonali principali danno somma $15$ (per costruzione).
Vale anche l’inverso: tre cifre danno somma $15$ se e solo se sono disposte su una riga, una colonna o una diagonale principale (otto sono i gruppi di tre cifre di somma $15$, otto le righe, colonne e diagonali principali).
Abbiamo trovato un isomorfismo tra il gioco “Somma $15$” e il gioco del Tris: un giocatore, per vincere, deve prendere i tre numeri che stanno su una riga, una colonna o una diagonale principale. Ed è ben noto che il gioco del tris finisce sempre pari se giocato razionalmente: quindi, il primo giocatore non ha una strategia di vittoria sicura.
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Le cifre che appartengono a due gruppi sono
$\left\{1,\/3,\/7,\/9\right\}$
quelle che appartengono a tre gruppi sono
$\left\{2,\/4,\/6,\/8\right\}$
mentre il $5$ appartiene a quattro gruppi.
Consideriamo ora una griglia $3\/\times\/3$
$\begin{array}{|c20|c20|c20|C+25}\hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \end{array}$
Essa è dotata di tre righe, tre colonne e due diagonali principali: ogni cella della griglia appartiene ad una riga e ad una colonna; in più, le celle ai vertici appartengono ad una diagonale mentre la cella centrale appartiene ad entrambe le diagonali.
Sistemiamo il $5$ (che appartiene a quattro gruppi) nella cella centrale
$\begin{array}{|c20|c20|c20|C+25}\hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \hspace{10} & 5 & \hspace{10} \\ \hline \hspace{10} & \hspace{10} & \hspace{10} \\ \hline \end{array}$
l’$1$ e il $9$ (che appartengono a due gruppi) in due celle laterali opposte, il $3$ e il $7$ (che appartengono anch’essi a due gruppi) nelle altre due
$\begin{array}{|c20|c20|c20|C+25}\hline \hspace{10} & 1 & \hspace{10} \\ \hline3 & 5 & 7 \\ \hline \hspace{10} & 9 & \hspace{10} \\ \hline \end{array}$
e nelle celle ai vertici sistemiamo opportunamente le altre quattro cifre (che appartengono a tre gruppi)
$\begin{array}{|c20|c20|c20|C+25}\hline 8 & 1 & 6 \\ \hline3 & 5 & 7 \\ \hline 4 & 9 & 2 \\ \hline \end{array}$
Ciò che abbiamo ottenuto è il quadrato magico Lo Shu, di antichissima tradizione: in detto quadrato magico, ogni riga, ogni colonna e le diagonali principali danno somma $15$ (per costruzione).
Vale anche l’inverso: tre cifre danno somma $15$ se e solo se sono disposte su una riga, una colonna o una diagonale principale (otto sono i gruppi di tre cifre di somma $15$, otto le righe, colonne e diagonali principali).
Abbiamo trovato un isomorfismo tra il gioco “Somma $15$” e il gioco del Tris: un giocatore, per vincere, deve prendere i tre numeri che stanno su una riga, una colonna o una diagonale principale. Ed è ben noto che il gioco del tris finisce sempre pari se giocato razionalmente: quindi, il primo giocatore non ha una strategia di vittoria sicura.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Somma 15
Pasquale, come dici giustamente, il primo è avvantaggiato in quanto conduce il gioco e ha una strategia per NON PERDERE.
Però, se il secondo gioca bene, come dice Panurgo, la partita finisce sempre pari.
La spiegazione con "illuminazione", corredata da riferimenti storici e culturali, ce la dà Panurgo: praticamente il gioco Somma 15 è isomorfo al Tris. Quindi tutto quello che sappiamo del Tris lo possiamo applicare anche a Somma 15.
Ecco a cosa servono gli isomorfismi in Algebra!
Complimenti!
Gianfranco.
Però, se il secondo gioca bene, come dice Panurgo, la partita finisce sempre pari.
La spiegazione con "illuminazione", corredata da riferimenti storici e culturali, ce la dà Panurgo: praticamente il gioco Somma 15 è isomorfo al Tris. Quindi tutto quello che sappiamo del Tris lo possiamo applicare anche a Somma 15.
Ecco a cosa servono gli isomorfismi in Algebra!
Complimenti!
Gianfranco.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Somma 15
Cosa succederebbe se i numeri sul tavolo fossero da 1 a 16 e la vittoria fosse attribuita al primo giocatore in possesso di quattro numeri a somma 34?
Vittorio