La corda elastica

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La corda elastica

Messaggio da Admin »

Un paradosso molto bello, tratto dal libro di Martin Gardner, "Ah! Ci sono!":

"Un verme si trova a un'estremità di una corda elastica lunga 1 chilometro.
Il verme striscia lungo la corda a un'andatura costante di 1 centimetro al secondo.
Dopo il primo secondo, la corda si allunga come un elastico raggiungendo la lunghezza di 2 chilometri.
Dopo il secondo successivo, si allunga fino a 3 chilometri, e così via.
Riuscirà mai il verme a raggiungere l'altra estremità della corda? Quanto impiegherà?
"

Rinnovo a tutti gli auguri di un Felice 2012 !

Ciao
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Daniela
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Re: La corda elastica

Messaggio da Daniela »

Appena Tristam Shandy finisce l'autobiografia? :D

Felice 2012 a tutti gli amici di Basecinque! E non dimenticate che 2012 e' un numero primo. In base 3 :)
Daniela
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Ivana
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Re: La corda elastica

Messaggio da Ivana »

Avevo letto il libro di Gardner nel 2008:
http://www.maecla.it/bibliotecamatemati ... adossi.htm" target="_blank
L’autore voleva riferirsi a un verme e a una corda “teorici”, per cui tale verme teorico può raggiungere, sì, l’altra estremità della corda…
So che il problema veniva risolto ricorrendo alla serie armonica… Non aggiungo altro, per lasciare il piacere della risoluzione a chi non avesse ancora letto il libro…

BUON 2012 a tutti/e!!!
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"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)

Gianfranco
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Re: La corda elastica

Messaggio da Gianfranco »

Secondo me ce la fa.

Un ragionamento intuitivo.

Chiamo con A e B i due estremi dell'elastico.
Prendo A come punto di riferimento, che quindi si può considerare fermo.
Allora B si allontana da A a una velocità costante di 1000 m/s
Anzi, ogni punto X dell'elastico (tranne A) si allontana da A a una velocità costante.
Per la precisione la velocità di X varia da 0 a 1000 m/s proporzionalmente alla posizione di X rispetto all'origine A.

Il verme, oltre ad avere una velocità sua di 0,01 m/s, viene trascinato dall'elastico ad una velocità crescente che dipende dal punto X in cui si trova il verme in quell'istante.
Perciò il moto del verme è uniformemente accelerato, con velocità variabile da 0,01 m/s a 1000,001 m/s.

Siccome la velocità di B è costante, mentre il verme accelera costantemente fino a superare la velocità di B, prima o poi raggiungerà il punto B.

Sì, ma dopo quanto tempo?

Il risultato deve essere molto alto!

Per esempio, se la corda è lunga 1 km e il verme striscia a 50 m/s, esso raggiungerà il termine della corda in poco meno di 300 milioni di secondi = circa 9 anni e mezzo!
Poi molliamo la corda e lo fiondiamo fuori dalla galassia.

Ho visto su YouTube un'applicazione dell'elastico utileper fare i fori in un flauto di lunghezza arbitraria.
Basta prendere un flauto buono, sovrapporgli un elastico lungo come il flauto stesso e segnare sull'elastico con un pennarello i punti in cui si trovano i fori.
Poi, si sovrappone l'elastico al flauto da forare, lo si tende opportunamente e si segnano sul flauto i punti in cui fare i fori.

Gianfranco

P.S.
Non dovete confondere questo problema con quello del mutuo a rata fissa (e durata variabile).
Se fate un miserabile mutuo di 10000 EUR a rata fissa di 50 EUR al mese e tasso che parte dal 1% e aumenta dello 0.5% all'anno, riuscirete a estinguere il debito?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
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Re: La corda elastica

Messaggio da Pasquale »

Domanda: se la corda si allunga all'infinito, possiamo considerarla una circonferenza di raggio infinito?
In caso positivo, al verme non potrebbe convenire restare fermo, per essere raggiunto dall'altro capo della corda?
Nell'attesa, ringrazio Daniela e ne contraccambio gli auguri, che rinnovo a tutti i Basecinquini.

Comunque, ho provato a mettere giù un programmino di calcolo in Decimal Basic, che salvo banale errore d'impostazione fornisce i seguenti risultati:

LET cm=0 'percorso del verme al tempo zero
LET km=1 'lunghezza della corda al tempo zero
LET secon=0 'inizio dei tempi
DO
LET secon=secon+1 'incremento del tempo in secondi
LET g=secon/86400 'incremento del tempo in giorni
LET cm=cm+1 'percorso del verme dato dal suo movimento
LET x=cm/100000 'stesso percorso in chilometri
LET R=km/x 'rapporto tra lunghezza corda e percorso verme
IF x>=km THEN
PRINT "percorso effettuato dal verme: Km";x
PRINT "lunghezza della corda: Km";Km
PRINT "tempo trascorso: giorni";g
EXIT DO
END IF
LET km=km+km/secon
LET cm=cm+cm/secon
LOOP

Interrompendo l'esecuzione del programma poco dopo l'inizio, riavviandolo dal punto d'interruzione ed interrompendolo successivamente, dopo un'intera nottata di lavoro del p.c., si vede che il rapporto R tende a diminuire, più velocemente all'inizio e molto lentamente dopo (notare il valore di G, pari a 58 anni, con R ancora molto lontano dall'unità).
Questo lascia intuire che in un tempo forse infinito il verme raggiungerà l'alto capo della corda.

