Quadrati e dintorni...

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
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Quadrati e dintorni...

Messaggio da Bruno »

...senza diventare matti Immagine



Primo


Immaginiamo di considerare questa sequenza di
quadrati con le basi in $\mathbb{N}^{+}$:

$\small \underbrace{p^2,\; (p+2)^2,\;(p+4)^2,\;(p+6)^2,\;(p+8)^2,\;\cdot\cdot\cdot}_{n\; termini }$

e poi anche la seguente:

$\small \underbrace{(p+1)^2,\; (p+3)^2,\;(p+5)^2,\;(p+7)^2,\;(p+9)^2,\;\cdot\cdot\cdot}_{ n-1\;termini}$

Calcoliamo separatamente la somma dei termini della
prima sequenza e della seconda e cerchiamo quindi un
quadrato da aggiungere a quest'ultima somma in modo
che il risultato coincida con la prima.

Trovare infinite soluzioni del problema.



Secondo


Sappiamo che $\,\small f(1)=2\,$ e $\,\small f(2)=11$, inoltre sappiamo
che, essendo $\small n{\tiny \in} \mathbb{N}^{+}$, $\,\small \frac 13 \cdot\[ f(n+2)-16\cdot f(n)\]\,=\,15n-7$.
Scrivere $\,\small f(n)\,$ in forma chiusa.



Terzo


Risolvere in $\,\mathbb{Z}\,$ l'equazione $\,y^2\,=\,x^2-11x+8$.





Piesse. Naturalmente giustificare le risposte :wink:
(Bruno)

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Info
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da Info »

Facendo il calcolo per i primi valori ho trovato questi molto simili ad una potenza di 2

per esempio con n=1 il risultato e`simile a 64, cioe` 2^6, con n=2 e`simile a 256, cioe`2^8, quindi generalizzando e controllando che andasse bene per le potenze superiori 2^(2n+4)

a questo punto ho provato a fare la differenza fra il risultato della formula e la potenza di 2, il risultato tolto 8 e`un multiplo di 3, precisamente l'(n-1)-esimo, ecco quindi la formula finale

f(n)=2^(2n+4)-2^3-3*(n-1)

pero`siccome f(1) e`segnato come 2 e sarebbe f(-1) nel mio caso, l'n sara`n-2, quindi

f(n)=2^(2(n-2)+4)-2^3-3*((n-2)-1)

cioe`risistemando, ottengo infine

f(n)=2^(2n)-2^3-3*(n-3)

David
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da David »

Confermo il risultato di Info

f(n)=2^(2n)-3*n+1 relativamente al secondo quesito (avendo seguito il medesimo ragionamento)

Al volo per il terzo

Posto x=u+11/2 si ottiene:

u^2-y^2=89/4 essendo 89 primo scriviamo:

a) u+y=89/2; u-y=1/2

b) u+y=1/2; u-y=89/2

c) u+y=-89/2; u-y=-1/2

d) u+y=-1/2; u-y=-89/2

Dai 4 sistemi riportandoci nella variabile x si ricavano le coppie di soluzioni adagiate in Z:

{28;22} {28;-22} {-17;-22} {-17;22} o almeno speriamo...

Bye David

Bruno
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da Bruno »

Perfetto, bravi :D

Rimanendo sul Secondo, la funzione trovata
ha la forma $\,\small 3n+2\,$ e come tutti i numeri di
questo tipo fornisce infinite soluzioni intere
per l'equazione:

$x^3+y^3+z^3=(x\cdot y)^2$

prendendo:

$x= \frac{28+f(n)^3}{9} \\ y=3\, x \\ z=f(n)\, x$

un risultato che si verifica in fretta.


^^^^^^^^^^^^^

Mi sono divertito anch'io a cercare
infinite soluzioni per l'equazione scritta
qui sopra, questo genere di esplorazioni
trovo che siano sempre molto istruttive
e stimolanti.
Così ho scovato delle forme particolari per
le tre incognite (ma con lo stesso percorso
potrei indicarne delle altre):

$x\,=\, {\small 128\cdot k^4+128\cdot k^3-14\cdot k+4} \\ y\,=\,x\,\frac{4k+1}{2} \\ z\,=\,x\,\frac{\(4k+1\)^2-2}{2}$

Per $\small \,k\,=\,1\,$ abbiamo infatti:

$\small x\,=\,246 \\ y\,=\,615 \\ z\,=\,2829$

e quindi:

$\small 246^3+615^3+2829^3\,=\,(246\cdot 615)^2$.


