Che ve ne pare?

1 ) Scegliamo 3 punti a caso all'interno di un quadrato. Qual è la probabilità che il centro del quadrato si trovi all'interno del triangolo da essi formato? E se invece i punti venissero presi sul perimetro del quadrato? E se usassimo un cerchio? E per un triangolo (diciamo equilatero)?

2 ) Chi è più grande, $\sin(\cos(x))$ o $\cos(\sin(x))$?

3 ) Un sottomarino nemico si muove lungo la retta dei reali. All'inizio si trova sotto un certo intero n e in seguito si muove con una velocità (che chiaramente vi è ignota, come pure la posizione iniziale) costante e di modulo intero. A ogni movimento del sottomarino potete sganciare un siluro su un numero intero, sperando di cogliere il sottomarino (che deve essere esattamente lì). Avete tutto il tempo e i siluri che volete, ma avete bisogno di una strategia per affondare il sottomarino.

4 ) Dimostrare che $\displaystyle d! = \sum^d_{r = 0} (-1)^{r} {{d} \choose {r}}(x + d - r) ^ d \: \forall \: x$

5 ) Trovare tutte le $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tali che $\forall x \notin \left{-1, 1 \right}$$\displaystyle f\left( {\frac{{x - 3}}{{x + 1}}} \right) + f\left( {\frac{{3 + x}}{{1 - x}}} \right) = x$

6 ) Abbiamo un insieme ${a_1, a_2, ..., a_n}$ dove ogni elemento è pari a 1 o a -1 e sappiamo che $\sum^n_{i = 1} a_i a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3}=0$, dove $a_{n+1}=a_1$ e così via. Dimostrare che n è multiplo di 4.

7 ) Siano dati quattro interi A, B, C e D non tutti uguali e applichiamo ripetutamente la "mossa gamma", che consiste nel sostituire A-B ad A, B-C a B, C-D a C e D-A a D. Dimostrare che uno degli interi diventerà arbitrariamente grande dopo un numero finito di iterazioni.

8 ) Dati $a, b, c \in [0;1]$, trovare il massimo di $\frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+a+c}+\frac{c}{1+a+b}+(1 - a)(1 - b)(1 - c)$.

E ora mi fermo, perché 8 è un numero che mi piace e perché si è fatto tardi alquanto.

Greetings,
Giovanni

P.S. Approfitto della vostra cortesia: c'è qualcuno disposto a darmi un aiutino su una serie di Fourier piuttosto scolastica (oddio, non poi tanto, ma abbastanza da non aver cittadinanza nel forum di B5) che non riesco a far venire?

quesito 1), punto primo:

se non ho commesso errori, mi risulta una probabilità di poco meno del 3,389 %

Se conosci la risposta e vedi che il risultato è sbagliato, me lo fai sapere, così ricontrollo.

No, la risposta non la conosco. Dì pure il tuo metodo (io non sono riuscito neanche a creare un'apposita simulazione in Python).

2) le funzioni seno e coseno sono funzioni dalla retta dei reali all'intervallo [-1,1], intervallo nel quale il coseno è sempre positivo mentre il seno no: io voto per cos(sin(x)) > sin(cos(x))

Fuori uno, direi

Ho fatto fare una simulazione al mio figlioccio Picì (anagramma di Cipì), applicata a procedimenti di geometria analitica. Si tratta di lavorare su 8 equazioni di rette: e' una cosa un po' lunga e adesso non ho tempo di fare i disegnini e quant'altro serve per illustrare la cosa.
Appena possibile, ritornerò sull'argomento; per il momento posso dirti che Picì col Decimal Basic ci lavora abbastanza volentieri (sul sito giapponese è disponibile la versione di novembre 2008, con riferimenti anche a Base5).

ATTENZIONE, a seguito del successivo post di Panurgo e da un sommario controllo, tutte le condizioni di validità appresso esposte vanno integrate, molto probabilmente con altre 16 condizioni: il programma quindi si allunga e mi riservo le aggiunte/correzioni non appena possibile.

^^^^^^^^^^^^^^^^^^

Allora, arieccoci:

in un piano cartesiano, sistemo il quadrato in modo che il suo centro coincida con l'origine degli assi ed i lati siano paralleli agli assi;
i triangoli che possono contenere il centro del quadrato devono avere i vertici $P_1, P_2, P_3$ nei quadranti indicati nelle otto figure che seguono, salvo omissioni che non mi va di andare a ricercare.



