Un po' a dritta e un po' a manca ho raccolto questi vari quesiti che ora Vi propongo
1) in quanti modi si possono disporre 12 sbarre uguali , diversamente colorate , per formare l'ossatura di un cubo?
2) un carretto con le ruote di 3 metri di circonferenza viene trainato da un uomo che cammina con passi di 50 centimetri.
quanti passi farà l'uomo in un'ora , se le ruote del carretto fanno 30 giri al minuto?
3) Sapete dirmi quante cifre hanno i più piccoli numeri interi che soddisfano alla relazione x^2= 991*y^2+1 ?
4) trovare tre numeri consecutivi il cui prodotto sia 8 volte la loro somma.
5 ) per ultima ho lasciato una questione alla quale non avevo mai posto attenzione "Data una parabola di equazione Y= ax^2 + bx +c e due suoi punti generici come si fa a calcolare la lunghezza dell'arco di parabola compreso fra essi?"
Ho scartabellato un po' i miei vetusti testi scolastici ma non sono riuscito a trovare risposta a questo ultimo quesito
Ho trovato come si calcola l'area ... come si trova il fuoco o la direttrice ... ecc. ma come calcolare la lunghezza no
potete aiutarmi?
Ciao
Diamo i numeri variamente
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Re: Diamo i numeri variamente
4)
- tre volte la somma di tre interi consecutivi = 24 volte il numero di mezzo
- il prodotto di tre interi consecuti non è molto diverso dal cubo del numero di mezzo
- per l'enunciato, moltiplicare per 24 il numero di mezzo è QUASI come elevarlo al cubo
- 24 è QUASI 25
- 5 x 5 = 25
...........
(viva la matematica approssimativa)
- tre volte la somma di tre interi consecutivi = 24 volte il numero di mezzo
- il prodotto di tre interi consecuti non è molto diverso dal cubo del numero di mezzo
- per l'enunciato, moltiplicare per 24 il numero di mezzo è QUASI come elevarlo al cubo
- 24 è QUASI 25
- 5 x 5 = 25
...........
(viva la matematica approssimativa)
Enrico
Re: Diamo i numeri variamente
4) (n-1)n(n+1)=24n; n=0,-5,+5
-1, 0, 1
-6, -5, -4
4, 5, 6
2) il carretto fa 90 metri al minuto e pure l'uomo, che impiega 180 passi; in un'ora 180x60=10800; oppure: il carretto in un'ora fa 30x3x60=5400m e così l'uomo che impiega 5400x2=10800 passi.
1) questo è un po' più complicato, se si considera di dover scartare le simmetrie dall'iniziale 12!
Se però il cubo venisse piantato a terra su un piano orientato, cambierebbero le cose.
3)x=-1; y=0
5) Facendo riferimento ad una parabola di equazione $y=x^2$, per semplificare l'esposizione del ragionamento, e dovendo calcolare la lunghezza dell'arco di parabola nell'intervallo $x_1=0; x_2=5$, sempre per semplificare ed esemplificare, io farei così:
Divido l'intervallo che mi in teressa in n parti e per ogni parte calcolo la lunghezza dell'archetto di parabola corrispondente, assumendo che sia rettilineo nell'intervallino considerato, se n è molto grande.
Quindi effettuo la somma di tutti gli archetti e posso portare ad infinito il limite di n.
L'elaborazione di un piccolo programma di calcolo, anche in Decimal Basic, sarebbe molto semplice ed andrebbe adattato in funzione dell'intervallo di interesse, per quanto riguarda l'accettabilità dell'approssimazione del calcolo.
-1, 0, 1
-6, -5, -4
4, 5, 6
2) il carretto fa 90 metri al minuto e pure l'uomo, che impiega 180 passi; in un'ora 180x60=10800; oppure: il carretto in un'ora fa 30x3x60=5400m e così l'uomo che impiega 5400x2=10800 passi.
1) questo è un po' più complicato, se si considera di dover scartare le simmetrie dall'iniziale 12!
Se però il cubo venisse piantato a terra su un piano orientato, cambierebbero le cose.
