1) $\;$ Dalla relazione:
$x^2+y^2+xy = X^2+Y^2+XY$
segue questa:
$x^4+y^4+(x+y)^4 = X^4+Y^4+(X+Y)^4$.
2) $\;$ Se n è un intero qualsiasi, i numeri con la forma:
$n(n-3)(n^2-7n+14)$
sono sempre divisibili per 8.
Two chips
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Re: Two chips
1)
Elevando al quadrato ambo i membri e moltiplicando per due si avrà:
$x^4+y^4+\underbrace{x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4}_{(x+y)^4}=X^4+Y^4+\underbrace{X^4+4X^3Y+6X^2Y^2+4XY^3+Y^4}_{(X+Y)^4}$
2)
1.$n$ pari.
I numei pari si alternano tra quelli che fattorizzati presentano1) $2^1$, e quelli che presentano 2) $2^{2+k}=2^22^k$. Nel primo caso scrivo:
$(\frac{n}{2})(n-3)[(\frac{n}{2})^2+7\frac{2-n}{2^2}]$
A qusto punto $(2-n)$ sarà del secondo tipo, sicché si è dimostrata la divisibilità.
Nel secondo caso scrivo:
$(\frac{n}{2^2})(n-3)[\frac{n^2}{2}+7(1-\frac{n}{2})]$
e concludo la dimostrazione per i pari.
2. $n$ dispari.
Ora $(n-3)$ sarà pari, e quindi o del primo tipo o del secondo.
Se del secondo scrivo:
$n(\frac{n-3}{2^2})\{n[\frac{n-3}{2}-2]+7\}$
Se del primo
$n\frac{n-3}{2}\{\frac{n[\frac{n-3}{2}-2]+7}{2}\}$
laddove $n[\frac{n-3}{2}-2]+7$ è certamene pari giacché somma di dispari.
Credo si possa generalizzare
$8 | n(n-k_1)(n^2-k_2n+2k_2)\qquad$con $k_1<k_2$, entrami dispari
Spero di non aver detto cavolate!!
Ciao
Elevando al quadrato ambo i membri e moltiplicando per due si avrà:
$x^4+y^4+\underbrace{x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4}_{(x+y)^4}=X^4+Y^4+\underbrace{X^4+4X^3Y+6X^2Y^2+4XY^3+Y^4}_{(X+Y)^4}$
2)
1.$n$ pari.
I numei pari si alternano tra quelli che fattorizzati presentano1) $2^1$, e quelli che presentano 2) $2^{2+k}=2^22^k$. Nel primo caso scrivo:
$(\frac{n}{2})(n-3)[(\frac{n}{2})^2+7\frac{2-n}{2^2}]$
A qusto punto $(2-n)$ sarà del secondo tipo, sicché si è dimostrata la divisibilità.
Nel secondo caso scrivo:
$(\frac{n}{2^2})(n-3)[\frac{n^2}{2}+7(1-\frac{n}{2})]$
e concludo la dimostrazione per i pari.
2. $n$ dispari.
Ora $(n-3)$ sarà pari, e quindi o del primo tipo o del secondo.
Se del secondo scrivo:
$n(\frac{n-3}{2^2})\{n[\frac{n-3}{2}-2]+7\}$
Se del primo
$n\frac{n-3}{2}\{\frac{n[\frac{n-3}{2}-2]+7}{2}\}$
laddove $n[\frac{n-3}{2}-2]+7$ è certamene pari giacché somma di dispari.
Credo si possa generalizzare
$8 | n(n-k_1)(n^2-k_2n+2k_2)\qquad$con $k_1<k_2$, entrami dispari
Spero di non aver detto cavolate!!
Ciao
Una vita senza ricerca
non è degna di essere vissuta.
Socrate
non è degna di essere vissuta.
Socrate
Re: Two chips
N° 2
Una certa semplificazione di calcoli si può ottenere operando in mod 8.In tal caso
il polinomio diventa :
(1) $\large n^4+6n^3+3n^2-2n=n(n+1)(n^2+5n-2)$
Per quello che serve è sufficiente suppore
n pari divisibile per 4: n=4h
n pari ma non divisibile per 4:n=4h+2
n dispari :n=4h+1,oppure n=4h+3
Sostituendo tali valori in (1) si vede facilmente che il polinomio ridotto
diventa divisibile per 8.
karl
Una certa semplificazione di calcoli si può ottenere operando in mod 8.In tal caso
il polinomio diventa :
(1) $\large n^4+6n^3+3n^2-2n=n(n+1)(n^2+5n-2)$
Per quello che serve è sufficiente suppore
n pari divisibile per 4: n=4h
n pari ma non divisibile per 4:n=4h+2
n dispari :n=4h+1,oppure n=4h+3
Sostituendo tali valori in (1) si vede facilmente che il polinomio ridotto
diventa divisibile per 8.
karl
Re: Two chips
Yesss
Jumpy, ho incontrato un po' di difficoltà
a percorrere la tua seconda dimostrazione,
ma alla fine credo di esserci riuscito
Trovo molto simpatico questo tuo modo di
manipolare le formule!
Senz'altro, tuttavia, la generalizzazione
che proponi non è valida. Però è carina e
penso sia interessante metterla a posto.
Ok per il primo problema, naturalmente
Ottimo Karl!
A me è capitato di riscrivere l'espressione
del secondo quiz così:
$\small n(n-3)(n^2-7n+14) = n(n-3)\[(n-1)(n-2)-4(n-3)\]=n(n-1)(n-2)(n-3)-4n(n-3)^2$
da cui ho dedotto la proprietà.
Jumpy, ho incontrato un po' di difficoltà
a percorrere la tua seconda dimostrazione,
ma alla fine credo di esserci riuscito
Trovo molto simpatico questo tuo modo di
manipolare le formule!
Senz'altro, tuttavia, la generalizzazione
che proponi non è valida. Però è carina e
penso sia interessante metterla a posto.
Ok per il primo problema, naturalmente
Ottimo Karl!
A me è capitato di riscrivere l'espressione
del secondo quiz così:
$\small n(n-3)(n^2-7n+14) = n(n-3)\[(n-1)(n-2)-4(n-3)\]=n(n-1)(n-2)(n-3)-4n(n-3)^2$
da cui ho dedotto la proprietà.
Bruno