^^^^^^^^^^^^^


Forza col Primo :wink:
(Bruno)

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David
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da David »

Per il primo ho trovato che le due successioni possono scriversi come:

p+(p+2)^2+(p+4)^2+....=np^2+(2n^2-2n)p+(4/3)n^3-2n^2+(2/3)n come somma di n termini

(p+1)^2+(p+3)^2+.... =(n-1)p^2+2p(n-1)+(4/3)n^3-4n^2+(11/3)n-1 come somma di n-1 termini

La differenza fra le 2 :

d=p^2+2p(n-1)+2n^2-3n+1 tale differenza è un quadrato d=w^2 sicuramente quando

n=4k allora p=4k^2-5k e w=4k^2-k+1 per ogni k intero positivo
.

Es k=1 allora n=4 n-1=3 p=-1

In effetti (-1+1)^2+(-1+3)^2+(-1+5)^2=20

(-1)^2+(-1+2)^2+(-1+4)^2+(-1+6)^2=36

36-20=16=4^2=(4k^2-k+1)^2 con k=1

Bruno
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da Bruno »

Ottimo, David :D

Infatti, riscrivendo le formule con Immagine, la seguente
uguaglianza (veste equivalente del problema):

$\small w^2=p^2-(p+1)^2+(p+2)^2-(p+3)^2+(p+4)^2-(p+5)^2+ \cdot \cdot \cdot +(p+2n-2)^2$

ha infinite soluzioni del tipo richiesto quando:

$n=4k \\ p=4k^2-5k \\ w=4k^2-k+1$

prendendo $\,\small k\,>\,1\,$, se vogliamo le basi dei quadrati
tutte positive.

Una lieve generalizzazione di questi risultati si può
avere (com'è capitato a me di trovare) assumendo:

$n=4rs \\ p=(r-1)(n-1)-s \\ w=r(n-1)+s$

ma naturalmente se ne possono ottenere delle altre :wink:
Con queste relazioni, inoltre, risulta abbastanza
agevole scovare forme particolari per $\,w$.
Fissando $\small \,r\,=\,2\,$ ed $\small \,s\,=\,h(17h+14)+3\,$ si trovano
$\small 16\cdot h(17h+14)+47\,$ quadrati consecutivi la somma
algebrica alternata dei quali dà sempre un biquadrato,
ossia è: $\,\small w=(17h+7)^2$.
(Bruno)

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Bruno
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Ripensando all'occhio formidabile di Enrico...

Messaggio da Bruno »

Quarto


Guardiamo questa figura regolare

Immagine

nella quale i punti sulla circonferenza sono equidistanti e gli archi sono uguali,
giusto per farsi un'idea su come è stato creato il "salsicciotto".

Se l'area dell'esagono vale 1, quanto vale l'area di tutta la figura e perché?
(Bruno)

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0-§
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da 0-§ »

Bruno ha scritto:Se l'area dell'esagono vale 1, quanto vale l'area di tutta la figura e perché?
Così a lume di naso direi
3
Direi anche che è ora di andare a nanna, quindi la soluzione (ammesso che il mio naso non mi abbia tradito) la posto domani.
Buonanotte a tutti,
0-§

P.S. Veloce e decisamente simpatico: Bruno, ma dove li trovi?
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Bruno
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da Bruno »

Giovanni :D comprendi anche gli esagoni nella tua risposta o li escludi?

Sappimi dire, ché forse il tuo occhio (e pure il naso) è forte come quello
di Enrico Immagine

Be', intanto... 'notte :wink:

0-§ ha scritto:P.S. Veloce e decisamente simpatico: Bruno, ma dove li trovi?
L'ho inventato ieri :D

Anche il Primo vien fuori da alcune "manipolazioni" con cui mi sono
divertito qualche giorno fa.
Comunque, chissà, magari è roba nota stranota arcinota :wink:
(Bruno)

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franco
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da franco »

Intanto ho suddiviso il "salsicciotto" in "triangolotti";
come si nota dalla figura, i "triangolotti" sono di due tipologie, quelli "convessi" (che identifico con la lettera a) e quelli "concavi" (che identifico con la lettera b).
Immagine


