Un trasloco bidimensionale

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
David
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 189
Iscritto il: mar ago 04, 2009 11:49 am

Un trasloco bidimensionale

Messaggio da David »

Nel regno di Flatlandia la terra bidimensionale tutti i residenti sono reperibili tramite un semplice sistema di assi cartesiani.
Ogni posizione è relativa ad O (0;0) il centro del regno ove vive il monarca.Ogni abitante può occupare una posizione di coordinate razionali ossia numeri interi o frazioni.
Per problemi contabili le coordinate frazionarie possono al massimo avere 4 cifre al numeratore e 4 cifre al denominatore così è permessa una residenza R (1234/4321; -1236/631) ma non R (12345/54312; 71/6).
L'abitante P ora dimora in (-2;1) ( 2 a ovest di O e 1 a nord di O) mentre l'abitante Q risiede in (1;-3) (1 a est di O e 3 a sud di O).

Per un editto ancora segreto del re per motivi di politica interna tutti gli abitanti che giacciono sulla retta che unisce P e Q dovranno forzatamente traslocare, rispetto alle coordinate attuali ogni abitante della retta ora posizionato in un punto $(a_k ; b_k)$
dovrà trasferirsi in un punto$(a_j ; b_j)$ ove:

$a_j=(a_k)^2-(b_k)^2+1$ e

$b_j=2a_kb_k-1$

L'abitante Q grazie ad un informatore, venuto a conoscenza dei piani del re, sposta la sua residenza in un altro punto della retta su cui ora staziona in modo che quando ci sarà il trasloco forzato potrà occupare, in virtù della trasformazione di coordinate, una nuova posizione che risulterà la più vicina possibile al centro O. ( La distanza da O è la lunghezza del segmento che congiunge il punto a O)

Quale punto occuperà Q (Sempre se libero...) sulla retta prima della partenza?

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Un trasloco bidimensionale

Messaggio da franco »

Per motivi "tecnici" (odio apici e pedici) preferisco chiamare x ed y le coordinate di partenza, a e b quelle di arrivo.

Quindi il "trasloco" è espresso da queste formule (1):
$a = x^2 - y^2 + 1 \cr b = 2xy - 1 \cr$

La retta (immagino sia un'autostrada che spazzerà via le casette dei residenti) passa per P(-2; 1) e Q(1; -3) ed ha quindi equazione (2):
$y = - {4 \over 3}x - {5 \over 3}$

Sostituendo la (2) nelle (1) ottengo (3):
$a = - {1 \over 9}\left( {7x^2 + 40x + 16} \right)$
$b = - {1 \over 3}\left( {16x^2 + 10x + 3} \right)$

La distanza dalla reggia è (4):
$d = \sqrt {a^2 + b^2 }$

che posso scrivere, grazie alle (3), come una funzione di x (5):
$d = \sqrt {{1 \over {81}}\left( {7x^2 + 40x + 16} \right)^2 + {1 \over 9}\left( {16x^2 + 10x + 3} \right)^2 }$

Ora non resta che calcolare il minimo di questa funzione e siamo a cavallo ...

... purtroppo però per l'equitazione non sono molto portato e mi sono fatto dare una mano da excell.
Se non ho fatto errori, consiglierei al signor Q di trasferirsi, prima che partano i traslochi forzati, nel punto:
$Q'\left( { - {{1332} \over {3333}}; - {{7331} \over {3333}}} \right)$

ciao
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

David
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 189
Iscritto il: mar ago 04, 2009 11:49 am

Re: Un trasloco bidimensionale

Messaggio da David »

Franco penso volessi scrivere:

$-{1\over 3}({8x^2+10x+3}\)$

Ciao

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Un trasloco bidimensionale

Messaggio da franco »

Hai ragione naturalmente.

Mantenendo inaltrerato tutto il resto, consiglierei al signor Q di trasferirsi, prima che partano i traslochi forzati, nel punto:
$Q'\left( { - {{485} \over {1111}}; - {{1205} \over {1111}}} \right)$

ciao

N.B. Ho fatto calcolare ad excel le distanze d in funzione di x incrementando la variabile a passi di 1/9999 (il passo minimo per rispettare le 4 cifre massime al denominatore).
Magari nei prossimi giorni provo a scrivere un programmino in basic.
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

David
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 189
Iscritto il: mar ago 04, 2009 11:49 am

Re: Un trasloco bidimensionale

Messaggio da David »

Mi sembra un ottimo consiglio Franco

Salutoni

Rispondi