3)x=-1; y=0
5) Facendo riferimento ad una parabola di equazione $y=x^2$, per semplificare l'esposizione del ragionamento, e dovendo calcolare la lunghezza dell'arco di parabola nell'intervallo $x_1=0; x_2=5$, sempre per semplificare ed esemplificare, io farei così:
Divido l'intervallo che mi in teressa in n parti e per ogni parte calcolo la lunghezza dell'archetto di parabola corrispondente, assumendo che sia rettilineo nell'intervallino considerato, se n è molto grande.
Quindi effettuo la somma di tutti gli archetti e posso portare ad infinito il limite di n.
L'elaborazione di un piccolo programma di calcolo, anche in Decimal Basic, sarebbe molto semplice ed andrebbe adattato in funzione dell'intervallo di interesse, per quanto riguarda l'accettabilità dell'approssimazione del calcolo.
Ultima modifica di Pasquale il mar apr 08, 2008 11:58 pm, modificato 6 volte in totale.
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$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Diamo i numeri variamente
1) parecchie (per caso hai uno di quei giochini con le barrette magnetiche ?)
2) circa 5 chilometri
3) una cifra ! (nel senso dell'esclamazione)
4) grande Enrico (metodo non ortodosso, soluzione corretta)
e per ultimo ...
5) con un integrale (prendi un intervallo piccolo a piacere, approssimi la curva ad una retta e ne calcoli la lunghezza, poi fai la somma, s'era fatto qualcosa di simile nella discussione Montagne russe a proposito di una sinusoide, vedi in particolare gli integrali di panurgo)
2) circa 5 chilometri
3) una cifra ! (nel senso dell'esclamazione)
4) grande Enrico (metodo non ortodosso, soluzione corretta)
e per ultimo ...
5) con un integrale (prendi un intervallo piccolo a piacere, approssimi la curva ad una retta e ne calcoli la lunghezza, poi fai la somma, s'era fatto qualcosa di simile nella discussione Montagne russe a proposito di una sinusoide, vedi in particolare gli integrali di panurgo)
[Sergio] / $17$
Re: Diamo i numeri variamente
2) la risposta di Quelo è ...inquietante (se facciamo riferimento alla domanda...)
ma riguardo proprio al quesito del carretto, che dire dell'ipotesi di un tragitto non rettilineo ? perchè dare per scontato che le ruote (2 ? 4 ?...) siano concordi e sincronizzate ?
facciamo che prendiamo una carriola (con ruota un po' superdimensionata)
ma riguardo proprio al quesito del carretto, che dire dell'ipotesi di un tragitto non rettilineo ? perchè dare per scontato che le ruote (2 ? 4 ?...) siano concordi e sincronizzate ?
facciamo che prendiamo una carriola (con ruota un po' superdimensionata)
Enrico
Re: Diamo i numeri variamente
1) ne butto lì una a caso: 11!
2) diciamo un diecimila passi ?
2) diciamo un diecimila passi ?
[Sergio] / $17$
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Gianfranco
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Re: Diamo i numeri variamente
Ciao Ronfo,
la lunghezza di un arco di funzione del tipo y=f(x) compresa fra due punti di ascisse a, b, è uguale a:
$s=\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2)}\,dx$
Nel caso della parabola, $y=ax^2+bx+c$:
$s=\int_a^b \sqrt{1+(2ax+b)^2)}\,dx$
Con l'aiuto di Maple, l'integrale indefinito sembrerebbe essere...
(vedi figura allegata)
Gianfranco
la lunghezza di un arco di funzione del tipo y=f(x) compresa fra due punti di ascisse a, b, è uguale a:
$s=\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2)}\,dx$
Nel caso della parabola, $y=ax^2+bx+c$:
$s=\int_a^b \sqrt{1+(2ax+b)^2)}\,dx$
Con l'aiuto di Maple, l'integrale indefinito sembrerebbe essere...
(vedi figura allegata)
Gianfranco
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- Lunghezza arco parabola
- lunghezzaarcoparabola.gif (3.59 KiB) Visto 8846 volte
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
problema 1)
Sia A una faccia del cubo, servono 4 colori su 12, quindi ${12 \choose 4}$ modi diversi.