Immagine

Cosa comunque che non capisco bene e sembra impossibile, volendo effettuarne una rappresentazione grafica.

Ad ogni modo, il tutto si velocizza (nei tempi iniziali) se al verme facciamo percorrere un metro al secondo (tanto la problematica non cambia); vediamo meglio che il rapporto R si avvicina all'unità, ma sempre molto lentamente.

Immagine

Risulterebbe gradita la correzione del programma di calcolo, ove errato.

Adesso scappo, ché vado a cercare la Befana.

BUONA BEFANA A TUTTI !!!!
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$\text { }$ciao Immagine ciao
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Gianfranco
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Re: La corda elastica

Messaggio da Gianfranco »

Ciao Pasquale,

ho fatto un programmino per conto mio e ottengo gli stessi risultati del tuo programma.

Però, potresti spiegare il significato delle istruzioni:

Codice: Seleziona tutto

LET km=km+km/secon
LET cm=cm+cm/secon
Mi sembra che, con il tuo programma, risolvi il problema riconducendolo alla somma di una serie di numeri che sono frazioni di corda percorsa.
Questo va bene se, ad ogni passo:

a) il verme percorre il suo step e si ferma
b) la corda si allunga del suo step e si ferma
c) si riparte dal punto a)

Quando la corda si allunga, il verme non perde nulla, come frazione di corda percorsa, di quanto ha già percorso.
Quando il verme avanza del suo step, guadagna una certa frazione di corda = step/lunghezza-corda.

Se chiamiamo
l0: lunghezza iniziale corda in unità (es. metri)
v2: step verme ogni secondo in unità (es. metri)
v1: step corda ogni secondo in unità (es. metri)
s: percorso compiuto dal verme in frazione rispetto alla lunghezza totale della corda
d: percorso compiuto dal verme in unità (es. metri)
lx: lunghezza corda nei vari passaggi successivi in unità (es. metri)
n: contatore passaggi successivi

Possiamo ricavare una formula che esprime l'avanzamento del verme in termini di frazione di corda ad ogni passaggio successivo:

$\large s(n)= \frac {v_2}{l_0+v_1 \cdot (n-1)}$

perciò il percorso totale del verme, al passaggio t-esimo è dato da:
$\large s = \sum_{n=1}^t \left({\frac {v_2}{l_0+v_1 \cdot (n-1)}} \right)$

quando $s \ge 1$, il verme ha raggiunto il secondo estremo della corda.
Gianfranco

P.S.
Se ai tempi di Zenone fossero esistiti gli elastici, egli avrebbe potuto dimostrare (a ragione) che la tartaruga raggiunge Achille!

N.B. Aggiunta serale

Se abbandoniamo il discreto e passiamo al continuo, la formula che dà il tempo t impiegato è la seguente (Wikipedia)

$\large t=\frac {l_0}{v_1} \cdot (e^{\frac {v1}{v2}}-1)$

I risultati non sempre concidono con quelli ottenuti con gli altri metodi.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
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Re: La corda elastica

Messaggio da Pasquale »

Si, in effetti ho considerato che il testo dice che la corda si allunga dopo un secondo, dopo 2 secondi, ecc.
Quindi, prima che trascorra un secondo, durante lo scorrere del secondo il verme cammina; allo scadere, la corda si allunga e trascina con sé il verme; si ripete la cosa negli altri secondi.
In sostanza, il programma di calcolo tende a determinare la posizione del verme sulla corda, a causa del movimento del verme prima e dell'allungamento della corda poi, ad ogni secondo, rispetto ad un'immaginaria lunghissima rotella metrica.

Km=Km + Km/sec è una formuletta che deriva dalla seguente osservazione:

dopo 1 secondo, la corda che era già di un chilometro diventa di 2 Km, cioè cresce di 1 chilometro, cioè della stessa quantità iniziale, cioè Km/1.
Al tempo 2, cresce di un altro chilometro, che è la metà della lunghezza precedente, cioè Km/2; al tempo 3 cresce di Km/3 e così via.
Ho considerato poi che l'allungamento della corda si distribuisce su tutta la lunghezza, trascinando anche il punto dove si trova in quel momento il verme di una quantità, relativamente alla posizione precedente, che segue la stessa legge.
Insomma, il capo della corda avanza di un chilometro, mentre il punto in cui è posizionato il verme avanza di una frazione di chilometro, che mi pare tenda a divenire sempre più piccola, o mi sbaglio?
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Gianfranco
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Re: La corda elastica

Messaggio da Gianfranco »

Grazie Pasquale per le spiegazioni.
Pasquale ha scritto:Insomma, il capo della corda avanza di un chilometro, mentre il punto in cui è posizionato il verme avanza di una frazione di chilometro, che mi pare tenda a divenire sempre più piccola, o mi sbaglio?
l'avanzamento del verme, rispetto al punto iniziale della corda, è:
- sempre più grande come frazione di chilometro (infatti all'inizio è poco più di 1 cm mentre alla fine è poco meno di 1 cm + 1 km);
- sempre più piccolo come frazione dell'intera corda.

Ciao
Gianfranco
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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