Vedo che il problema è stato ulteriormente sviscerato e che il fatto che ${8 \choose 6} \/ \times \/ 6! \/ \times \/ 36$ conta come distinte le scatole $\left \[ 12 \right \]$ e $\left \[ 21 \right \]$ è stato individuato.
Comunque, sebbene tra tante soluzioni diverse alcune siano sbagliate (come quella del libro), non è affatto detto che ve ne sia una sola di giusta. Tutto dipende da che cosa vogliamo contare: possiamo considerare o no l'ordine delle scatole e l'ordine degli oggetti all'interno delle scatole.
Per esempio, se non consideriamo l'ordine delle scatole le “distribuzioni”
$\[123\]\/\[4\]\/\[5\]\/\[6\]\/\[7\]\/\[8\]$
e
$\[4\]\/\[123\]\/\[5\]\/\[6\]\/\[7\]\/\[8\]$
diventano equivalenti mentre, se invece non consideriamo l'ordine degli oggetti nelle scatole, le “distribuzioni” precedenti diventano distinte e sono equivalenti le “distribuzioni”
$\[123\]\/\[4\]\/\[5\]\/\[6\]\/\[7\]\/\[8\]$
e
$\[321\]\/\[4\]\/\[5\]\/\[6\]\/\[7\]\/\[8\]$
Mi pare di capire che vogliamo considerare l'ordine delle scatole ma non quello degli oggetti all'interno di una scatola e con questa convenzione conviene riempire ciascuna scatola prima di passare alla scatola successiva.
Perché ciascuna scatola contenga almeno un oggetto abbiamo o una scatola contiene tre oggetti o due scatole contengono due oggetti: in pratica, dobbiamo considerare solo le partizioni di $8$ in sei, $311111$ e $221111$.
Per la prima partizione abbiamo ${8 \choose 3}$ modi di riempire la prima scatola, ${5 \choose 1}$ modi di riempire la seconda, ${4 \choose 1}$ modi di riempire la terza ecc.
Inoltre abbiamo ${6 \choose 1}$ modi di scegliere la scatola con tre oggetti (l'ordine delle scatole conta!), per cui
${8 \choose 3}\/{5 \choose 1}\/{4 \choose 1}\/{3 \choose 1}\/{2 \choose 1}\/{1 \choose 1}\/{6 \choose 1}=\frac{8!}{\cancel{5!}3!}\/\frac{\cancel{5!}}{1!\cancel{4!}}\/\frac{\cancel{4!}}{1!\cancel{3!}}\/\frac{\cancel{3!}}{1!\cancel{2!}}\/\frac{\cancel{2!}}{1!\cancel{1!}}\/\frac{\cancel{1!}}{1!0!}\/\frac{6!}{1!5!}\/=\/\frac{8!}{3!1!1!1!1!1!}\times 6$
Per la seconda. ne abbiamo $\frac{8!}{2!2!1!1!1!1!}\times 15$ perchè abbiamo ${6 \choose 2}$ modi di scegliere le due scatole con due oggetti. In totale contiamo
$8! \/ \left ( \frac 6 {3!} + \frac {15} {2!2!} \right )\/=\/8!\frac {19}4\/=\/191\/520$
modi di sistemare le scatole
Per rendere la cosa più chiara riporto in una tabella i diversi modi di suddividere in sei gruppi gli oggetti ordinati da $1$ a $8$; ciascuna “distribuzione” può essere permutata in $8!$ modi e ciascun gruppo di $k$ oggetti può essere permutato in $k!$ modi, da cui
$\begin{array}{c45c45c45c45c45c45c100}
\[{\text A}\]&\[{\text B}\]&\[{\text C}\]&\[{\text D}\]&\[{\text E}\]&\[{\text F}\]&{\text modi}\\
\hline\\
\[123\]&\[4\]&\[5\]&\[6\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{3!1!1!1!1!1!}\\
\[12\]&\[34\]&\[5\]&\[6\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{2!2!1!1!1!1!}\\
\[12\]&\[3\]&\[45\]&\[6\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{2!1!2!1!1!1!}\\
\[12\]&\[3\]&\[4\]&\[56\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{2!1!1!2!1!1!}\\
\[12\]&\[3\]&\[4\]&\[5\]&\[67\]&\[8\]&\frac {8!}{2!1!1!1!2!1!}\\
\[12\]&\[3\]&\[4\]&\[5\]&\[6\]&\[78\]&\frac {8!}{2!1!1!1!1!2!}\\
\[1\]&\[234\]&\[5\]&\[6\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{1!3!1!1!1!1!}\\
\[1\]&\[23\]&\[45\]&\[6\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{1!2!2!1!1!1!}\\
\[1\]&\[23\]&\[4\]&\[56\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{1!2!1!2!1!1!}\\
\[1\]&\[23\]&\[4\]&\[5\]&\[67\]&\[8\]&\frac {8!}{1!2!1!1!2!1!}\\
\[1\]&\[23\]&\[4\]&\[5\]&\[6\]&\[78\]&\frac {8!}{1!2!1!1!1!2!}\\
\[1\]&\[2\]&\[345\]&\[6\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{1!1!3!1!1!1!}\\
\[1\]&\[2\]&\[34\]&\[56\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{1!1!2!2!1!1!}\\
\[1\]&\[2\]&\[34\]&\[5\]&\[67\]&\[8\]&\frac {8!}{1!1!2!1!2!1!}\\
\[1\]&\[2\]&\[34\]&\[5\]&\[6\]&\[78\]&\frac {8!}{1!1!2!1!1!2!}\\
\[1\]&\[2\]&\[3\]&\[456\]&\[7\]&\[8\]&\frac {8!}{1!1!1!3!1!1!}\\
\[1\]&\[2\]&\[3\]&\[45\]&\[67\]&\[8\]&\frac {8!}{1!1!1!2!2!1!}\\
\[1\]&\[2\]&\[3\]&\[45\]&\[6\]&\[78\]&\frac {8!}{1!1!1!2!1!2!}\\
\[1\]&\[2\]&\[3\]&\[4\]&\[567\]&\[8\]&\frac {8!}{1!1!1!1!3!1!}\\
\[1\]&\[2\]&\[3\]&\[4\]&\[56\]&\[78\]&\frac {8!}{1!1!1!1!2!2!}\\
\[1\]&\[2\]&\[3\]&\[4\]&\[5\]&\[678\]&\frac {8!}{1!1!1!1!1!3!}\\
\end{array}$
ciao
Siamo in due ora a chiedere aiuto!!
