Spero che risulti nuovo e gradito; dal Dudeney.
All'interno di un campo quadrato ABCD è nascosto un tesoro. Il tesoro si trova in un punto P che dista 1 furlong dal vertice A, 2 furlong da B e 3 da C.
Quanto è lungo il lato del campo?

Saluti
0-§

Prima che mi dimentichi, eccone un altro (decisamente leggero ma, credo, comunque gradevole).
Alcuni ricercatori di Statistica Timidona della facoltà di Cacopedia Minore (vedi qui) stanno conducendo un indagine sugli studenti di Cacopedia. Tra di loro infatti è molto in voga il paracadutismo senza paracadute e i ricercatori vorrebbero valutare la percentuale di studenti dedita a questo nuovo e temerario sport. Il punto è che l'attività è malvista presso i vertici di facoltà e gli studenti posti di fronte a un questionario in merito potrebbero essere in imbarazzo nel rispondere (cosa questa inaccettabile per i timidi ma astuti ricercatori) ed eventualmente mentire. Per questioni logistiche inoltre non è praticabile il semplice metodo di radunare un gran numero di studenti e sottoporre a ciascuno un questionario anonimo: l'unica maniera è richiamare gli studenti uno per volta negli uffici dei ricercatori e far loro compilare il questionario, che verrebbe così a essere inevitabilmente non anonimo.
Grazie a un semplice ma astuto metodo, comunque, i ricercatori riescono ugualmente a ottenere una valutazione attendibile della percentuale di studenti paracadutisti.
Come ci sono riusciti e che calcolo hanno dovuto effettuare al termine della raccolta dei risultati?
Ricordate: è facile che uno studente menta se sottoposto alla domanda diretta "sei un paracadutista?", ben sapendo che il foglio andrà subito dopo nelle mani di un ricercatore, quindi tale metodo fornirebbe risultati non attendibili. Un indizio: il trucco sfrutta metodi probabilistici (basilari).

Ancora saluti
Zerinf

Sicuro sulle misure 1, 2 e 3 ?
Mi verrebbe un lato di $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$, che però verifica solo due delle misure.

cerco di trovare qualche limite minimo e massimo.
Se il lato è lungo 3, l'unico punto sul lato AB che soddisfa è sul lato stesso; e non va bene rispetto a C
Se il lato è più lungo di 3, nessun punto soddisfa le sondizioni anche solo rispetto aa A e B
Se il lato è lungo 3/rad2, la diagonale vale 3, per cui l'unico punto distante 3 da C è il vertice opposto (A o B), per cui non va bene
Se è più corto, nessun punto distante 3 da C cade nel quadrato
Ergo: il lato è compreso tra 2,12 e 2,99

$l\/=\/\sqrt{\frac {13}2\/+\/\frac{\sqrt{23}}2}$

lavorando con carta e matita, si arriva a capire che il valore deve essere molto più vicino a 3 che al limite inferiore.
Immagino il disegno con il vertice A in basso a sinistra, B in alto a sin, e C in alto a destra.
Disegnamolo con lato 2,97, diviso in una griglia di 9 quadrati da 0,99.
Adesso andiamo a posizionare il punto "giusto" tra A e B. si troverà un poco all'interno del punto a 2/3 del segmento AB.
Non stiamo a guardare il capello: nella zona il punto c'è.
Se tracciamo un arco di circonferenza con centro C e apertura 3, l'arco passa ovviamente a sinistra di B (di 0,03), per poi entrare all'interno del quadrato e andare a passare proprio nella zona in cui abbiamo prima deciso che deve trovarsi il punto ricercato.
Serve qualche piccolo accorgimento perchè le cose vadano precise a puntino, ma la zona è quella.
E quindi la misura del lato sta nei pressi

radice di 2

Pasquale ha scritto:Sicuro sulle misure 1, 2 e 3 ?

Argh, arcicretino che sono! Le misure corrette sono 2, 3 e 4 (nell'ordine), scusate la svista...

0-§ ha scritto:Argh, arcicretino che sono! Le misure corrette sono 2, 3 e 4 (nell'ordine), scusate la svista...

$l\/=\/\sqrt{\frac {25}2\/+\/\frac{\sqrt{287}}2}$

Per me il lato misura $\sqrt{10+\sqrt{63}} = 4,2352394...$, di poco inferiore a $3\sqrt{2}$

Mi riservo dimostrazione.