Esaminando le otto figure da sinistra a destra e dall'alto in basso, vediamo che:

1) comunque disposti $\text P_2 e P_3$, dato $P_1(x_1,y_1)$, dovrà essere $y_1< yOP_3$, con questo intendendosi in modo convenzionale e sintetico che l'ordinata di $P_1$ dovrà essere minore di $y=f(x_1)$, equazione della retta $OP_3$

Allo stesso modo, procedendo per gli altri sette quadrati, dovrà essere:

$\text 2) y_2<yOP_3\\3) y_1>yOP_2\\4) yOP_2<y_1<yOP_3\\5) yOP_2<y_3<yOP_1\\6) y_1>yOP_3\\7) yOP_3<y_1<yOP_2\\8) yOP_1<y_3<yOP_2$

Nelle relazioni sono stati considerati i valori relativi.

L'equazione della retta passante per il centro e per $P_n$ è data da $y=\frac{y_n}{x_n}\cdot x$, in cui sarà calcolata la y in corrispondenza di $x=x_j$

Detto questo, non resta che mettere nero su bianco su qualcosa tipo Decimal Basic, lanciando nel quadrato una sfilza di puntini a tre a tre per qualche milione di volte e considerando come validi quelli ricadenti nelle zone del quadrato sopra individuate.
Nel programma ho considerato un quadrato di lato 2.

Segue il programma in cui la reiterazione è data da v=10^3, per limitare il tempo di attesa e verificarne il funzionamento, ma io ho provato con 10 milioni di volte (in sostanza aumentando v, aumenta la precisione del risultato, che si attesta intorno al 3,4%).

DIM P(3,2)
LET cont=0
RANDOMIZE

LET v=10^3
FOR z=1 TO v

FOR m=1 TO 3
FOR n=1 TO 2
LET a=INT(RND*2)
IF a=0 THEN LET a=-1
DO
LET p(m,n)=RND*a
LOOP WHILE p(m,n)=0
NEXT N
NEXT M

!'se 1/1°,1/2°,1/3° 'leggasi "un punto nel 1° quadrante, uno nel secondo e uno nel terzo"
IF P(1,1)>0 AND P(1,2)>0 AND P(2,1)<0 AND P(2,2)>0 AND P(3,1)<0 AND P(3,2)<0 THEN
LET c3=P(3,2)/P(3,1)!'coeficiente angolare di OP3
LET yOP3=c3*P(1,1) !'ordinata di OP3 nel punto di ascissa P(1,1)
IF P(1,2)<yOP3 THEN LET cont=cont+1
END IF


!'se 1/1°,1/2°,1/4°
IF P(1,1)>0 AND P(1,2)>0 AND P(2,1)<0 AND P(2,2)>0 AND P(3,1)<0 AND P(3,2)<0 THEN
LET c3=P(3,2)/P(3,1)
LET yOP3=c3*P(2,1)
IF P(2,2)<yOP3 THEN LET cont=cont+1
END IF

!'se 1/1°,1/3°,1/4°
IF P(1,1)>0 AND P(1,2)>0 AND P(2,1)<0 AND P(2,2)<0 AND P(3,1)>0 AND P(3,2)<0 THEN
LET c2=P(2,2)/P(2,1)
LET yOP2=c2*P(1,1)
IF P(1,2)>yOP2 THEN LET cont=cont+1
END IF


!'se 1/1°,2/3°
IF P(1,1)>0 AND P(1,2)>0 AND P(2,1)<0 AND P(2,2)<0 AND P(3,1)<0 AND P(3,2)<0 THEN
LET c2=P(2,2)/P(2,1)
LET yOP2=c2*P(1,1)
LET c3=P(3,2)/P(3,1)
LET yOP3=c3*P(1,1)
IF P(1,2)>yOP2 AND P(1,2)<yOP3 THEN LET cont=cont+1
END IF

!'se 2/1°,1/3°
IF P(1,1)>0 AND P(1,2)>0 AND P(2,1)>0 AND P(2,2)>0 AND P(3,1)<0 AND P(3,2)<0 THEN
LET c2=P(2,2)/P(2,1)
LET yOP2=c2*P(3,1)
LET c1=P(1,2)/P(1,1)
LET yOP1=c1*P(3,1)
IF P(3,2)>yOP2 AND P(3,2)<yOP1 THEN LET cont=cont+1
END IF

!'se 1/2°,1/3°,1/4°
IF P(1,1)<0 AND P(1,2)>0 AND P(2,1)<0 AND P(2,2)<0 AND P(3,1)>0 AND P(3,2)<0 THEN
LET c3=P(3,2)/P(3,1)
LET yOP3=c3*P(1,1)
IF P(1,2)>yOP3 THEN LET cont=cont+1
END IF

