Vi propongo questi ....semplici quesiti sulle progressioni.

1) Dimostrare che in una progressione aritmetica è:
$\large \frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+...+ \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}$

2)In una progressione geometrica sono note le somme:
$\large S=a_1+a_2+...+a_n$ ed $\large S'=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$
Calcolare il prodotto $P=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot...\cdot a_n$ in funzione di S ed S'


3) Semplificare la somma seguente:
$S= (x+\frac{1}{x})^2+ (x^2+\frac{1}{x^2})^2+(x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^n+\frac{1}{x^n})^2$

4) Dati 2 numeri interi positivi n e k con $k\ge2$,dimostrare che
ogni numero della forma $n^k$ può essere espresso come somma di
n interi dispari consecutivi

karl

Vai col liscio!
Parto dalla 1. Anzitutto razionalizziamo il termine i-esimo della somma a primo membro:
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_i}+\sqrt{a_{i+1}}} = \frac{\sqrt{a_i}-\sqrt{a_{i+1}}}{a_i-a_{i+1}} =\frac{\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_i}}{d}$
dove d è la ragione della progressione (l'ultima uguaglianza vale per la definizione di progressione aritmetica).
Sommando tutti i termini a primo membro (magari in ordine inverso) otteniamo
$\displaystyle \frac{(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1})+(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2})+(\sqrt{a_4}-\sqrt{a_3})+...+(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})}{d}=\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{d}$.
Questo per il left hand side.
Dall'altra parte abbiamo
$\displaystyle \frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}=\frac{(n-1)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})}{a_1-a_n}=\frac{(n-1)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})}{a_1-[a_1-(n+1)d]}=\frac{(n-1)(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1})}{(n-1)d}$
e con una banale semplificazione il gioco è fatto.
Spero di avere copiato correttamente (può darsi che ci siano degli errorini di segno).

OTino: karl, per questo hai tratto ispirazione da un problema delle OliMat?

Molto bene,0-§ ! Non ho preso l'esercizio da oliforum ,anzi ignoro se su quel sito
ci sia una cosa analoga.In effetti i miei quesiti o sono copiati di sana pianta
dal web ( ) o sono personali rielaborazioni ( a volte anche riuscite !) di
problemi pescati un po' dovunque.
Saluti
karl