Mi è riuscito di far caricare l'immagine (forse il file precedente era troppo grande (sui 30 KB)



Pongo AH = x; PH = y; AB = BC = a; PA = 2; PB = 3; PC = 4;

Ne discende il seguente sistema:

1) $x^2 + y^2 = 4;$ $y^2 = 4 -x^2;$ che sostituisco nella seconda e terza equazione


2) $(a-x)^2 + y^2 = 9;$ $x = \frac{a^2 -5}{2a}$


3) $(a-x)^2 + (a-y)^2 = 16;$ $x = \frac{a^2-6 + \sqrt{-a^4 + 20a^2 - 36}}{2a}$

Dal confronto fra la 2) e la 3), si trova:

$a = \sqrt{10+\sqrt{63}} = 4,2352394$... che sostituito nella 2) mi dà

x = 1,5273342…, da cui , sostituendo nella 1):

y = 1,291204…

I tre valori a, x, y verificano le tre equazioni

Come sapete, non sono mai stato bravo con le risposte lampo: non ho minimamente fatto caso all'ordine e ho ragionato così.

Abbiamo un punto distante $2$, $3$ e $4$ da tre vertici di un quadrato di lato $l$: questo punto è l'intersezione di tre cerchi, di raggi $2$, $3$ e $4$, centrati su tre vertici del quadrato: tale punto si può ottenere come soluzione del sistema di equazioni che rappresentano i cerchi sul piano cartesiano

$\left\{ \begin{eqnarray} \left (x\/-\/l\right)^{\script 2}\/+\/y^{\script 2}\/=\/16 \\ x^{\script 2} \/+\/\left (y\/-\/l\right)^{\script 2}\/=\/9 \\ \left (x\/-\/l\right)^{\script 2} \/+\/\left (y\/-\/l\right)^{\script 2}\/=\/4 \\ \end{eqnarray} \right.$

Sottraendo l'ultima equazione dalle prime due otteniamo

$\left\{ \begin{eqnarray} 2\/l\/ x\/-\/l^{\script 2}\/=\/5 \\ 2\/l\/ y\/-\/l^{\script 2}\/=\/12 \\ \end{eqnarray} \right.$

ovvero

$\left\{ \begin{eqnarray} x\/-\/l\/=\/\frac {5\/-\/l^{\script 2}}{2l} \\ y\/-\/l\/=\/\frac {12\/-\/l^{\script 2}}{2l} \\ \end{eqnarray} \right.$

e, sostituendo nella terza equazione

$\left (5\/-\/l^{\script 2}\right)^{\script 2} \/+\/\left(12\/-\/l^{\script 2}\right)^{\script 2}\/=\/16\/l^{\script 2}$

e riordinando otteniamo un'equazione di quarto grado in $l$

$2\/l^{\script 4}\/-\/50\/l^{\script 2}\/+\/169=0$

Le soluzioni di questa equazione sono

$l^{\script 2}\/=\/\frac{25\/\pm\/sqrt{287}}2$

Poichè deve essere $l\/>\/4$ scegliamo la soluzione con la radice positiva per cui

$l^{\script 2}\/=\/\frac{25\/+\/sqrt{287}}2$

Naturalmente, basta cambiare l'ordine

$\left\{ \begin{eqnarray} x^{\script 2} \/+\/y^{\script 2}\/=\/4 \\ \left (x\/-\/l\right)^{\script 2}\/+\/y^{\script 2}\/=\/9 \\ \left (x\/-\/l\right)^{\script 2} \/+\/\left (y\/-\/l\right)^{\script 2}\/=\/16 \\ \end{eqnarray} \right.$

e procedere come sopra per ottenere lo stesso risultato di Pasquale

Pasquale ha scritto:Per me il lato misura $\sqrt{10+\sqrt{63}} = 4,2352394...$, di poco inferiore a $3\sqrt{2}$

Molto bene, mi sembra che fili.
Io avevo tentato un approccio trigonometrico che purtroppo è andato a pallino per errori di calcolo che non sono riuscito a identificare; ormai non ha più importanza.
Bene, chi tenta il secondo?

OK Pan, chiaro come al solito.

Tento di uppare il thread perché il secondo problema è ancora da risolvere.
Cerco di spiegare meglio la situazione: bisogna inventare una procedura che faccia sì che, dato il questionario di uno studente, non sia possibile stabilire se questi faccia lo sport in questione oppure no, ma che consenta comunque di ottenere dei risultati significativi per condurre una statistica.
Ripeto che il metodo ha un passaggio "aleatorio"...

Buon weekend!
Mottolo