Tombola

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Tombola

Messaggioda ronfo » lun giu 11, 2018 6:18 pm

Ciao a tutti i basecinquini
ho constatato che ho una quantità di documentazione matematica che se dovessi leggerla tutta dovrei campare più di due secoli.
Tra i tanti libricini ho trovato un giochino piuttosto simpatico.
Prendiamo il tabellone della Tombola possiamo sommare tre numeri contigui qualunque
sia in orizzontale , che in verticale che nelle diagonali otterremo sempre un multiplo di tre
come si può facilmente vedere nell'esempio qui sotto
46 47 48 49 50
56 57 58 59 60
66 67 68 69 70
76 77 78 79 80
86 87 88 89 90

1) 57+68+79
2) 58+68+78
3) 59+68+77
4) 67+68+69

ecc..
questa caratteristica non è del tutto ovvia
riuscite a dimostrarlo?

Vale per ogni tabella numerica simile di ordine qualsiasi?
Ciao
ronfo
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Re: Tombola

Messaggioda panurgo » mar giu 12, 2018 4:47 pm

Nella tabella della Tombola tre numeri consecutivi lungo qualsiasi direzione hanno differenze costanti.

Sia $d$ la differenza e avremo

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lCCC} a = n \\ b = n + d \\ c = n + 2d \end{array} \right.\qquad\Longrightarrow\qquad a+b+c=3\left(n+d\right)$


:)
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Re: Tombola

Messaggioda Gianfranco » ven giu 15, 2018 11:04 pm

Ottimo ragionamento, Panurgo.
Il tabellone della tombola è formato da 9 righe x 10 colonne ma il tuo ragionamento vale per qualunque griglia di n righe x k colonne (con n>=3).
Io avevo preparato questo schema:

tombola_mult_3.png


Da cui si ricava:
n-1+n+n+1=3n
n-k+n+n+k=3n
n-k-1+n+n+k+1=3n
e così via.
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Re: Tombola

Messaggioda Gianfranco » mer lug 11, 2018 9:13 pm

Panurgo ha scritto.
Nella tabella della Tombola tre numeri consecutivi lungo qualsiasi direzione hanno differenze costanti.

Ciò significa che sono in progressione aritmetica.
Anche se sono più di tre.
Ciò permette di generalizzare il problema da così:
Prendiamo il tabellone della Tombola possiamo sommare tre numeri contigui qualunque
sia in orizzontale , che in verticale che nelle diagonali otterremo sempre un multiplo di tre

a così:
Prendiamo i numeri naturali maggiori di 0 scritti in una griglia di k colonne.
Possiamo sommare a numeri contigui qualunque sia in orizzontale sia in verticale sia nelle diagonali e otterremo sempre un multiplo di ...???
  • un multiplo di a se a è dispari;
  • un multiplo di \frac{a}{2} se a è pari.

Sarà giusto?
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Re: Tombola

Messaggioda panurgo » gio lug 12, 2018 3:26 pm

E' così

$\displaystyle S = a \cdot n + \frac {a \left( a - 1\right)}2$

se $a$ è dispari, $\left( a - 1\right)$ è pari e il $2$ al denominatore "lascia in pace" $a$; viceversa, se $a$ è pari è $\left( a - 1\right)$ a essere dispari e a "sopravvivere" alla divisione per $2$...
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Re: Tombola

Messaggioda Gianfranco » gio lug 12, 2018 4:04 pm

Perfetto.
Ormai stiamo parlando di progressioni aritmetiche, quindi aggiungerei:
S=a n+\frac{\left( a-1\right)  a d}{2}
dove d è la ragione della progressione.

Tornando alla tombola, è valida quest'altra generalizzazione?
tombola_2.PNG

Se scriviamo k^2 numeri naturali in una griglia k \times k (come nel tabellone della tombola) e prendiamo n numeri successivi "allineati" lungo una qualunque retta, essi sono in progressione aritmetica (?)
Quindi sono valide le proprietà viste prima (?)

Sarà vero?

P.S. Ho cambiato la variabile da a a n.
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Re: Tombola

Messaggioda panurgo » gio lug 12, 2018 5:14 pm

panurgo ha scritto:Nella tabella della Tombola tre numeri consecutivi lungo qualsiasi direzione hanno differenze costanti.
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Re: Tombola

Messaggioda Gianfranco » ven lug 13, 2018 6:49 am

Giusto!
Pensavo (erroneamente) che ti riferissi a "qualsisasi" direzione fra le tre (orizzontale, verticale, diagonale) di cui parlava il problema posto inizialmente.
Pace e bene a tutti.
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