Quelli convessi hanno ciascuno l'area pari a 1/6+x (dove x è l'area compresa fra il lato dell'esagono e la circonferenza circoscritta).
Quelli concavi hanno ciascuno l'area pari a 1/6-x

Avendo 9 triangolotti convessi e 9 triangolotti concavi, l'area complessiva del salsicciotto è pari a 3; se ci aggiungiamo gli esagoni l'area complessiva della figura è 6.

ciao
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

karl
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da karl »

La soluzione del secondo problema rientra nella teoria più generale delle equazioni
alle differenze finite a coefficienti costanti.Intanto è facile trovare una soluzione particolare della forma
an+b.Sostituendo nell'equazione e confrontando si trova a=-3 e b=1 e dunque
tale soluzione è -3n+1.Come per le equazioni differenziali a coefficienti costanti, si trova ora la soluzione
dell'equazione omogenea associata ,ovvero per :
$\displaystyle f(n+2)-16f(n)=0$
Cerchiamo allora una soluzione del tipo $\lambda^n,\lambda \neq 0$
Sostituendo si ha:
$\displaystyle \lambda^{n+2}-16\lambda^n=0$ da cui $\displaystyle \lambda_1=-4,\lambda_2=4$
Pertanto la soluzione generale sarà:
$\displaystyle f(n)=C_1(-4)^n+C_2(4)^n-3n+1$
Imponendo le condizioni iniziali si trova che:$\displaystyle C_1=0,C_2=1$
e di conseguenza la soluzione finale è:
$\displaystyle f(n)=4^n-3n+1$
Un saluto sincero a tutti.
karl

Bruno
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da Bruno »

Ottimo Karl, sempre istruttivo :D



Ottimo Franco :D $\;$ Si potrebbe anche vederla così :wink:

Piesse. Per trovare quella forma, però, quando ancora
non la conoscevo, ho fatto due calcoletti per eguagliare
un certo numero di figure mistilinee a dei triangoli
equilateri. Una volta "inventata", ho provato anch'io
(come te e come forse ha fatto Giovanni - che aspetto)
a risolvere visivamente il quesito.
(Bruno)

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Bruno
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da Bruno »

Quinto



(Facile facile, quasi sonnecchiando :mrgreen: )


Immaginiamo di considerare in $\,{\bb N}^+\,$ le sequenze
con termini ovviamente distinti

${\large a_{\tiny 0}\,,\; a_{\tiny 1}\,,\; a_{\tiny 2}\,,\; a_{\tiny 3}\,,\; \ldots\; a_{\tiny r}\,,\; \ldots \;}$

aventi questa proprietà

${\large a_{\tiny r}}^^2\,+\,{\large 2\, a_{\tiny r+1}}\,+\,{\large 1}\, =$ Immagine ,

identificando così un quadrato perfetto.

Scrivere un'espressione non ricorsiva per il termine
generico.

Dimostrare che esistono infinite sequenze di questo
tipo a cui è possibile associare un numero $\,{\large q}\,{\small \in}\,{\bb N}^+$
per cui

${\large {\large q}^{\small r+1}\,-\,a_{\tiny r}}$

è costante.
(Bruno)

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Pasquale
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da Pasquale »

Hallo Bruno, vedo con piacere che hai intensificato la tua presenza, al contrario di me, e che sei molto prolifico...bene, bene.

Sul quinto quesito, una possibile soluzione alla prima parte e mezzo:

$a_{r+1} = 3a_r + 4$

con r > 0 ed $a_0$ >= 0
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
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Re: Quadrati e dintorni...

Messaggio da Bruno »

Ciao, Pasquale :D
In questo periodo va così, riesco a trovare un po' di
tempo per alcune mie passioni, ma naturalmente senza
pretese e senza promesse.

Ok, funziona sicuramente quello che hai scritto! Se
però non volessimo far riferimento ad altri termini della
sequenza (come accade nelle relazioni ricorsive di cui
la tua è un caso) per arrivare a scrivere una formula
in funzione solo di $\,n$?

Comunque forse è utile tenere d'occhio, nella ricerca,
anche la seconda parte del quiz.

A presto :wink:
(Bruno)

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