Sia B la faccia opposta ad A, servono 4 colori su 8, perché 4 li abbiamo già utilizzati, quindi ${8 \choose 4}$ modi diversi.
Rimangono le 4 sbarre che collegano i vertici di A coi vertici di B, quindi $4!$ modi diversi. I possibili modi di disporre le sbarre saranno dunque in tutto:
${12 \choose 4} * {8 \choose 4} * 4! =$
$=\frac{12!}{8!*4!}*\frac{8!}{4!*4!}*4!=\frac{12!}{4!*4!}=\frac{5*6*7*8*9*10*11*12}{2*3*4}=30*28*990=831.600$
Sia B la faccia opposta ad A, servono 4 colori su 8, perché 4 li abbiamo già utilizzati, quindi ${8 \choose 4}$ modi diversi.
Rimangono le 4 sbarre che collegano i vertici di A coi vertici di B, quindi $4!$ modi diversi. I possibili modi di disporre le sbarre saranno dunque in tutto:
${12 \choose 4} * {8 \choose 4} * 4! =$
$=\frac{12!}{8!*4!}*\frac{8!}{4!*4!}*4!=\frac{12!}{4!*4!}=\frac{5*6*7*8*9*10*11*12}{2*3*4}=30*28*990=831.600$
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Re: Diamo i numeri variamente
Complimenti Giobimbo,
sei il RE del calcolo combinatorio!
Gianfranco
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Pace e bene a tutti.
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Re: Diamo i numeri variamente
essendoci la parola "disporre" sono portato a considerare come distinte le configurazioni che si ottengono dalla rotazione lungo uno o più dei 3 assi, di una precedente configurazione.ronfo ha scritto:in quanti modi si possono disporre 12 sbarre uguali , diversamente colorate , per formare l'ossatura di un cubo?
Per cui io direi un $12!$.
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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www.pvitelli.net
Re: Diamo i numeri variamente
Ciao a tutti
Ronfo ha chiesto: Sapete dirmi quante cifre hanno i più piccoli numeri interi che soddisfano alla relazione $x^2= 991y^2+1$?
Si tratta di una equazione, detta di Pell-Fermat, del tipo $x^2=qy^2+1$, con q naturale.
Tutte le equazioni di questo tipo ammettono le soluzioni, considerate banali, x=1 y=0 e x=-1 y=0, che tuttavia rispondono alla domanda di Ronfo, una delle quali è stata proposta da Pasquale.
Ci si potrebbe però chiedere quante cifre hanno i numeri che costituiscono la più piccola soluzione non banale dell'equazione.
Le cose però a questo punto si complicano almeno sul piano del calcolo in quanto la soluzione richiesta dipende dallo sviluppo in frazione continua di $\sqr{991}$. Tale sviluppo è dato da
31, (2, 12, 10, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 8, 4, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 20, 6, 4, 31, 4, 6, 20, 1, 4, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 4, 8, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 10, 12, 2, 62)
in cui ho indicato il periodo tra parentesi tonde.
Non mi dilungo sulle procedure di calcolo né sulla teoria. Chi fosse interessato all'argomento può visitare i siti
http://it.wikipedia.org/wiki/Frazione_continua" onclick="window.open(this.href);return false;
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Pell" onclick="window.open(this.href);return false;
in cui si trovano spiegazioni chiare ed esaurienti.
I calcoli conducono alla soluzione richiesta
x=379516400906811930638014896080 y=12055735790331359447442538767
da cui Ronfo può agevolmente dedurre il numero di cifre.
Ciao.
Ronfo ha chiesto: Sapete dirmi quante cifre hanno i più piccoli numeri interi che soddisfano alla relazione $x^2= 991y^2+1$?
Si tratta di una equazione, detta di Pell-Fermat, del tipo $x^2=qy^2+1$, con q naturale.
Tutte le equazioni di questo tipo ammettono le soluzioni, considerate banali, x=1 y=0 e x=-1 y=0, che tuttavia rispondono alla domanda di Ronfo, una delle quali è stata proposta da Pasquale.
Ci si potrebbe però chiedere quante cifre hanno i numeri che costituiscono la più piccola soluzione non banale dell'equazione.
