Il triangolo ABC è inscritto nella circonferenza di raggio R ed $\displaystyle r_a,r_b,r_c$
sono i raggi delle circonferenze exinscritte ad ABC relativamente ai lati
BC=a,CA=b,AB=c rispettivamente.
Sapendo che è:
$\displaystyle \frac{r_a}{R}+2\cdot \frac{r_b}{R}+\frac{r_c}{R}=5$
$\displaystyle \frac{r_a}{R}=1+\frac{r_c}{R}$
calcolare i lati di ABC in funzione di R e le ampiezze degli angoli del triangolo medesimo.
karl
E ora passiamo agli ...exraggi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Re: E ora passiamo agli ...exraggi
Questa è l'idea che mi è venuta in mente.
Ricordo velocemente le principali relazioni
che coinvolgono l'inraggio, il circumraggio,
i raggi delle circonferenze exincritte e l'area
di un triangolo qualsiasi:
1) $\;\frac 1 r = \frac 1 {r_a}+ \frac 1 {r_b}+ \frac 1 {r_c}$
2) $\;4R+r = r_a+r_b+r_c$
3) $\;A^2 = r_ar_br_cr$
Un po' come apparecchiare la tavola
Richiamo le due relazioni indicate da Karl:
$\frac {r_a}{R}+2\cdot\frac {r_b}{R}+\frac {r_c}{R}=5 \\ \, \\\frac {r_a}{R} = 1+\frac {r_c}{R}$
dalle quali ricavo queste:
$r_a = R+r_c \\ \, \\r_b = 2R-r_c.$
Combinando i primi due membri della 1
con la 2, trovo:
$4R = (r_a+r_b)+r_c-\frac {r_ar_br_c}{(r_a+r_b)r_c+r_ar_b}$
e, tenendo conto delle due relazioni ricavate
poco sopra, mi annoto:
$R = r_c -\frac {r_ar_br_c}{(r_a+r_b)r_c+r_ar_b}=\frac{(r_a+r_b)r_c^2}{(r_a+r_b)r_c+r_ar_b}= \frac{3r_c^2R}{2R^2+4r_cR-r_c^2}$
da cui ottengo:
$2r_c^2-2r_cR-R^2 = 0$
che mi dà successivamente:
$r_c=\frac{\sqrt{3}+1}{2}R \\ \, \\r_b=\frac{3-\sqrt{3}}{2}R\\ \, \\r_a=\frac{3+\sqrt{3}}{2}R$
a cui aggiungo l'inraggio (per la 2):
$r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}R$
l'area del triangolo (per la 3):
$A = \frac{\sqrt{3}}{2}R^2$
e infine il semiperimetro:
$p = {\large \frac{A}{r}} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}R$.
E' noto che i lati si possono ricavare
in base all'exraggio corrispondente, al
semiperimetro e all'area del triangolo.
Cioè risulta:
$a = p-{\large \frac A r_{\small a}} = 2R \\ \, \\b = p-{\large \frac A r_{\small b}} = R \\ \, \\c = p-{\large \frac A r_{\small c} = \sqrt{3}R$
Questo triangolo è rettangolo, visto che
uno dei lati (a) è il doppio del circumraggio.
Per cui l'angolo opposto ad a è retto.
Inoltre, tale triangolo è anche la metà di un
triangolo equilatero, visto che un cateto (b)
è la metà dell'ipotenusa. Ciò significa che
l'angolo opposto a b è di 30° e il terzo angolo
è naturalmente di 60°.
(Salvo sviste!)
