Una sequenza un po' matta

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Una sequenza un po' matta

Messaggio da Bruno »

Non so come possano venire in mente certe
cose, ma mi sono imbattuto in questo tipo di
sequenza:

$\blu 1,\, 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, 9,\, 10,\, 12,\, 14,\, 16,\, 18,\, 20,\, 22,\,24,\,25,\,26,\, 28,\, \cdots$

In sostanza si tratta dei numeri quadrati e dei
numeri pari riuniti e ordinati.

Chi riesce a trovare un'unica formula (ma non
ricorsiva) capace di fornire ogni termine di questa
sequenza?

Io devo ancora ragionarci sopra :roll:
(Bruno)

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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
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fabtor
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da fabtor »

Bruno, ho una curiosità da chiederti su questa sequenza:

Premetto che al momento non ci ho ancora provato, ma mi incuriosiva la specificazione "non ricorsiva": Messa giù così sembra quasi che la possibile soluzione ricorsiva debba essere qualcosa di banale (che al momento comunque mi sfugge), ma magari è invece un suggerimento dell'autore del testo del problema. Puoi dirci qualcosa in merito?

Fab
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...

Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

Bruno
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da Bruno »

No, Fab, non è affatto banale, e poi ormai sai
qual è il mio punto di vista sulla parola "banale".
Ma nello studio delle sequenze numeriche, di
solito, è molto importante riuscire a determinare
ogni termine senza aver prima dovuto calcolare
altri termini.
Però se ti viene in mente qualcosa di ricorsivo,
siamo qui :wink:
(Bruno)

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fabtor
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da fabtor »

Bruno ha scritto:No, Fab, non è affatto banale, e poi ormai sai
qual è il mio punto di vista sulla parola "banale".
Ma nello studio delle sequenze numeriche, di
solito, è molto importante riuscire a determinare
ogni termine senza aver prima dovuto calcolare
altri termini.
Però se ti viene in mente qualcosa di ricorsivo,
siamo qui :wink:
Si conosco il tuo punto di vista su questo termine ;), anche perchè di fatto per quanto mi riguarda è pienamente condivisibile.
Tuttavia, ormai su molti testi (nonchè su molti appunti di colleghi) è talmente usato (ed abusato) che in questo caso l'ho utilizzato nella sua concezione neo-matematica (o dovrei dire scienziagginistica ? ;) ).

Tornando a noi, al momento non ho in mano proprio nulla, ne di ricorsivo ne di non ricorsivo (giusto un po' di mal di testa ricorrente ^___^): avevo un ipotesi di lavoro per un aprroccio non ricorsivo, ma l'ho dovuta scartare adesso devo vedere se riesco a recuperarla in sua una versione più generale, ma stando ai primi risultati credo che dovrò invece "inventarmi" qualcosa di nuovo.
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fabtor
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da fabtor »

Ho trovato una formula abbastanza brutta e complicata che forse potrebbe fare al caso nostro (tuttavia sottolineo il forse).

Infatti ho provato a verificarne la correttezza su excel, tuttavia i valori intermedi sono tali per cui anche il pc dopo pochi passaggi mi ha chiesto pietà (ed onestamente fare delle prove manuali mi è un po' complicato visto che lo spazio che al momento ho a disposizione è un taccuino da tasca).

Cmq io provo a postarvela, magari voi avete mezzi informatici più potenti dei miei, nonchè competenze matematiche migliori delle mie (ma per questo non ci vuole poi molto in realtà) così da potere eventualmente correggerla o magari (se mi è andata bene) metterla in una forma più semplice. Si insomma, io, per il momento, sono arrivato fino a qui (sperando che quello che ho trovato abbia un qualche senso):

$\displaystyle\int \{INT\lfloor{\frac{{\sum_{k=0}^{\infty}}{\sum_{n=0}^{4k+3}}2*10^{n-1}+10^{4k+4}}{\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{4k+5} 9*10^{n+1} }*10^{m+1}}\rfloor (mod 10)\}$

ATTENZIONE QUESTA FORMULA E' SBAGLIATA, VEDETE IL MIO POST SUCESSIVO PER DELUCIDAZIONI E SCUSE.
Ultima modifica di fabtor il gio lug 01, 2010 5:18 pm, modificato 1 volta in totale.
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David
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da David »

Accidenti fabtor mi sembra una della formule di Ramanujan, potente ed esoterica, non so come tu abbia fatto a scovarla,io a dir la verità dopo aver letto il problema di Bruno e aver tentato senza successo un approccio modulare ho pensato bene di lasciar perdere.
Se fosse corretta ( così di primo acchito potrebbe essere) sarebbe davvero qualcosa di ammirevole.

Bye David

fabtor
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da fabtor »

David ha scritto:Accidenti fabtor mi sembra una della formule di Ramanujan, potente ed esoterica, non so come tu abbia fatto a scovarla,io a dir la verità dopo aver letto il problema di Bruno e aver tentato senza successo un approccio modulare ho pensato bene di lasciar perdere.
Se fosse corretta ( così di primo acchito potrebbe essere) sarebbe davvero qualcosa di ammirevole.

Bye David
Purtroppo invece quella sopra riportata è sbagliata!!!

Rifacendo tutti i conti ho scovato che per un banale errore di indicizzazione (le serie doppie non sono mai state il mio forte) quello che ottengo non è quanto cercato :(.

