L'enigma del piastrellista

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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David
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L'enigma del piastrellista

Messaggio da David »

In un mio vecchio taccuino di appunti matematici ho trovato questo problema, a testimonianza che anche i piastrellisti hanno le loro gatte da pelare:

Un posatore ha della piastrelle quadrate bianche e nere ( più bianche che nere),dimensionalmente tutte uguali fra loro, se le utilizasse tutte potrebbe pavimentare in maniera esatta 2 grandi aree quadrate,una tutta nera e una tutta bianca.

Al contrario egli le adopera per lastricare una superficie rettangolare che ha il lato più lungo esattamente equivalente alla somma dei lati dei 2 quadrati testè menzionati e il lato minore che necessita esattamente di 80 piastrelle allineate.

Procede alternando una bianca ad una nera,tappezzando a scacchiera finchè non esaurisce le nere.

Se ora usasse per finire il lavoro le bianche rimaste,alla fine ne avanzerebbe 570.

Ma ovviamente dovendo rispettare il disegno alternato,dovrà procurarsi le piastrelle nere mancanti per portare a termine l'opera.
(Che consta dunque di metà nere e metà bianche)

Indicare il numero di piastrelle nere che dovrà procurarsi,sapendo che se fosse stato utilizzato solo il sovrannumero iniziale di piastrelle bianche,con queste non si sarebbe potuta coprire nessuna area rettangolare avente il lato minore eccedente la metà del maggiore.

"Quanti,gatti e numeri"

bye David

Pasquale
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Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: L'enigma del piastrellista

Messaggio da Pasquale »

Indico con $x^2$ il numero di mattonelle bianche e con $y^2$ il numero di mattonelle nere.
Per pavimentare il rettangolo, occorrono 80(x+y) mattonelle.
Quando nella posa alternata di mattonelle terminano quelle nere, saranno state posizionate $2y^2$ mattonelle e ne restano da sistemare ancora $80(x+y)-2y^2$
Sappiamo che con le mattonelle bianche d'avanzo $x^2-y^2$ si riesce a completare la pavimentazione e ne restano ancora 570.
Possiamo quindi scrivere:

$80(x+y)-2y^2=x^2-y^2-570$

Le mattonelle nere che bisogna recuperare sono dunque $\frac{x^2-y^2-570}{2}$, oppure $40(x+y)-y^2$

A questo punto, non essendo riuscito a capire la condizione finale, sono andato alla ricerca delle mattonelle nere, senza condizioni, applicando un programma di calcolo alla precedente equazione ed ottenendo 8 diversi risultati (probabilmente la condizione conduce ad una sola soluzione).

Sviluppo l'equazione:

$y^2=80(x+y)-x^2+570$

da cui:

$y=sqrt{80(x+y)-x^2+570}$

Applicando un programma di questo tipo:

FOR x=2 TO 1000
FOR y=1 TO x-1
LET a=570+80*(x+y)-x^2
IF a>=0 THEN
LET m=SQR(a)
IF m=y THEN
LET z=(x^2-y^2-570)/2
PRINT "bianche =";x^2;"- nere iniz. =";y^2;"- rettangolo";x+y;"x";80;"- nere da rec. =";z
end if
end if
NEXT Y
NEXT X

END


ottengo le seguenti soluzioni:

bianche = 7921 - nere iniz. = 9 - rettangolo 92 x 80 - nere da rec. = 3671
bianche = 7921 - nere iniz. = 5929 - rettangolo 166 x 80 - nere da rec. = 711
bianche = 8649 - nere iniz. = 81 - rettangolo 102 x 80 - nere da rec. = 3999
bianche = 8649 - nere iniz. = 5041 - rettangolo 164 x 80 - nere da rec. = 1519
bianche = 9801 - nere iniz. = 529 - rettangolo 122 x 80 - nere da rec. = 4351
bianche = 9801 - nere iniz. = 3249 - rettangolo 156 x 80 - nere da rec. = 2991
bianche = 10201 - nere iniz. = 1089 - rettangolo 134 x 80 - nere da rec. = 4271
bianche = 10201 - nere iniz. = 2209 - rettangolo 148 x 80 - nere da rec. = 3711
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

David
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Iscritto il: mar ago 04, 2009 11:49 am

Re: L'enigma del piastrellista

Messaggio da David »

Ottimo lavoro Pasquale,in effetti ora tenendo conto della condizione restrittiva all'ultimo punto si arrivano a scartare tutte le soluzioni tranne una,ovvero si dice che volendo adoperare tutto il surplus di piastrelle bianche iniziale,non si sarebbe potuto tapezzare nessun rettangolo che possa disporre sul lato minore un numero di piastrelle che sia maggiore della metà di piastrelle utilizzate per il maggiore.

Bye David

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