Le cose però a questo punto si complicano almeno sul piano del calcolo in quanto la soluzione richiesta dipende dallo sviluppo in frazione continua di $\sqr{991}$. Tale sviluppo è dato da
31, (2, 12, 10, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 8, 4, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 20, 6, 4, 31, 4, 6, 20, 1, 4, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 4, 8, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 10, 12, 2, 62)
in cui ho indicato il periodo tra parentesi tonde.
Non mi dilungo sulle procedure di calcolo né sulla teoria. Chi fosse interessato all'argomento può visitare i siti
http://it.wikipedia.org/wiki/Frazione_continua" onclick="window.open(this.href);return false;
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Pell" onclick="window.open(this.href);return false;
in cui si trovano spiegazioni chiare ed esaurienti.
I calcoli conducono alla soluzione richiesta
x=379516400906811930638014896080 y=12055735790331359447442538767
da cui Ronfo può agevolmente dedurre il numero di cifre.
Ciao.
Vittorio
Re: Diamo i numeri variamente
Tanto per cominciare grazie a tutti .
Un grazie particolare a Gianfranco che mi ha illuminato su come si calcola la lunghezza di un arco di parabola , devo confessare che ero del tutto all'oscuro di questa soluzione sarebbe interessante sapere anche come è stata ottenuta ... ma non esageriamo!
Vittorio ha centrato l'obbiettivo del terzo quesito . Si tratta infatti di una equazione di Pell ( scusate se mi permetto di salire in cattedra un momento)
le equazioni di Pell sono quelle del tipo
$x^2- A*y^2 =1$
una equazione di questo tipo era insita in un post che feci alcuni ( molti ) mesi fa " La battaglia di Hasting" in questo caso però la domanda l'ho ricavata da " matematica dilettevole e curiosa" di Italo Ghersi ( Hoepli editore)
come pure il problema delle sbarre del cubo , la soluzione che ne da il libro è 19958400= (12! / 5! )
Non posso fare a meno di complimentarmi con Pasquale sempre preciso e originale .
Ancora grazie a tutti e
CIAO.
Un grazie particolare a Gianfranco che mi ha illuminato su come si calcola la lunghezza di un arco di parabola , devo confessare che ero del tutto all'oscuro di questa soluzione sarebbe interessante sapere anche come è stata ottenuta ... ma non esageriamo!
Vittorio ha centrato l'obbiettivo del terzo quesito . Si tratta infatti di una equazione di Pell ( scusate se mi permetto di salire in cattedra un momento)
le equazioni di Pell sono quelle del tipo
$x^2- A*y^2 =1$
una equazione di questo tipo era insita in un post che feci alcuni ( molti ) mesi fa " La battaglia di Hasting" in questo caso però la domanda l'ho ricavata da " matematica dilettevole e curiosa" di Italo Ghersi ( Hoepli editore)
come pure il problema delle sbarre del cubo , la soluzione che ne da il libro è 19958400= (12! / 5! )
Non posso fare a meno di complimentarmi con Pasquale sempre preciso e originale .
Ancora grazie a tutti e
CIAO.
Re: Diamo i numeri variamente
Questo è abbastanza semplice, in realtà.ronfo ha scritto:Tanto per cominciare grazie a tutti .
Un grazie particolare a Gianfranco che mi ha illuminato su come si calcola la lunghezza di un arco di parabola , devo confessare che ero del tutto all'oscuro di questa soluzione sarebbe interessante sapere anche come è stata ottenuta ... ma non esageriamo!
Per calcolare la lunghezza di una curva si usa per l'appunto un integrale, che equivale a fare la somma di infiniti tratti infinitesimi della curva.
Immaginiamo allora di approssimare la curva $f(x)$ con una spezzata in cui ogni intervallo di larghezza $dx$ sia sostituito da un segmento di retta con pendenza pari alla derivata della curva $f'(x)$.
La lunghezza del segmento sarà
$ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = \sqrt{dx^2+(f'(x)dx)^2} = \sqrt{dx^2(1+f'(x)^2)} = \sqrt{1+f'(x)^2}dx$
Sommando tutti gli intervalli si ottiene l'integrale di Gianfranco
$s=\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$
SE&O
[Sergio] / $17$