Chiedo venia a tutti coloro che hanno provato a capirci qualcosa basandosi una castroneria di proporzioni apocalittiche, tuttavia qui sotto vi riporto la versione corretta (stavolta sono molto confidente che lo sia davvero):

$\displaystyle\int \{INT\lfloor{\frac{{\sum_{k=0}^{\infty}}{\sum_{n=0}^{4k+2}}2*10^{n}+10^{4k+3}}{\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{4k+4} 9*10^{n} }*10^{4K+5}}\rfloor (mod 10)\}dk$


Scusate ancora per quella porcheria del mio precedente post (non ho trovato l'emoticon dell'autoflagellazione ma spero mi perdoniate ugualmente).

Fab
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Edmund
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da Edmund »

Ho trovato questa formula

$\fs{5} x=2n-k-2+2FP(\frac{k}{2})+2FP(\frac{k+1}{2})*INT(\frac{2k-1}{\sqrt{8n-7}})$

con

$\fs{5} k=CEIL(\frac{\sqrt{8n+1}-1}{2})$

n: termine della sequenza
FP: parte decimale
CEIL: intero immediatamente successivo

S.E. & O.

Ciao

fabtor
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da fabtor »

Mi pare di capire che la tua sequenza parta da n=1 (dove x=1), ma per n=2, se non ho sbagliato i conti, x=1 e non 2 (tuttavia non ho verificato cosa succeda facendo partire la sequenza da n = 2...
... Comunque, l'utilizzo degli operatori CEIL e FP, a mio modesto parere, mi pare geniale (ammetto che non ci avrei mai pensato nemmeno in mille anni!!!!).
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Edmund
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da Edmund »

Per
n=1 ---> x=0
n=2 ---> x=1
n=3 ---> x=2
ecc.

Se si vuol fare iniziare la sequenza con x=1
basta sostituire a n ---> n+1
in tal caso le formule si trasformano in:

k=CEIL((SQR(8*n+9)-1)/2)

x=2*n-k+2*FP(k/2)+2*FP((k+1)/2)*INT((2*k-1)/SQR(8*n+1))

con x=1 per n=1

In pratica
x=(2n-k) +1(se k è dispari) +1(se k è pari e 8n+1 quadrato perfetto)

fabtor
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da fabtor »

Edmund ha scritto:Per
n=1 ---> x=0
n=2 ---> x=1
n=3 ---> x=2
ecc.

Se si vuol fare iniziare la sequenza con x=1
basta sostituire a n ---> n+1
in tal caso le formule si trasformano in:

k=CEIL((SQR(8*n+9)-1)/2)

x=2*n-k+2*FP(k/2)+2*FP((k+1)/2)*INT((2*k-1)/SQR(8*n+1))

con x=1 per n=1

In pratica
x=(2n-k) +1(se k è dispari) +1(se k è pari e 8n+1 quadrato perfetto)
Allora devo aver sbagliato il primo conto: a me veniva 1 anche per n = 1 :P .
Bene, fra l'altro il tutto è cmq meno "incasinato" di quello che avevo trovato io.:)
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Bruno
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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da Bruno »

Edmund è ben noto per la sua abilità in queste cose :D


Prendendo allora: $\;k\,=\,\lceil \frac{\sqr{8\cdot n+9}-1}{2} \rceil\,=\, \lfloor \frac 12 + \sqrt{2\cdot n+4}\rfloor$

possiamo scriverla anche così, la sua formula:

$a_n \,=\, 2\cdot \[ \;n- \lfloor \frac k2\rfloor+ \(\frac{k+1}{2} -\lfloor\frac{k+1}{2}\rfloor \)\cdot \lfloor \frac{2\cdot k-1}{\sqr{8\cdot n+1}}\rfloor\ \;\]$

o meglio:

$a_n \,=\, 2\cdot n- 2\cdot \lfloor \frac k2\rfloor+ \frac{1+(-1)^k}{2}\cdot \lfloor \frac{2\cdot k-1}{\sqr{8\cdot n+1}}\rfloor\$

partendo da $\, a_{\tiny 1}\,=\,1$ (*).


Non ho verificato l'espressione di Fabtor, però concordo
con David: ha un non so che di esoterico e potente :wink:

Siete eccezionali!


A questo punto potreste proporre le vostre formule
al grande Neil Sloane di Oeis e integrare questa voce :D



Un caro saluto a tutti!



__________________________________________________
(*) La stessa formula scritta per Excel (A1=1, A2=2, A3=3...):

2*A1-2*INT((INT((RADQ(8*A1+9)-1)/2)+1)/2)+((1+(-1)^(INT((RADQ(8*A1+9)-1)/2)+1))/2)*INT((2*(INT((RADQ(8*A1+9)-1)/2)+1)-1)/RADQ(8*A1+1))
(Bruno)

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Re: Una sequenza un po' matta

Messaggio da fabtor »

In realtà la mia formula non mi soddisfa appieno: come dite voi è si "esoterica", ma secondo me lo è fin troppo!!! (potente non so) io tendenzialmente amo cose semplici ed immediate e mi piacerebbe riuscire a semplificarla un po'.
Le mie conoscenze matematiche, tuttavia, non sono troppo elevate; le congruenze aritmentiche ad esempio, pur conoscendole (anche se solo molto approssimativamente) ho imparato a maneggiarle (e solo sommariamente) ed a comprendere le loro potenzialità (ma credo ancora solo molto parzialmente) da quando frequento base cinque, prima non ero in grado di farci niente o quasi se non guardarle come un bambino guarda un vulcano che erutta e più stupito che spaventato per via della sua incoscenza si chiede:"e adesso?". In buona sostanza il cammino che devo percorrere è ancora mooolto lungo se voglio sperare di approdare da qualche parte!!!! (ed il tempo non gioca troppo a mio vantaggio, anzi).
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