Mhm... probabilmente c'è qualche sveltizia, mi
vien da pensare osservando il risultato, ma non
sono riuscito a intercettarla in tempo
Proverò a ripensarci, per ora passo la palla
Ricordo velocemente le principali relazioni
che coinvolgono l'inraggio, il circumraggio,
i raggi delle circonferenze exincritte e l'area
di un triangolo qualsiasi:
1) $\;\frac 1 r = \frac 1 {r_a}+ \frac 1 {r_b}+ \frac 1 {r_c}$
2) $\;4R+r = r_a+r_b+r_c$
3) $\;A^2 = r_ar_br_cr$
Un po' come apparecchiare la tavola
Richiamo le due relazioni indicate da Karl:
$\frac {r_a}{R}+2\cdot\frac {r_b}{R}+\frac {r_c}{R}=5 \\ \, \\\frac {r_a}{R} = 1+\frac {r_c}{R}$
dalle quali ricavo queste:
$r_a = R+r_c \\ \, \\r_b = 2R-r_c.$
Combinando i primi due membri della 1
con la 2, trovo:
$4R = (r_a+r_b)+r_c-\frac {r_ar_br_c}{(r_a+r_b)r_c+r_ar_b}$
e, tenendo conto delle due relazioni ricavate
poco sopra, mi annoto:
$R = r_c -\frac {r_ar_br_c}{(r_a+r_b)r_c+r_ar_b}=\frac{(r_a+r_b)r_c^2}{(r_a+r_b)r_c+r_ar_b}= \frac{3r_c^2R}{2R^2+4r_cR-r_c^2}$
da cui ottengo:
$2r_c^2-2r_cR-R^2 = 0$
che mi dà successivamente:
$r_c=\frac{\sqrt{3}+1}{2}R \\ \, \\r_b=\frac{3-\sqrt{3}}{2}R\\ \, \\r_a=\frac{3+\sqrt{3}}{2}R$
a cui aggiungo l'inraggio (per la 2):
$r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}R$
l'area del triangolo (per la 3):
$A = \frac{\sqrt{3}}{2}R^2$
e infine il semiperimetro:
$p = {\large \frac{A}{r}} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}R$.
E' noto che i lati si possono ricavare
in base all'exraggio corrispondente, al
semiperimetro e all'area del triangolo.
Cioè risulta:
$a = p-{\large \frac A r_{\small a}} = 2R \\ \, \\b = p-{\large \frac A r_{\small b}} = R \\ \, \\c = p-{\large \frac A r_{\small c} = \sqrt{3}R$
Questo triangolo è rettangolo, visto che
uno dei lati (a) è il doppio del circumraggio.
Per cui l'angolo opposto ad a è retto.
Inoltre, tale triangolo è anche la metà di un
triangolo equilatero, visto che un cateto (b)
è la metà dell'ipotenusa. Ciò significa che
l'angolo opposto a b è di 30° e il terzo angolo
è naturalmente di 60°.
(Salvo sviste!)
Mhm... probabilmente c'è qualche sveltizia, mi
vien da pensare osservando il risultato, ma non
sono riuscito a intercettarla in tempo
Proverò a ripensarci, per ora passo la palla
Bruno
Re: E ora passiamo agli ...exraggi
Bene ,Bruno.
Qualche semplificazione (poca roba) si può ottenere riducendo il sistema a:
$r_a+r_c=3R\\ \,\\r_b+r_c=2R$
e poi applicando le formule dei raggi exinscritti e del circoraggio.
Per esempio dalla seconda equazione si ha:
$\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c}=\frac{abc}{2S}$
Da cui:
$2ap(p-a)(p-b)(p-c)=abc(p-b)(p-c)$ ovvero $(a+b+c)(-a+b+c)=2bc$
Ed infine $a^2=b^2+c^2$ il che prova che il triangolo è rettangolo in A ,etc.
Saluti
karl
Qualche semplificazione (poca roba) si può ottenere riducendo il sistema a:
$r_a+r_c=3R\\ \,\\r_b+r_c=2R$
e poi applicando le formule dei raggi exinscritti e del circoraggio.
Per esempio dalla seconda equazione si ha:
$\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c}=\frac{abc}{2S}$
Da cui:
$2ap(p-a)(p-b)(p-c)=abc(p-b)(p-c)$ ovvero $(a+b+c)(-a+b+c)=2bc$
Ed infine $a^2=b^2+c^2$ il che prova che il triangolo è rettangolo in A ,etc.
Saluti
karl