!'se 1/2°,2/4°
IF P(1,1)<0 AND P(1,2)>0 AND P(2,1)>0 AND P(2,2)<0 AND P(3,1)>0 AND P(3,2)<0 THEN
LET c3=P(3,2)/P(3,1)
LET yOP3=c3*P(1,1)
LET c2=P(2,2)/P(2,1)
LET yOP2=c2*P(1,1)
IF P(1,2)>yOP3 AND P(1,2)<yOP2 THEN LET cont=cont+1
END IF

!'se 2/2°,1/4°
IF P(1,1)<0 AND P(1,2)>0 AND P(2,1)<0 AND P(2,2)>0 AND P(3,1)>0 AND P(3,2)<0 THEN
LET c1=P(1,2)/P(1,1)
LET yOP1=c1*P(3,1)
LET c2=P(2,2)/P(2,1)
LET yOP2=c2*P(3,1)
IF P(3,2)>yOP1 AND P(3,2)<yOP2 THEN LET cont=cont+1
END IF

NEXT Z

LET pr=cont/v*100
PRINT "Centro del quadrato interno al triangolo con probabilità del";pr;"%"


END

Pasquale ha scritto:quesito 1), punto primo:
se non ho commesso errori, mi risulta una probabilità di poco meno del 3,389 %

Pasquale, hai provato a fare qualche simulazione generando qualche migliaio di terne casuali di punti nel quadrato per vedere se si conferma quel risultato?

Te lo chiedo perchè so che con decimal basic te la cavicchi più che bene ma soprattutto perchè a me, lavorando su foglietti nelle sale d'aspetto degli aeroporti, viene qualcosa di completamente diverso!
Non mi spiacerebbe capire se val la pena, come torno a casa, di mettere tutto in bella oppure se ho preso fischi per fiaschi.

ciao

Franco, nel mio post precedente al tuo ultimo, che evidentemente non hai avuto modo di vedere, puoi notare che il mio lavoro consiste proprio in una simulazione.
Tuttavia, i miei dubbi nascono dallo scarso risultato (3,4%) che mi hanno fatto pensare a qualche errore commesso nell'impostazione della simulazione: potrebbe essermi sfuggito qualche caso che andava considerato, potrei aver commesso degli errori nella traduzione del procedimento in linguaggio Decimal (un < al posto di un > può già determinare dei risultati sballati).
Potrei controllare, ma non ne ho avuto tempo: i ragionamenti fatti sono elementari, ma richiedono attenzione ed in fondo mi interessa più il procedimento che il risultato.

^^^^^

Ecco! Infatti, da un primo sommario controllo ho già potuto vedere che agli otto casi presi in considerazione come validi bisogna aggiungerne altri: vedrò se ne avrò tempo (questo comporterebbe un aumento della percentuale).

Un piccolo aumento di percentuale sarebbe auspicabile, anche perché, per il cerchio e per i poligono con $2k$ lati aventi i lati opposti ($i$ e $k+i$) paralleli, la probabilità è di $1/4$

Si, infatti penso che devo aggiungere altre 16 superfici valide a quelle già individuate, per cui il 10% verrà senz'altro superato, ma non posso farlo adesso.
Quando lo farò, scommetto che il risultato sarà solo una conferma del tuo.

illustro il mio ragionamento/simulazione
non so se differisce molto da quanto iniziato da P.
Dati i primi due punti A e B, li uniamo tra loro (tralasciando l'ipotesi che il segmento congiungente passi proprio per il centro O)
da ciascun punto A e B facciamo partire una semiretta passante per O
la parte di spazio racchiusa tra i due prolungamenti, oltre il centro, è la parte della figura "buona", dove cioè deve cadere il terzo punto C per chiudere il centro O nel triangolo ABC
il rapporto di questa parte "buona" con la figura intera, è, nel caso del cerchio, facile da calcolare, essendo pari al rapporto tra l'angolo al centro e l'angolo giro.
variando tra zero, quando A e B sono "vicini vicini" e metà, quando sono sulla stessa diagonale (o quasi), è elegante fare una media a 1/4
nel caso di figure diverse, le cose cambiano ? di molto?
non ho voglia di pensarci troppo

Sinceramente molti dubbi si sono insinuati nella mia povera obsoleta mente, talché sarei per tornare alla prima idea, perché mi pare che le figure aggiuntive annunciate siano alternative e non aggiuntive: tornerei quindi nuovamente al precedente 3,4%.
Forse è una questione di pigrizia in questo momento, ma se c'è l'errore, trovatemelo voi...grazie.
Vorrei invece vedere se mi riesce di trovare un algoritmo diverso da porre a confronto col primo.

panurgo ha scritto:2) le funzioni seno e coseno sono funzioni dalla retta dei reali all'intervallo [-1,1], intervallo nel quale il coseno è sempre positivo mentre il seno no: io voto per cos(sin(x)) > sin(cos(x))

O.K., ho cambiato l'algoritmo con altro che mi sembra più semplice e la probabilità si attesta intorno al 57,328%, col che significando che il precedente algoritmo era incompleto.

