Da "The art of computer programming"...

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0-§
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Da "The art of computer programming"...

Messaggio da 0-§ »

Prima che me ne scordi (spero non sia già stato postato): trovare una forma chiusa per
$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k(2k+1)^3}{(2k+1)^4+4}$
Ultima modifica di 0-§ il mer set 30, 2009 12:34 am, modificato 1 volta in totale.
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Pasquale
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Re: Da "The art of computer programming"...

Messaggio da Pasquale »

Sinceramente non conosco il significato di questa terminologia, ma l'espressione riportata si potrebbe scrivere anche nella forma:

$\frac{(-1)^n(n+1)}{5}$
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$\text { }$ciao Immagine ciao
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0-§
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Re: Da "The art of computer programming"...

Messaggio da 0-§ »

Whoops, ora che mi ci fai pensare ho commesso un grave typo (il -1 elevato alla n anzichè alla k), correggo subito.
Pas, quale [sciarada zoppa, oltrechè fortuita] terminologia non ti è chiara?
Il simbolo indica la somma di tutti i valori assunti da quella funzione di k (per k che va da zero a n).
Chi si cimenta?
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karl
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Re: Da "The art of computer programming"...

Messaggio da karl »

Per noti procedimenti si ha:
$\displaystyle \frac{(2k+1)^3}{(2k+1)^4+4}=\frac{k}{4k^2+1}+\frac{k+1}{4(k+1)^2+1}$
Pertanto,indicando con $S_n$ la somma da ottenere,risulta:
$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k (k)}{4k^2+1}+\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(k+1)}{4(k+1)^2+1}$
Nella seconda sommatoria si cambi k in i-1 :
$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k (k)}{4k^2+1}+\sum_{i=1}^{n+1}\frac{(-1)^{i-1}(i)}{4i^2+1}$
Ovvero:
$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k (k)}{4k^2+1}-\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i}(i)}{4i^2+1} +\frac{(-1)^n(n+1)}{4(n+1)^2+1}$

E in definitiva:

$S_n=\frac{(-1)^n(n+1)}{4(n+1)^2+1}$

Pasquale
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Re: Da "The art of computer programming"...

Messaggio da Pasquale »

Mah, ho lavorato sulla "n", ma comunque stavo dormendo, perché non mi riesce più di riprodurre il risultato che avevo indicato (anche considerando il valore n); quindi da qualche parte avevo commesso un errore che non so quale sia.
Per il resto, mi riferivo al termine "formula chiusa".
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0-§
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Re: Da "The art of computer programming"...

Messaggio da 0-§ »

Ottimo karl, come sempre del resto.
Io, col permesso dell'Admin, proseguirei con domande tratte dall'ottimo libro succitato (di Donald Knuth, per gli eventuali interessati): non me ne vogliate se tali domande risulteranno un po' raffazzonate, venendo tratte da capitoli diversi del libro.

Dati $\displaystyle c=u+v\sqrt2$ (*) e $\displaystyle d=u_1+v_1\sqrt2$ con $\displaystyle u, v, u_1, v_1 \in \mathbb N$ poniamo $\frac{c}{d}=x+y\sqrt2$, con $x, y \in \mathbb Q$; ora poniamo $\displaystyle q=u_2+v_2\sqrt2$ con $\displaystyle u_2$ e $\displaystyle v_2$ gli interi più prossimi rispettivamente a x e a y. Infine sia $\displaystyle u_3+v_3\sqrt2=c-qd$. Mostrare che $\displaystyle |u_3^2-2v_3^2| < |u_1^2-2v_1^2|$.
Per chi si chiedesse il senso della domanda, dico brevemente che ciò permette di concludere che un certo algoritmo, ottenuto da una semplice generalizzazione di quello di Euclide per il M.C.D. (in pratica si estende la validità dell'algoritmo in questione dall'insieme dei naturali a quello S di tutti i reali esprimibili con una formula come la (*), dove si intende che dati due numeri a, b in S a divide b se e solo se esiste d in S t.c. ad=b), termina sempre (dietro richiesta ulteriori dettagli).

A domani.
Zerinf
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