Questa volta ho ragionato così, una volta tracciato il mio quadrato sul piano cartesiano, con il centro coincidente con l’origine degli assi ed i lati lunghi 2 unità e paralleli agli stessi:
affinché possa ritenersi il centro degli assi, ovvero del quadrato, come appartenente alla superficie del triangolo, è necessario e sufficiente che si verifichi l’esistenza di due punti di intersezione fra l’asse delle ascisse, oppure delle ordinate, e due lati del triangolo; inoltre le ascisse, o le ordinate, di tali punti devono avere valori di segno opposto:
i casi limite di un lato giacente su uno degli assi, o comunque del centro degli assi che giace sul perimetro del triangolo, sono considerati validi.
Per convincersi di questo, è sufficiente porre in atto i suggerimenti di Gianfranco sulla matematica dilettevole in genere, quando dice che a volte può essere utile lavorare anche con le forbici: nel caso specifico, occorre ritagliare un triangolo disegnato su carta lucida, per poterlo spostare in tutti i modi possibili nei dintorni dell’origine degli assi cartesiani, posto che i tre punti siano all’interno del quadrato.

Ne consegue il seguente algoritmo, molto più snello del precedente, in cui ho posto v= 10^7, aspettando quindi un pochino per un risultato abbastanza attendibile:

DIM P(3,2) 'i tre punti
LET cont=0 'i triangoli validi

RANDOMIZE

LET v=10^7

FOR z=1 TO v ' Scegli le coordinate di 3 punti a caso per 10 milioni di volte, all'interno di un quadrato 2x2

FOR m=1 TO 3
FOR n=1 TO 2
LET a=INT(RND*2)
IF a=0 THEN LET a=-1
DO
LET p(m,n)=RND*a
LOOP WHILE p(m,n)=0
NEXT N
NEXT M

LET x1=P(1,1)
LET x2=P(2,1)
LET x3=P(3,1)
LET y1=P(1,2)
LET y2=P(2,2)
LET y3=P(3,2)

'tratta i casi limite:

IF (x1=0 AND x2=0 AND y1*y2<=0) OR (x1=0 AND x3=0 AND y1*y3<=0) OR (x2=0 AND x3=0 AND y2*y3<=0) THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
END IF
IF (y1=0 AND y2=0 AND x1*x2 <=0) OR (y1=0 AND y3=0 AND x1*x3<=0) OR (y2=0 AND y3=0 AND x2*x3<=0) THEN
LET cont=cont+1
END IF

'tratta gli altri casi, effettuando i controlli con l'asse delle x, oppure con quello delle y (attivare o disattivare i GOTO):

'GOTO 10
LET x12 = -(x2-x1)*y1/(y2-y1)+x1
LET x13 = -(x3-x1)*y1/(y3-y1)+x1
LET x23 = -(x3-x2)*y2/(y3-y2)+x2

IF x12*x13<=0 THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
ELSEIF x12*x23<=0 THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
ELSEIF x13*x23<=0 THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
END IF

10
GOTO 50
LET y12=-(y2-y1)*x1/(x2-x1)+y1
LET y13=-(y3-y1)*x1/(x3-x1)+y1
LET y23=-(y3-y2)*x2/(x3-x2)+y2
IF y12*y13<=0 THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
ELSEIF y12*y23<=0 THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
ELSEIF y13*y23<=0 THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
END IF

50
NEXT Z

LET pr=cont/v*100
PRINT "Centro del quadrato interno al triangolo con probabilità del";pr;"%"

END

Occorre aggiungere che la maggiore o minore precisione del risultato dipende dalla quantità di reiterazioni effettuate in relazione alla grandezza del quadrato.
La parte di programma con la doppia verifica dei punti di intersezione con l'asse delle x o delle y, di cui bisogna farne funzionare una sola, è stata inserita per dimostrarne la validità di alternativa e l'eguaglianza dei risultati, altrimenti quella parte di codice può essere così semplificata, eliminando tutto quello che segue, fino al punto 50 escluso:


LET x12 = -(x2-x1)*y1/(y2-y1)+x1
LET x13 = -(x3-x1)*y1/(y3-y1)+x1
LET x23 = -(x3-x2)*y2/(y3-y2)+x2

IF x12*x13<=0 THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
ELSEIF x12*x23<=0 THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
ELSEIF x13*x23<=0 THEN
LET cont=cont+1
GOTO 50
END IF